中考数学总复习第六章圆课件

例1
提分技法
利用 圆周角 定理及 其推论 解题时 的思路 1.在利 用圆周 角定理 解答具 体问题 时,找准 同弧所 对的圆 周角及 圆心角 ,并结 合圆周 角定理 进行相 关计 算是关 键.与圆 周角有 关的常 用辅助 线有 :① 过圆 上某点 作直径, 连接 过直径 端点的 弦;② 弦垂 直平 分半径 时可构 造直角 三角形 ;③ 构造 同弧所 对的圆 周角. 2.在利 用圆周 角定理 的推论 解答具 体问题 时,要找 准直径 及等弦 或同弦 所对应 的圆周 角, 一般 会结 合圆 周角定 理进行 相关计 算或证 明.
中考
2019
数学
第六章 圆
目录
CONTENTS
第一节 圆的基本性质 第二节 与圆有关的位置关系 第三节 与圆有关的计算
第一节 圆的基本性质
PART 01
考点帮
考点1 垂径定理及其推论(2011年新 课标
选学内容) 考点2 弦、弧、圆心角之间的关系
考点3 圆周角定理及其推论
考点4 圆内接四边形的概念和性质
∵OA=OB,PA=PB,
∴∠OAB=∠OBA,∠PAB=∠PBA,
∴∠PBO=∠PAO=90°,
∴PB 是☉O 的切线.
(2)解:连接 BC,设 OP 交 AB 于点 F. ∵AC 是☉O 的直径,∴∠ABC=90°. ∵OA=OB,AP=BP, ∴OP 垂直平分 AB,∴BC∥OP, ∴∠OPC=∠PCB. ∵∠APC=3∠BPC,∠APO=∠BPO, ∴∠OPC=∠CPB,∴∠PCB=∠CPB,∴BC=BP. 设 OF=t,则 PB=BC=2t,易得△FPB∽△BPO,
方法帮 命题角度 2 圆内接四边形的性质
例2
[ 2 0 1 8 山东济宁] 如图, 点 B , C , D 在☉O 上, 若∠B C D = 1 3 0 °, 则∠B O D 的度数是( D )
A.50°
B.60°
C.80°
D.100°
思路分析 首先在优弧BD上取一点A,连接AB,AD,构造圆内接四边形,然后根据圆的内接四边形的性质,即可求出 ∠BAD的度数,最后根据圆周角定理,即可求得答案.
图(2)
考点帮
考点1 考点2 考点3
阴影部分面积的计算
1 . 弓形面积的求法
类型
劣弧对应的弓形
优弧对应的弓形
图形
面积计算 S = 阴影 S 扇形 A O B- S △O A B S = 阴影 S 扇形 A O B+ S △O A B
2 . 常用方法 ( 1 ) 规则图形, 可直接用公式求解. ( 2 ) 分割求和法: 把图形适当分割, 将不规则的阴影部分的面积转化成几个规则图形面积的和或 差. 如图( 3 ) , S 阴影= S 扇形BOC+ S △COD - S △ODE .
的圆心角为 n °, 弧长为 l .
1 . 圆锥底面圆的面积为 S = πr 2, 周长 C = 2 πr ;
2 . 圆锥侧面展开扇形的圆心角 n = ⑤
;
3 . 圆锥的高、底面圆半径和母线长之间的关系: h 2+ r 2 = ⑥
;
4 . 圆锥的母线长等于其侧面展开扇形的半径; 圆锥的底面圆周长等于其侧面展开扇形的弧长.
提分技法
判定切线的常用辅助线
在判定一条直线为圆的切线时,若已知条件明确指出圆与直线有公共点,常 “连半径,证垂
直”;若没有明确指出圆与直线有公共点时,常需“作垂直,证半径”.
3 . 切线长: 过圆外一点作圆的切线, 这点和 切点 之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
* 切线长定理( 2 0 1 1 版新课标选学内容) : 从圆外一点可以引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
1.确定圆的条件 不在同一直线上的三点可以确定一个圆. 2.圆的性质 (1)对称性:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,任意一条直径所在直线都是它的对称轴, 圆心是它的对称中心. (2)旋转不变性:将圆绕着它的圆心任意旋转一个角度,都能与原来的圆重合.
PART 02
方法帮
方法帮 命题角度 1 圆周角定理及其推论
内心一定在三角形内.
提分技法
直角三角形内切圆及外接圆半径长的确定
直角三角形外心为其斜边的中点,其外接圆半径R = c ;其内切圆半径r = a b c (其中a,b为
2
2
直角边长,c为斜边长).
