2024届陕西省西安音乐学院附属中等音乐学校数学高一第二学期期末调研试题含解析

2024届陕西省西安音乐学院附属中等音乐学校数学高一第二学
期期末调研试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知变量，满足约束条件
则
的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
2．下列角中终边与330相同的角是（ ） A ．30
B ．30-
C ．630
D ．630-
3．已知函数4
(1)1
y x x x =+
>-，函数的最小值等于（ ） A 41
x
x -B ．421
C ．5
D ．9
4．已知310
10
sina =
，且a 为第二象限角，则()2tan a π+=（ ） A ．34-
B ．
35
C ．
35
D ．
34
5．为了得到函数2sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像，可以将函数2sin 2y x =的图像（ ）
A ．向右平移3
π
个长度单位 B ．向左平移3
π
个长度单位 C ．向右平移
6
π
个长度单位 D ．向左平移
6
π
个长度单位 6．直线x ﹣y+2＝0与圆x 2+（y ﹣1）2＝4的位置关系是（ ） A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不确定
7．函数sin cos sin cos y x x x x =++⋅的最大值为（ ）
A ．
72
B ．72
-
C ．
1
22
- D ．
1
22
+ 8．若数列{a n }是等比数列，且a n ＞0，则数列*12()n n n b a a a n N =⋅
⋅∈也是等比数列.
若数列{}n a 是等差数列，可类比得到关于等差数列的一个性质为( ).
A ．12n
n a a a b n
⋅⋅⋅=是等差数列
B ．12...n
n a a a b n
+++=是等差数列
C ．12n n n b a a a =⋅⋅⋅是等差数列
D ．12n
n
n a a a b n
++
+=
是等差数列
9．如果12,,,a x x b 成等差数列，12,,,a y y b 成等比数列，那么12
12
x x y y +等于（ ） A ．
a b
a b
+- B ．
b a
ab
- C ．
ab
a b + D ．
a b
ab
+ 10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为(2,0)B -，若将军从山脚下的点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．4
B ．5
C ．26
D ．32
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a x =，3b =，60B =，若ABC ∆有两解，则x 的取值范围是__________．
12．已知直线1:210l ax y a -++=和()()2:2130l x a y a R --+=∈，若12l l ⊥，则a 等于________.
13．若点(4,2)在幂函数()f x 的图像上，则函数()f x 的反函数1()f x -=________. 14．已知200︒的圆心角所对的弧长等于50cm ，则该圆的半径为______cm . 15．设为正实数.若存在、，使得
，则的取值范围
是______.
16．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为6，PA 所在直线与底面ABC 所成角为60°，则该三棱锥的侧面积为_______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北45︒的方向上，仰角为30，行驶4km后到达B处，测得此山顶在西偏北60︒的方向上．
（1）求此山的高度（单位：km）；
（2）设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为θ，求tanθ．
18．已知a、b、c是同一平面内的三个向量，
其中a=（1，2），b=（﹣2，3），c=（﹣2，m）
（1）若a⊥（b+c），求|c|；
（2）若k a+b与2a﹣b共线，求k的值．
19．某校对高二年段的男生进行体检，现将高二男生的体重（kg）数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图（如图所示）．已知第三组[60，65）的人数为1．根据一般标准，高二男生体重超过65kg属于偏胖，低于55kg属于偏瘦．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求体重在[60，65）内的频率，并补全频率分布直方图；
（2）用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，
则各组应分别抽取多少人？
（3）根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数．
20．已知函数()cos 23sin 22f x a x a x a b =--++(0)a ≠，[0,]2
x π∈，值域为
[5,1]-，求常数a 、b 的值；
21．已知函数()2(0).a
f x x x x
=+
> （1）若2a =-，求函数()f x 的零点；
（2）若()0f x ≥在(1,)+∞恒成立，求a 的取值范围； （3）设函数()()(2)(0)g x f x a x =-+>，解不等式()0>g x .
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D 【解题分析】 试题分析：把函数转化为
表示斜率为
截距为平行直线系，
当截距最大时，
最大，由题意知当直线过
和
两条直线交点
时
考点：线性规划的应用.
