浙江自考试题及解析近世代数

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浙江省 2018 年 1 月高等教育自学考试
近世代数试题
课程代码： 10025
一、单项选择题(在每题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号
填在题干的括号内。

每题 3 分，共 15分 )
1. 设会合 A 含有 n 个元素，那么 A 的子集共有多少个 ?()
A. n!
B. n2
C. 2n
n(n1) D.
2
2. 以下法例，哪个是集 A 的代数运算 ()。

A. A=N a b=a-b
B. A=Z a
ab b=
2
C. A=Q a
a
D. A=R a b=a+ πb=
b
3.设 S={a,b,c,d}, S 中规定一个代数运算以下表，
0a b c d
a d a a d
b a
c b d
c a b c d
d d d d a
则 S 对于所给代数运算作成的代数系统中的可逆元素为()。

A. a 与 b
B. b 与 c
C. c 与 d
D. d 与 a
4. 以下命题中，正确的选项是()。

A.随意一个环 R，必含有单位元
B.环 R 中至多有一个单位元
C.环 R 有单位元，则它的子环也有单位元
D.一个环与其子环都有单位元，则两个单位元必定同样
5. p(素数 )阶有限群的子群个数为()。

A. 0
B. 1
C. 2
D. p
二、填空题 (每空 3 分，共 27 分 )
1.设 A={a,b,c,d} ，则 A 到 A 的一一映照共有 ____________个。

2.设 G 是 6 阶循环群，则 G 的生成元有 ____________个。

3.非零复数乘群 C* 中由 -i 生成的子群是 ____________ 。

4.节余类环 Z7的零因子个数等于 ____________ 。

5.素数阶有限群 G 的非平庸子群个数等于 ____________ 。

6.节余类环 Z6的子环 S={ ［ 0］ ,［ 3］}, 则 S 的单位元是 ____________ 。

1
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7.整环与主理想环的关系是 ____________ 。

8. 设 Q 是有理数集， S={ 全部整数 } ∪ { 2 },则Q(S)=____________。

9.1+i 在实数域 R 上的极小多项式是 ____________ 。

三、 (第 1、2 小题各 10 分，第 3 小题 14 分，共 34 分)
1.设群 G={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}
i)写出 G 中每个元素的阶；
ii)找出 G 的全部子群。

2.设 G 是整数加群 Z，H={mk|k ∈Z}, 商群 G/H 含哪些元 ?G/H 中的零元是什么 ?G/H 中的运算是如何的规定的 ?
3.求模 8 的节余类环Z8的全部子环。

四、 (每题 8 分，共 24 分 )
a 0
1.设 R=a,b z ，那么R对于矩阵的加法和乘法组成环，问：
0 b
i)R 能否互换环 ?有没有单位元 ?
ii)找出 R 的零因子和可逆元。

2.证明一个有限非互换群起码要有 6 个元。

3.高斯整数环Z［ i］ ={a+bi|a 、 b∈ Z} 的子集 S={a+bi|a 、 b∈2Z} ，
i)证明 S 是 Z［ i］的理想子环；
ii)求出 Z［ i］对于 S 的全部陪集；
iii)说明 Z［ i ］/S 不是域。

2。