lyc70-1-12

15 − 100 × 0.1 X − 100 × 0.1 ≤ ≤ 15} = P 100 × 0.1 × 0.9 100 × 0.1 × 0.9
P{X
15 − 100× 0.1 5 = Φ = 0.952. ≈ Φ 3 100× 0.1× 0.9
第一章 概率论
序列， 设X 1 ,L , X n ,L , 独立同分布的随机变量 序列， X i ~ P (λ ), 则中心极限定理： 则中心极限定理：
λ X ~ N λ, ⇔ 近似 n
1 n ∑ Xk − λ n k =1
λ
n
n
近似
~ N (0,1)
⇔ ∑ X k ~ N ( nλ , nλ ) ⇔
250 DX 3 = 1 - 1 = 29 ≥ 1- 2 = 150 2500 30 30
P {50 ≤ X ≤ 150} =
i = 50
∑C
150
i 600
1 6
i
5 6
600 − i
≈ 0.999999918
第一章 概率论
事件发生 的频繁程度 频 率 概率的定义(频率 概率的定义 频率) 频率 稳 定值
第一章 概率论
1.9.4 贝努里大数定律 这个定理是频率稳定到概率的理论依据。 这个定理是频率稳定到概率的理论依据。 贝努里试验中事件 A发生的概率为 p 发生的概率为
发生， 1, 第k次试验中 A发生， Xk = k = 1,2, L , n. 0，第k次试验中 A不发生 ,
X k ~ B(1, p), i = 1,L n, ∑ X i ~ B( n, p),
1 2π
−∞
∫e
x
t2 − 2
dt = Φ( x ).
第一章 概率论
1 n ∑1 X k − µ n k=
σ
σ2 ~ N (0,1) ⇔ X ~ N µ , 近似 近似 n
n ⇔
∑X
k =1
n
k
− nµ
nσ
近似
~ N (0,1) ⇔ ∑ X k ~ N ( nµ , nσ 2 )
第一章 概率论
η 200 ~ B(200, 0.5)
i P {80 < η200 < 150} = ∑ C 200 0.5i 0.5200− i i = 81 149
η200 ~ N (100, 50)
近似
P {80 < η 200
80 − 100 η 200 − 100 150 − 100 < 150} = P < < 50 50 50
0.20
0.15
n=200 0.08 0.07 0.06
0.10
0.05
0.00 0.00 -0.05
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
0.05 0.04 0.03
) lim P { p - p ≥ ε } = 0
n →∞
0.02 0.01 0.00 -0.01 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
1 ≤ 2 ε
DX σ 2 ( x - µ )2 f ( x )dx = 2 = 2 ∫∞ ε ε -
∞
这个不等式给出了随机变量X 分布未知情况下， 这个不等式给出了随机变量 分布未知情况下， 一个估计。 P{| X − µ |< ε } 一个估计。
第一章 概率论
例如：对于正态分布， 例如：对于正态分布，取
n k =1 近似
序列， 设 X 1 , L , X n , L , 独立同分布的随机变量 序列， X i ~ B (1, p ), 则中心极限定理： 则中心极限定理：
第一章 概率论
1 n ∑1 X k − p n k= pq ~ N (0,1) ⇔ X ~ N p, 近似 近似 n pq n ⇔
则：对任意的 ε > 0 有
n ∑ Xi pq ) i =1 P − p ≥ ε = lim P { p - p ≥ ε } ≤ 1 − 2 → 0 n →∞ nε n
第一章 概率论
1.9.3 契比雪夫大数定律 契比雪夫大数定律
相互独立， 设随机变量 X 1 , L X n L 相互独立，
1 n 1 n 1 n 2 C D ∑ X k = 2 ∑ DX k = 2 ∑ σ k ≤ n k =1 n k =1 n k =1 n
由切比晓夫不等式得： 由切比晓夫不等式得：
1 n 1 n 1 P ∑ X k - ∑ µk < ε > 1 - 2 2 n k =1 nε n k =1 C ∑ σ > 1 − nε 2 k =1
k =1 近似