考点帮
考点1 考点2 考点3 考点4
正多边形与圆的有关计算
设正n的边长为 a，外接圆半径为 R
边心距 正 n 边形的周长 正 n 边形的面积 正 n 边形中心角的度数 正 n 边形每个外角
考点帮
垂径定理及其推论(2011年新课标选学内容)
考点1 考点2 考点3 考点4
1 . 垂径定理: 垂直于弦的直径①平分 弦, 并且② 平分 弦所对的两条弧. 2 . 垂径定理的推论: 平分弦( 非直径) 的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧. 3 . 延伸: ( 1 ) 弦的垂直平分线经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧. ( 2 ) 平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的另一条弧.
的度数
或
R 2-(
a 2
)2
na
1
2nar
360° n
特例探究 正六边形的边长等于其外接圆的半径;正三角形的边长等于其外接圆半径的 3倍;正方形的边 长等于其外接圆半径的 2 倍.
PART 02
方法帮
方法帮 命题角度 与切线有关的证明和计算
例1
提分技法
(培养演绎推理能力)[2018 湖北武汉]如图,PA 是☉O 的切线,A 是切点,AC 是直径,AB 是弦,连接 PB,PC,PC 交 AB 于点 E,且 PA=PB. (1)求证:PB 是☉O 的切线;
☉ 的周长: = ① 2 R ;
弧长公式
n R
的长:l = ② 180 .
☉ 的面积: = ③ R2 ; 面积公式
n R2
扇形
的面积: 扇形 = ④ 360 .
图(1)
考点帮 圆锥的相关计算
考点1 考点2 考点3
如图( 2 ) , 圆锥的侧面展开图是扇形, 圆锥的高为 h , 底面圆半径为 r , 母线长为 a , 侧面展开扇形
考点帮
考点1 考点2 考点3ຫໍສະໝຸດ 考点4三角形的外心和内心三角形的外心 概念 三角形外接圆的圆心
三角形的内心 三角形内切圆的圆心
作法
性质 位置
三角形三条边的垂直平分线的交点 三角形的外心到三角形 三个顶点的距 离相等.
外心不一定在三角形内.
三角形三个内角的平分线的交点 三角形的内心到三角形 三条边 的距离 相等.
∴=,
∴PB2=PF·PO,即(2t)2=PF·(PF+t),
解得
PF=
-1+ 2
17t(负值已舍去).
∵△PFE∽△CBE,
∴ = = 2 = 147-1.
方法帮 命题角度 与切线有关的证明和计算
例1
提分技法
解答 与圆有 关的证 明及计 算的技 巧
1.圆中 常用的 辅助线 有如下 几条: (1) 半径:圆的 半径是 圆的重 要元素 ,圆中 的许多 性质, 如“同圆 的半径 相等”和“圆的 切线垂 直于过 切 点的 半径”等都 与圆的 半径有 关, 连接 半径是 常用的 添加辅 助线的 方法之 一,常用 于切线 的性质 及 证明 ; (2) 弦心 距:在解 决有关 弦的问 题时 ,常常 作弦心 距,以便 利用垂 径定理 或三角 函数 ; (3) 构造 直角三 角形:在解 决有关 直径的 问题时, 常常 作直径 所对的 圆周角, 构造 直角三 角形求 解; (4) 构造 相等的 圆周角 或圆心 角需要 的辅助 线. 2.圆内 有关角 的计算 或证明 ,一要 正确应 用圆周 角定理 及推论 ,把不 同位置 的角的 数量关 系建立 起 来;二要 正确应 用圆心 角、弦、弧之 间的关 系定理, 把弧、弦的 相等关 系转化 到角的 相等关 系上来 ; 三要 正确应 用切线 的性质 定理, 已知 切线,作出 过切点 的半径 ,构造 直角 .
d>r
温馨提示 平面内的点与圆上距离最大和最小的点均在该点与圆心连线所在的直线上.
考点帮 直线与圆的位置关系
考点1 考点2 考点3 考点4
1 . 直线与圆的位置关系
直线和圆的 位置关系
相交
相切
相离
图形
d 与 r 的关系 公共点的个数
d① < r 2
d② = r ④1
d③ > r 0
2 . 切线的性质与判定 ( 1 ) 定义: 直线和圆只有一个公共点, 这时我们说这条直线和圆相切, 这条直线叫做圆的切线, 这 个点叫做切点.
