高考数学专题复习圆锥曲线定点定值和最值问题

圆锥曲线的定点、定值问题
1、已知平面内的动点P 到定直线l ：22x =的距离与点P 到定点(
)
2,0F 之比为2．
（1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）若点N 为轨迹C 上任意一点（不在x 轴上），过原点O 作直线AB 交（1）中轨迹C 于点A 、B ，
且直线AN 、BN 的斜率都存在，分别为1k 、2k ，问21k k •是否为定值？
（3）若点M 为圆O ：42
2
=+y x 上任意一点（不在x 轴上），过M 作圆O 的切线，交直线l 于点Q ，
问MF 与OQ 是否始终保持垂直关系？
2、已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1
2
，一条准线为:4l x =，若椭圆C 与x 轴交于,A B 两
点，P 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点，直线PA 交直线l 于点M ，直线PB 交直线l 于点N ，记直线
,PA PB 的斜率分别为12,k k .
（1）求椭圆C 的方程；（2）求12,k k 的值；
（3）求证：以MN 为直径的圆过x 轴上的定点，并求出定点的坐标.
3、已知圆2
2
:9C x y +=，点(5,0)A -，直线:20l x y -=.
⑴求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；
⑵在直线OA 上（O 为坐标原点），存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PA
PB
为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标.
4、已知椭圆E ：22
184
x y +=的左焦点为F ，左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心，圆C 恰好经过坐标原
点O ，设G 是圆C 上任意一点. （1）求圆C 的方程；
（2）若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长； （3）在平面上是否存在定点P ，使得1
2
GF GP =？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.
5、已知221(5)5(13)C x y A ++=-e :，点，
． （Ⅰ）求过点A 与1C e 相切的直线l 的方程；
（Ⅱ）设21C C e e 为关于直线l 对称的圆，则在x 轴上是否存在点P ，使得P 到两圆的切
？荐存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．
6、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为21F F 、，其半焦距为c ，圆M 的方程为
.9
16)35(222c y c x =+-
（Ⅰ）若P 是圆M 上的任意一点，求证：2
1PF PF 为定值；
（Ⅱ）若椭圆经过圆上一点Q ，且1611cos 21=∠QF F ，求椭圆的离心率；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若O OQ (3
31
=为坐标原点）
，求圆M 的方程。

7、已知椭圆E ：14
82
2=+y x 的左焦点为F ，左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心， 圆C 恰好经过坐标原点O ，设G 是圆C 上任意一点．
（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长；
（Ⅲ）在平面上是否存在一点P ，使得2
1
=GP GF ？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．
8、已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线l 的方程为2x =-，点P 在准线l 上， 纵坐标为1
3(0)t t t t
-
∈≠R ,，点Q 在y 轴上，纵坐标为2t ． （1）求抛物线C 的方程；
（2）求证：直线PQ 恒与一个圆心在x 轴上的定圆M 相切，并求出圆M 的方程。

9、设圆221:106320C x y x y +--+=，动圆22
2:22(8)4120 C x y ax a y a +---++=
（1）求证：圆1C 、圆2C 相交于两个定点；
（2）设点P 是椭圆2
214
x y +=上的点，过点P 作圆1C 的一条切线，切点为1T ，过点P 作圆2C 的一条切线，切点为2T ，问：是否存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足12PT PT =？如果存在，求出所有这样的点P ；如果不存在，说明理由．
10、在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)4C x y ++=和圆22
2:(4)(4)4C x y -+-=
(1) 若直线l 过点(4,1)A -，且被圆1C
截得的弦长为l 的方程；
(2) 是否存在一个定点P ，使过P 点有无数条直线l 与圆1C 和圆2C 都相交，且l 被两圆截得的弦长相等，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
解析几何的定点、定值问题
1、已知平面内的动点P 到定直线l
：x =P
到定点)
F 之比为2．
（1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）若点N 为轨迹C 上任意一点（不在x 轴上），过原点O 作直线AB 交（1）中轨迹C 于点A 、B ，
且直线AN 、BN 的斜率都存在，分别为1k 、2k ，问21k k •是否为定值？
（3）若点M 为圆O ：42
2
=+y x 上任意一点（不在x 轴上），过M 作圆O 的切线，交直线l 于点Q ，
问MF 与OQ 是否始终保持垂直关系？ 1． 解：（1）设点(),P x y ，依题意，有
2
=
----------2分 整理，得22142x y +=．所以动点P 的轨迹C 的方程为22
142
x y +=． -------------5分 （2）由题意：设N ),(11y x ,A ),(22y x ，则B ),(22y x --
1242121=+y x ,12
42
222=+y
x ---------------7分 21k k •=2121x -x y -y 2121x x y y ++•＝2
2
212
221x -x y -y ＝22
1222
12112-x -2x 122x -x 2
+=-为定值。

