函数的导数与单调性

例题
函数的单调性与导数
引入
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时 1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数； G=(a,b) y y
x （3）f ( x) sin x 2
利用导数讨论函数单调性的步骤:
(1) 求导数 f ( x ).
(2) 解不等式 f ( x ) >0得f (x)的单调递增区间;
解不等式 f ( x )< 0得f (x)的单调递减区间.
说明:函数的单调区间必定是它的定义域的
子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定 函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的 x的范围时,要与定义域求两者的交集.
y
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x) f '(x)<0
o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则 f (x)为常数.
例题
例2: 确定下列函数的单调性，并求单调区间:
(1)
f ( x) x 3 x
3
(2) f (x)=x/2-ln(1+x)+1
o a b o x 若 f(x) 在G上是增函数或减函数， 则 f(x) 在G上具有严格的单调性.
a
b
x
G 称为单调区间
定义
(1) 函数的单调性也叫函数的增减性；
(2) 函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部 概念.这个区间是定义域的子集.
(3) 单调区间：针对自变量x而言的. 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间.
以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1<x2
的前提下,比较 f(x1)< f(x2)与的大小,在函数y= f(x)比较 复杂的情况下,比较 f(x1)与 f(x2)的大小并不很容易.如果 利用导数来判断函数的单调性就比较简单.
由上我们可得以下的结论:
定义:一般地,设函数y=f (x)在某个区间（a，b）内， 如果 f (x) >0,那么函数y=f (x) 在这个区间内单调递增; 如果 f (x )<0,那么函数y=f (x) 在这个区间内单调递减.
例题
例3: 已知函数 f ( x) ax bx 6 x 1 的单调增区间为(-2,3),求 a, b 的值。
3 2
例4: 已知函数 f ( x) x ax x 6 在(0,1)内单调递减，求 a 的取值范围。
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小结
1. 在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要 确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能 在函数的定义域内, 通过讨论导数的符号来 判断函数的单调区间. 2. 注意在某一区间内 f ( x ) >(<)0只是函数f (x) 在该区间上为增(减)函数的充分不必要条件.Βιβλιοθήκη 例1 求下列函数的单调区间.
(1). (2). (3). (4).
y x e (n 0, x 0)
n
y ln x 2 x 2 y x x x f ( x) sin x 2
x
2
例2 讨论下列函数的单调性.
(1). (2).
y x ax
3
a y x (a 0) x