【题目详解】 请在此输入详解！ 2、B 【解题分析】
与30°的角终边相同的角α的集合为{α|α=330°+k•360°，k ∈Z} 当k=-1时，α=-30°，故选B 3、C 【解题分析】 先将41y x x =+
-化为()4
111
y x x =-++-，由基本不等式即可求出最小值. 【题目详解】 因为()
44
111511
y x x x x =+
=-++≥=--，当且仅当411
x x -=
-， 即3x =时，取等号. 故选C 【题目点拨】
本题主要考查利用基本不等式求函数的最值问题，需要先将函数化为能用基本不等式的形式，即可利用基本不等式求解，属于基础题型. 4、D
【解题分析】
首先根据题意得到cos a =tan 3a =-，再计算()tan 2a π+即可.
【题目详解】 因为sin 10
a =
，且a 为第二象限角，
cos a ==
，sin tan 3cos 10a a a ===-.
()2
2tan 63
tan 2tan 21tan 194
a a a a π-+==
==--. 故选：D 【题目点拨】
本题主要考查正切二倍角的计算，同时考查了三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系，属于简单题. 5、D 【解题分析】
根据三角函数的图象平移的原则，即左加右减，即可得答案． 【题目详解】 由2sin(2)2sin 2()36
y x x π
π
=+
=+，
可以将函数2sin 2y x =图象向左平移6
π
个长度单位即可， 故选：D ． 【题目点拨】
本题考查三角函数的平移变换，求解时注意平移变换是针对自变量x 而言的，同时要注意是由谁变换到谁. 6、A 【解题分析】
求得圆心到直线的距离，然后和圆的半径比较大小，从而判定两者位置关系，得到答案． 【题目详解】
由题意，可得圆心(0,1) 到直线的距离为2
2d ==<， 所以直线与圆相交． 故选：A ． 【题目点拨】
本题主要考查了直线与圆的位置关系判定，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 7、D 【解题分析】
令sin cos x x t +=，根据正弦型函数的性质可得)4
t x π
=
+，那么
21
sin cos 2
t x x -=，可将问题转化为二次函数在定区间上的最值问题． 【题目详解】
由题意，令sin cos x x t +=，可得)4
t x π
=
+，[t ∈，
∴21
sin cos 2
t x x -=，
∴原函数的值域与函数22111
(1)1222
y t t t =
+-=+-的值域相同． ∵函数图象的对称轴为1t =-，
2t ∴=，y 取得最大值为1
22
+．
故选：D ． 【题目点拨】
本题考查三角函数中的恒等变换、函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的使用，将问题转化为二次函数的值域问题. 8、B 【解题分析】
试题分析：本题是由等比数列与等差数列的相似性质，推出有关结论：由“等比”类比到“等差”，由“几何平均数”类比到“算数平均数”；所以，所得结论为是等差数列. 考点：类比推理. 9、D 【解题分析】
因为12,,,a x x b 成等差数列,所以12x x a b +=+,因为12,,,a y y b 成等比数列,所以
12y y ab =,因此1212x x a b
y y ab
++=. 故选D 10、C 【解题分析】
求出点A 关于直线的对称点，再求解该对称点与B 点的距离，即为所求. 【题目详解】 根据题意，作图如下：
因为点()2,0A ，设其关于直线3x y +=的对称点为()100,A x y
故可得00
00112232
2y x x y ⎧
-⨯=-⎪-⎪⎨+⎪+=⎪⎩，解得003,1x y ==，即()13,1A
故“将军饮马”的最短总路程为()()
22
1321026A B =++-=故选：C. 【题目点拨】
本题考查点关于直线的对称点的坐标的求解，以及两点之间的距离公式，属基础题.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、(3,3) 【解题分析】
利用正弦定理得到sin 23
A =ABC ∆有两解得到sin sin 123
B A <=
<，
计算得到答案. 【题目详解】 由正弦定理得：
23sin sin sin sin 23
a b x A A B A =⇒=⇒= 若ABC ∆有两解：
sin sin 132323
B A x <=
<⇒<<故答案为(3,23) 【题目点拨】
本题考查了正弦定理，ABC ∆有两解，意在考查学生的计算能力. 12、
13
【解题分析】
根据两直线互相垂直的性质可得()210a a +-=，从而可求出a 的值. 【题目详解】
直线1:210l ax y a -++=和()()2:2130l x a y a R --+=∈垂直，
()210a a ∴+-=.