-----------------------------10分设 （3）M ),(00y x ，则切线MQ 的方程为：400=+yy xx
由⎩⎨⎧==+2
2400x yy xx 得Q )224,22(0
0y x - ------------12分
),2(00y x -=， OQ )224,22(0
y x -=
•FM OQ =02244220
0=-+-=y x y x ----------15分
所以：⊥ 即MF 与OQ 始终保持垂直关系 -------------16分
2、已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1
2
，
一条准线为:4l x =，若椭圆C 与x 轴交于,A B 两点，
P 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点，直线PA 交直线l
于点M ，直线PB 交直线l 于点N ，记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k .
（1）求椭圆C 的方程；（2）求12,k k 的值； （3）求证：以MN 为直径的圆过x 轴上的定点，并
求出定点的坐标
.
（第2题图）
3、已知圆2
2
:9C x y +=，点(5,0)A -，直线:20l x y -=.
⑴求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；
⑵在直线OA 上（O 为坐标原点），存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PA
PB
为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标.
3．解：⑴设所求直线方程为2y x b =-+，即20x y b +-=，
Q 2
2
321
=+，得35b =±
∴所求直线
方程为
235y x =-±
---------------5分
⑵方法1：假设存在这样的点(,0)B t ，
当P 为圆C 与x 轴左交点(3,0)-时，|3|
2PB t PA +=
； 当P 为圆C 与x 轴右交点(3,0)时，|3|
8
PB t PA -=
， 依题意，|3||3|28t t +-=
，解得，5t =-（舍去），或9
5
t =-。

---------------------------8分 下面证明 点9(,0)5B -对于圆C 上任一点P ，都有PB
PA
为一常数。

设(,)P x y ，则2
2
9y x =-，
x
y
O A P
B
∴22222
222229188118()9(517)9552525(5)102592(517)25
x y x x x x PB PA x y x x x x +++++-+====+++++-+， 从而
3
5
PB PA =为常数。

----------------------------15分 方法2：假设存在这样的点(,0)B t ，使得PB
PA
为常数λ，则222PB PA λ=，
∴2
2
2
2
2
()[(5)]x t y x y λ-+=++，将2
2
9y x =-代入得，
22222229(10259)x xt t x x x x λ-++-=+++-，即
2222(5)3490t x t λλ++--=对[3,3]x ∈-恒成立， ---------------------------8分 ∴22250,3490,
t t λλ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，解得3595t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或15t λ=⎧⎨=-⎩（舍去）， 所以存在点9
(,0)5B -对于圆C 上任一点P ，都有
PB
PA
为常数35。