n
∑X
k =1
k
− nλ
近似
பைடு நூலகம்
nλ
~ N (0,1)
结论： 结论： P ( nλ ) ~ N ( nλ , nλ )
近似
第一章 概率论
X i ~ P (5),η200 = ∑ X i ~ P (5 × 200)
i =1 n
n n E ∑ X i = np, D ∑ X i = npq, i =1 i =1
第一章 概率论
n ∑ Xi E i =1 n n ∑ Xi = p, D i =1 n pq = n
ε = 3σ
，有：
P {| X − µ |< 3σ } ≥ 0.8889
查正态分布表可以求出： 查正态分布表可以求出：
P {| X − µ |< 3σ } = 0.997
比较可知：不等式的估计结果很保守。 比较可知：不等式的估计结果很保守。 设种子的良种率为1/6，任选600粒，试用切比 例：设种子的良种率为 ，任选 粒 晓夫不等式估计： 粒种子中良种数在50-150 晓夫不等式估计 ： 这 600粒种子中良种数在 粒种子中良种数在 之间的概率? 之间的概率
事件发生 的可能性的大小 概率
在相同的条件下，进行了 次试验， 在相同的条件下，进行了n 次试验， 当n充分大 充分大 的频率愈来愈稳定， 时，A的频率愈来愈稳定，其稳定中心被称为 的概率 的频率愈来愈稳定 其稳定中心被称为A的概率 记为P(A). 记为
n=50
第一章 概率论 p = 0.8
n=10 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 -0.05 0.0 0.2 0.4 0.6
150 − 100 80 − 100 ≈ Φ − Φ 50 50
第一章 概率论
个相互独立起作用的部件组成， 例：系统由100个相互独立起作用的部件组成，每 系统由 个相互独立起作用的部件组成 个部件的损坏率为0.1。系统要正常工作， 个部件的损坏率为 。系统要正常工作，至少有 85个部件正常工作，求系统正常工作的概率。 个部件正常工作，求系统正常工作的概率。 个部件正常工作 解： 设X是损坏的部件数， X~B(100,0.1)。 是损坏的部件数， 是损坏的部件数 。 则整个系统能正常工作当且仅当 X ≤ 15. 近似服从N(10,9)分布。 分布。 由中心极限定理的推论得 X近似服从 近似服从 分布
序列， 设 X 1 , L , X n , L 独立同分布的随机变量 序列，且
EX k = µ ， DX k = σ ≠ 0, ( k = 1,2, L)
2
则{ X n }服从中心极限定理 , 即：
1 n n ∑ Xk − µ lim P k =1 ≤ x = n →∞ σ n
2 k n
1 n 1 n lim P ∑ X k - ∑ µk < ε = 1 n →∞ n k =1 n k =1
第一章 概率论
X 1 , L , X n，X i ~ N ( µ , σ 2 ) 相互独立
4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -5 -4 -3 -2 -1 -0.5 0 1 2
−ε
1
1
λ
λ
+ε
x
1 P X − < ε = λ
∫λ
1
λ
+ε −ε
λ e −λ xdx
第一章 概率论
1.9大数定律及中心极限定理 大数定律及中心极限定理 1.9.1 契比雪夫不等式 设随机变量 X 有数学期望 EX = µ , 方差 DX = σ 2 , 则对任意 ε > 0,
2 EX k = µk , DX k = σ k ≤ C, k = 1, 2...,
任意 ε > 0 有
1 n 1 n lim P ∑ X k - ∑ µk < ε = 1 n →∞ n k =1 n k =1
第一章 概率论
1 n 1 n 1 n 证： E n ∑ X k = n ∑ EX k = n ∑ µk k =1 k =1 k =1
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
第一章 概率论 b(25,0.36)和N(9,5.76)： ：
b(25,0.36)和 N(9,5.76) 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
第一章 概率论 b(300,0.25)和N(75,56.25)： ：