例1
提分技法
( 注重推理能力) [ 2 0 1 8 内蒙古通辽] 已知☉O 的半径为 1 0 , 圆心 O 到弦 A B 的距离为 5 , 则弦 A B
所对的圆周角的度数是( D )
A.30°
B.60°
C . 3 0 °或 1 5 0 °
D . 6 0 °或 1 2 0 °
思路分析
方法帮 命题角度 1 圆周角定理及其推论
第三节 与圆有关的计算
PART 01
考点帮
考点1 弧长与扇形面积的计算
考点2 圆锥的相关计算
考点3 阴影部分面积的计算
考点帮 弧长与扇形面积的计算
考点1 考点2 考点3
如如图图((11)),,☉☉OO的的半半径径为为RR,,弧 所AB对所的对圆的心圆角心为角n为°, n的°,弧长A为Bl.的长为 l.
第二节 与圆有关的位置关系
PART 01
考点帮
考点1 点与圆的位置关系
考点2 直线与圆的位置关系 考点3 三角形的外心和内心 考点4 正多边形与圆的有关计算
考点帮 点与圆的位置关系
考点1
点与 圆的位 置关系
点与圆的位置关系
图形
考点2
点 A 在圆内
考点3
考点4
点 B 在圆上
点 C 在圆外
d 与 r 的关系 d<r d=r
考点帮
考点1 考点2 考点3 考点4
直线与圆的位置关系
(2)性质与判定
性质定理 推论
判定
圆的切线⑤ 垂直 于过切点的半径. a. 经过圆心且垂直于切线的直线必过⑥ 切点 . b. 经过切点且垂直于切线的直线必过⑦ 圆心 . a. 和圆有⑧ 一 个公共点的直线是圆的切线. b. 如果圆心到一条直线的距离等于圆的⑨ 半径 ,那么这条直线是圆的切线. c. 经过半径的外端并且⑩ 垂直 于这条半径的直线是圆的切线.
例1 自主解答
提分技法
(1)证明:方法一:连接 OP,OB.
在△OAP 和△OBP 中,
=, =, =,
∴△OAP≌△OBP,∴∠OAP=∠OBP. ∵PA 是☉O 的切线,
∴∠OAP=90°,∴∠OBP=90°,∴PB 是☉O 的切线.
方法二:连接 OB.
∵PA 是☉O 的切线,
∴∠PAO=90°.
(2)若∠APC=3∠BPC,求 的值.
思路分析 (1)连接 OB,证明∠OBP=90°即可.(2)连接 OP,BC,设 OP 交 AB 于点 F,设 OF=t,通过证明 △FPB∽△BPO,可用含 t 的式子表示 PF,再通过证明△PFE∽△CBE,即可求得 的值.
方法帮 命题角度 与切线有关的证明和计算
考点1 考点2 考点3 考点4
四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内 概念
接四边形.
(1) 圆内接四边形对角 互补 ; 性质
(2) 圆内接四边形的任意一个外角等于它的 内对角 (和它相邻的内角的对角).
∠A+∠BCD= 180° ∠B+∠D= 180°
∠DCE= ∠A
提分技法
确定圆的条件及圆的对称性
得分速记 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各量也 相等.
考点帮
考点1 考点2 考点3 考点4
圆周角定理及其推论
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑧ 一半 .
常见 图形
结论 ∠AOB= ⑨ 2∠ACB
推论
(1) 同弧或等弧所对的圆周角⑩ 相等 . (2) 半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ,90 °的圆周角所对的弦是
考点帮
弦、弧、圆心角之间的关系基础点
考点1 考点2 考点3 考点4
1 . 定理: 在同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的弧③ 相等 , 所对的弦也相等. 2 . 推论: ( 1 ) 在同圆或等圆中, 如果两条弧相等, 那么它们所对的圆心角④ 相等 , 所对的弦⑤ 相等 . ( 2 ) 在同圆或等圆中, 如果两条弦相等, 那么它们所对的圆心角⑥ 相等 , 所对的弧⑦ 相等 . ( 3 ) 弧的度数等于圆心角的度数.
直径 .
易失分点
运用圆周角定理及其推论解题时的易错点
在应用圆周角定理及其推论时,一定要注意“在同圆或等圆中”这一条件,同时要特别注意一
条弦对着两条弧,这两条弧所对的圆周角互补;一条弧只对着一个圆心角,但对着无数个圆周
角.
方法指导 有关直径的问题,常通过构造直径所对的圆周角来进行证明或计算.
考点帮 圆内接四边形的概念和性质