解得13a =. 故答案为：1
3
【题目点拨】
本题考查了直线的一般式，根据两直线的位置关系求参数的值，熟记两直线垂直系数满足：12120A A B B +=是关键，属于基础题. 13、2
(0)x x ≥ 【解题分析】
根据函数经过点(4,2)求出幂函数的解析式，利用反函数的求法，即可求解． 【题目详解】
因为点(4,2)在幂函数()()f x x R α
α=∈的图象上，所以24α=，解得1
2
α=
， 所以幂函数的解析式为12
y x =， 则2
x y =，所以原函数的反函数为1
2()(0)f x x x -=≥．
故答案为：1
2()(0)f
x x x -=≥
【题目点拨】
本题主要考查了幂函数的解析式的求法，以及反函数的求法，其中熟记反函数的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 14、
45
π
【解题分析】
先将角度化为弧度，再根据弧长公式l r α=求解． 【题目详解】
解：圆心角
10 200200
1809
π
π
︒=⨯=，
弧长为
10
50
9
r
π
=，
45
()
r cm
π
∴=，
即该圆的半径长45
cm π
．
故答案为：45π
．
【题目点拨】
本题考查了角度和弧度的互化以及弧长公式的应用问题，属于基础题．
15、
【解题分析】
由. 而，故已知条件等价于：存在整数、，使得①，再对分类讨论求出的范围.
【题目详解】
由.
而，故已知条件等价于：存在整数、，使得
. ①
当时，区间的长度不小于，故必存在、满足式①.
当时，注意到，.
故只要考虑如下几种情形：
（1），此时，，且，无解；
（2），此时，；
（3），此时，.
综上，并注意到也满足条件，知.
故答案为：
【题目点拨】
本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
16、939 【解题分析】 画出图形，过P 做底面的垂线，垂足O 落在底面正三角形中心，即=60PAO ∠，因为
226==3=23332
AO AD ⨯⨯，即可求出2239PD PO OD =+=,所以1S 36399392
=⨯⨯⨯=． 【题目详解】
作AD BC ⊥于D ，
因为P ABC -为正三棱锥，所以，D 为BC 中点，
连结PD ，则PD BC ⊥，
过P 作PO ⊥平面ABC ，则O 点为正三角形的中心，点O 在PD 上，
所以，60PAO ∠=，
正三角形的边长为6，则226333AD =-=,
2233
AO AD ==，3DO = PO AO tan 606︒=⨯=，
斜高2239PD PO OD =+=，
三棱锥的侧面积为：1
S 36399392=⨯⨯⨯=
【题目点拨】
此题考查正三棱锥，即底面为正三角形，侧面为等腰三角形的三棱锥，正四面体为四个面都是正三角形，画出图像，属于简单的立体几何题目．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2(62)+km ．（2）6tan 3
θ= 【解题分析】 (1) 设此山高(km)h ,再根据三角形中三角函数的关系以及正弦定理求解即可.
(2) 由题意可知,当点C 到公路距离最小时,仰望山顶D 的仰角达到最大,再计算C 到直线AB 的距离即可.
【题目详解】
解：（1）设此山高(km)h ,则tan 30
h AC =, 在ABC 中,120ABC ∠=,604515BCA ∠=-=,4AB =．
根据正弦定理得
sin sin AC AB ABC BCA
=∠∠, 即4sin120tan 30sin15h =⋅, 解得2(62)h =+（km ）．
（2）由题意可知,当点C 到公路距离最小时,仰望山顶D 的仰角达到最大,
所以过C 作CE AB ⊥,垂足为E ,连接DE ．
则DEC θ∠＝,sin45CE AC =⋅︒,tan30DC AC =⋅︒,
所以6tan 3
DC CE θ==．
【题目点拨】
本题主要考查了解三角形在实际中的运用,需要根据题意找到对应的直角三角形中的关系,或利用正弦定理求解.属于中档题.