---------------------15分
4、已知椭圆E ：22
184
x y +=的左焦点为F ，左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心，圆C 恰好经过坐标原点O ，
设G 是圆C 上任意一点. （1）求圆C 的方程；
（2）若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长； （3）在平面上是否存在定点P ，使得
1
2
GF GP =？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由. 4．（1）由椭圆E ：22
184
x y +=，得l ：4x =-，(4,0)C -，(2,0)F -， 又圆C 过原点，所以圆C 的方程为2
2
(4)16x y ++=．………………………………4分 （2）由题意，得(3,)G G y -，代入2
2
(4)16x y ++=
，得G y =
所以FG
的斜率为k =FG
的方程为2)y x =+， …………………8分 （注意：若点G 或FG 方程只写一种情况扣1分） 所以(4,0)C -到FG
的距离为d =
FG 被圆C
截得弦长为7=． 故直线FG 被圆C 截得弦长为7．…………………………………………………………10分
（3）设(,)P s t ，00(,)G x y ，则由1
2GF GP =
12=， 整理得2222
00003()(162)2160x y s x ty s t +++++--=①，…………………………12分
又00(,)G x y 在圆C ：22
(4)16x y ++=上，所以22
00080x y x ++=②，
②代入①得22
00(28)2160s x ty s t -++--=， …………………………14分
又由00(,)G x y 为圆C 上任意一点可知，22280,20,160,s t s t -=⎧⎪
=⎨⎪--=⎩
解得4,0s t ==． 所以在平面上存在一点P ，其坐标为(4,0)． …………………………16分
5、已知221(5)5(13)C x y A ++=-e :，点，
． （Ⅰ）求过点A 与1C e 相切的直线l 的方程；
（Ⅱ）设21C C e e 为关于直线l 对称的圆，则在x 轴上是否存在点P ，使得P 到两圆的切
？荐存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由． 5．解：（1
）11(0,5),C r -=
因为点A 恰在1C e 上，所以点A 即是切点，
11351
212
C A K k -+=
==-，所以， 所以，直线l 的方程为1
3(1),2502
y x x y +=-++=即；………………（8分）
（2）因为点A 恰为C 1C 2中点，所以，2(2,1)C -，
所以，222(2)(1)5C x y -+-=e ：
， 设212
25(,0)25PC P a PC -=-，①，或22215
25
PC PC -=-② ， ……………………（11分） 由①得，22
20
210(20)(100)(2)4
a a P a +=----，解得或，所以，，或，， 由②得，224220
a a
a -=+，求此方程无解。

综上，存在两点P （-2，0）或P （10，0）适合题意．………………（16分）
6、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为21F F 、，其半焦距为c ，圆M 的方程为
.9
16)35(222c y c x =+-
（Ⅰ）若P 是圆M 上的任意一点，求证：2
1PF PF 为定值；
（Ⅱ）若椭圆经过圆上一点Q ，且1611cos 21=∠QF F ，求椭圆的离心率；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若O OQ (3
31
=
为坐标原点）
，求圆M 的方程。

6、解：（Ⅰ）设),(y x P 是圆M 上的任意一点，则
分44)3
5(916)()
35(916)()()(2
222
222
2222221⋅⋅⋅⋅⋅⋅=--+---+
+=+-++=c x c c x c x c c x y
c x y c x PF PF 分定值5)(22
1
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∴
PF PF （Ⅱ）在△,2
3,,2,,2212121m a m QF m QF Q c F F QF F =
===则设在圆上点中， 分
离心率为得分　由即102
1
,4,4948,cos 2244.3
2
222221222⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==∴=∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠⋅⋅⋅-+==
a c e a c m c QF F m m m m c a m
分
所求圆方程为分
解得分
）（16.916)35(,1432114,34,916,16112249314,
cos 2412,2222
2221212
22
12
21⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+-===∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅++=⋅∴∠⋅⋅++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=y x m a c m m m m m m QF F QF QF QF QF QO QF QF QO ⅢΘ
7、已知椭圆E ：14
82
2=+y x 的左焦点为F ，左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心， 圆C 恰好经过坐标原点O ，设G 是圆C 上任意一点．
（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长； （Ⅲ）在平面上是否存在一点P ，使得2
1
=GP GF ？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．
7、(1)
知：圆C 的方程为16)4(2
2
=++y x ……………（4分）
8、已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线l 的方程为2x =-，点P 在准线l 上， 纵坐标为1
3(0)t t t t
-
∈≠R ,，点Q 在y 轴上，纵坐标为2t ． （1）求抛物线C 的方程；
（2）求证：直线PQ 恒与一个圆心在x 轴上的定圆M 相切，并求出圆M 的方程。