18、（15（2）-2
【解题分析】
（1）根据向量的坐标的运算法则和向量垂直的条件，以及模的定义即可求出;
（2）根据向量共线的条件即可求出．
【题目详解】
（1）()43b c m +=-+，
∵()a b c ⊥+，∴()a b c ⊥+，()
()4230a b c m ∴⋅+=-++=， ∴m=﹣1∴()21c =--，
∴c =5 （2）由已知：()223ka b k k +=-+，，()241a b ，-=，
因为()()ka b ka b ++，
所以：k ﹣2=4（2k+3），
∴k=﹣2
【题目点拨】
本题考查了向量的坐标运算以及向量的垂直和平行，属于基础题．
19、 (1)0.04(2) 三段人数分别为3，2，1 (3)61.75
【解题分析】
试题分析：（1）利用频率分布直方图的性质能求出求出体重在[60，65）内的频率，由此能补全的频率分布直方图；（2）设男生总人数为n ，由2000.2n
=，可得n=1000，从而体重超过65kg 的总人数300，由此能求出各组应分别抽取的人数；（3）利用频率分布直方图能估计高二男生的体重的中位数与平均数
试题解析：（1）体重在内的频率
补全的频率分布直方图如图所示.
（2）设男生总人数为，
由
，可得
体重超过的总人数为
在的人数为，应抽取的人数为， 在的人数为，应抽取的人数为， 在的人数为，应抽取的人数为. 所以在，，三段人数分别为3，2，1.
（3）中位数为60kg ，平均数为
(52.50.0357.50.0762.50.0467.50.0372.50.0277.50.01)561.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(kg)
考点：1.众数、中位数、平均数；2.分层抽样方法；3.频率分布直方图
20、2a =，5b =-；或2a =-，1b =；
【解题分析】
先利用辅助角公式化简()f x ,再根据[0,]2
x π∈,值域为[5,1]-求解即可.
【题目详解】 ()cos 23sin 222sin(2)26
f x a x a x a b a x a b π=-++=-+++. 又[0,]2x π
∈则1sin(2),162x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦
, 当0a >时,[]2sin(2)2,36a x a b b a b π
-+++∈+,此时52315b a a b b =-=⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩ 当0a <时,[]2sin(2)23,6a x a b a b b π-+++∈+,此时35211
a b a b b +=-=-⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩ 故2a =,5b =-；或2a =-,1b =；
【题目点拨】
本题主要考查了三角函数的辅助角公式以及三角函数值域的问题,需要根据自变量的范围求出值域,同时注意正弦函数部分的系数正负,属于中等题型.
21、 (1)1；(2) 2a ≥- (3)见解析
【解题分析】
（1）解方程()0f x =可得零点；
（2）()0f x ≥恒成立，可分离参数得22a x ≥-，这样只要求得22x -在[1,)+∞上的最大值即可；
（3）注意到()g x 的定义域，不等式()0>g x 等价于(1)(2)0x x a -->，这样可根据2a 与0，1的大小关系分类讨论． 【题目详解】 （1）当2a =-时，2()2f x x x =-
令2()20f x x x =-
=得，1x =±，∵0x >，∴函数()f x 的零点是1 （2）()0f x ≥在(1,)+∞恒成立，即20a x x
+≥在(1,)+∞恒成立， 分离参数得：22a x ≥-，
∵(1,)x ∈+∞，∴222x -<-
从而有：2a ≥-.
（3）22(2)(1)(2)()2(2)a x a x a x x a g x x a x x x
-++--=+-+== 令()0g x =，得11x =，22
a x =， 因为函数()g x 的定义域为(0,)+∞，所以()0>g x 等价于(1)(2)0x x a --> （1）当02
a ≤，即0a ≤时，20x a ->恒成立，原不等式的解集是(1,)+∞ （2）当012a <
<，即02a <<时，原不等式的解集是0,(1,)2a ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭ （3）当12
a =，即2a =时，原不等式的解集是(0,1)(1,)⋃+∞ （4）当12a >，即2a >时，原不等式的解集是(0,1)(,)2
a +∞ 综上所述：当0a ≤时，
原不等式的解集是(1,)+∞ 当02a <<时，原不等式的解集是(0,)(1,)2a
+∞
当2a =时，原不等式的解集是(0,1)(1,)⋃+∞
当2a >时，原不等式的解集是(0,1)(,)2
a +∞ 【题目点拨】 本题考查函数的零点，考查不等式恒成立问题，考查解含参数的一元二次不等式．其中不等式恒成立问题可采用参数法转化为求函数的最值问题，而解一元二次不等式，必须对参数分类讨论，解题关键是确定分类标准．解一元二次不等式的分类标准有三个方面：一是二次的系数正负或者为0问题，二是一元二次方程的判别式的正负或0的问题，三是一元二次方程两根的大小关系．。