8.解：（1）设抛物线C 的方程为2
2(0)y px p =>，
因为准线l 的方程为2x =-，所以22
p
-
=-，即4p =， 因此抛物线C 的方程为2
8y x =． ………………………………4分 （2）由题意可知，1(2,3)P t t
--，(0,2)Q t ,
则直线PQ 方程为：1
2(3)
22
t t t y t x ---=
， 即22(1)240t x ty t -+-=，……………………………………………8分
设圆心在x 轴上，且与直线PQ 相切的圆M 的方程为2220()(0)x x y r r -+=>， 则圆心0(,0)M x 到直线PQ 2202
2
2
(1)4(1)4t x t r t t
--=-+， …………………10分
即2220(1)4t x t r rt --=+①或2220(1)4t x t r rt --=--②
由①可得200(4)0x r t x r --+-=对任意,0t t ∈≠R 恒成立，则有
00
40,0,x r x r --=⎧⎨--=⎩，解得02,
2,x r =⎧⎨
=-⎩（舍去）………………………………14分 由②可得200(4)0x r t x r +--+=对任意,0t t ∈≠R 恒成立，则有
00
40,0,x r x r +-=⎧⎨-+=⎩，可解得02,
2,x r =⎧⎨
=⎩ 因此直线PQ 恒与一个圆心在x 轴上的定圆M 相切，圆M 的方程为22(2)4x y -+=. ………………………16分
9、设圆221:106320C x y x y +--+=，动圆22
2:22(8)4120 C x y ax a y a +---++=
（1）求证：圆1C 、圆2C 相交于两个定点；
（2）设点P 是椭圆2
214
x y +=上的点，过点P 作圆1C 的一条切线，切点为1T ，过点P 作圆2C 的一条切线，切点为2T ，问：是否存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足12PT PT =？如果存在，求出所有这样的点P ；如果不存在，说明理由．
9．解（1）将方程2
2
22(8)4120 x y ax a y a +---++=化为
221612(224)0x y y x y a +-++-++=，
令22161202240
x y y x y ⎧+-+=⎨-++=⎩得42x y =⎧⎨=⎩或64x y =⎧⎨=⎩，所以圆2C 过定点(4,2)和(6,4)，4分
将42
x y =⎧⎨
=⎩代入22
106320x y x y +--+=，左边=1644012320+--+==右边，故点(4,2)在圆1
C 上，同理可得点(6,4)也在圆1C 上，所以圆1C 、圆2C 相交于两个定点(4,2)和(6,4)；……………6分 （2）设00(,)P x y
，则1PT =
(8)
分
2PT =， ………………………………10分
12PT PT =即00001063222(8)412x y ax a y a --+=---++，
整理得00(2)(5)0x y a ---=（*）…………………………………………………12分
存在无穷多个圆2C ，满足12PT PT =的充要条件为00220
02014x y x y --=⎧⎪
⎨+=⎪⎩有解，
解此方程组得0020x y =⎧⎨=⎩或0065
45x y ⎧=
⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，………………………………………14分
故存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足12PT PT =，点P 的坐标为64(2,0)(,)55
或-．………………16分
10、在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)4C x y ++=和圆22
2:(4)(4)4C x y -+-=
(1) 若直线l 过点(4,1)A -，且被圆1C
截得的弦长为l 的方程；
(2) 是否存在一个定点P ，使过P 点有无数条直线l 与圆1C 和圆2C 都相交，且l 被两圆截得的弦长相等，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
10、解：(1)由于直线4x =与圆1C 不相交，所以直线l 的斜率存在.
设直线l 的方程为(4)1y k x =--，圆1C 的圆心到l 的距离为d ，所以1d =. 由点到直线l
的距离公式得d =
，从而(247)0k k +=
所以0k =或7
24
k =-
，所以直线l 的方程为1y =-或72440x y +-=.………8分 (2)假设存在，设点P 的坐标为(,),P a b l 的方程为()y b k x a -=-，因为圆1C 和圆2C 的半径相等，被l 截得的弦长也相等，所以点1C 和圆2C 的半径相等，被l 的距离相等，
=
，
整理得：
(147)2(81432)8160a k a b k b --+-+-=，因为k 的个数有无数多个，所以
14708143208160a a b b -=⎧⎪
+-=⎨⎪-=⎩
解得 122a b ⎧
=⎪⎨⎪=⎩ 综上所述，存在满足条件的定点P ，且点P 的坐标为1(,2)2
P . ………16分。