人教版九年级数学下册28章锐角三角函数教案

人教版
九年级数学
下
册
教案
28.1.1锐角三角函数——正弦
一、教学目标
1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。

2、能根据正弦概念正确进行计算
3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。

二、教学重点、难点
重点：理解认识正弦（sinA ）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．
难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。

三、教学过程 （一）复习引入
操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。

（演示学校操场上的国旗图片）
小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。

你想知道小明怎样算出的吗？
师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度；
实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度。

这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法。

下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦 （二）实践探索
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。

现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？ 分析：
341米
10米
?
问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,求AB
根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即
可得AB=2BC=70m.即需要准备70m长的水管
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90o，∠A=45o，计算∠A的对边与斜边的比，
能得到什么结论？
分析：在Rt△ABC 中，∠C=90o，由于∠A=45o，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得
，故
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.
一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C` =90o，∠A=∠A`=α，那么与有什么关系
分析：由于∠C=∠C` =90o，∠A=∠A`=α，所以Rt△ABC∽Rt△A`B`C`，
，即
结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值。

认识正弦
如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c。

师：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A
的正弦。

记作sinA。

板书：sinA ＝
A a A c ∠=∠的对边的斜边 （举例说明：若a=1,c=3,则sinA=3
1
）
注意：1、sinA 不是 sin 与A 的乘积，而是一个整体；
2、正弦的三种表示方式：sinA 、sin56°、sin ∠DEF
3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。

提问：∠B 的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？ （三）教学互动 例1如图,在
中,
,求sin
和sin
的值.
解答按课本 （四）巩固再现
1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是﹙ ﹚ A ．4
3 B ．3
4 C ．53 D ．5
4
2．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o
，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（ ） A ．35 B ．45 C ．34 D ．4
3 3．在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=2
3，则边AC 的长是( )
A ．13
B ．3
C ．4
3 D ． 5
四、布置作业
28.1.2锐角三角函数——余弦和正切
一、教学目标
1、使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实．
2、逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力． 二、教学重点、难点 重点：理解余弦、正切的概念
C
B A
α
A
B
C
D 难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算 三、教学过程 （一）复习引入 1、口述正弦的定义
2、（1）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝5，BC ＝3．则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ． （2）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。

已知AC= 5 ，BC=2，
那么sin ∠ACD ＝（ ） A ．53
B ．23
C ．255
D ．52
（二）实践探索
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠C` =90o ，∠B=∠B`=α，那么'
''
'B A C B AB BC 与
有什么关系？
分析：由于∠C=∠C` =90o
，∠B=∠B`=α，所以Rt △ABC ∽Rt △'''C B A ，
''''B A AB C B BC =，即'
''
'B A C B AB BC =
结论：在直角三角形中，当锐角B 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B 的邻边与斜边的比也是一个固定值。

如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o ，把锐角B 的邻边与斜边的比叫做∠B 的余弦，记作cosB 即
c a B B =∠=
斜边的邻边cos ，把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切.记作tanA,即b
a
A A A =∠∠=的邻边的对边tan ，
锐角A 的正弦,余弦,正切都叫做∠A 的锐角三角函数. （三）教学互动 例2:如图,在中,
,BC=6,5
3
sin =
A 求cos 和tan 的值.
解:∵AB BC A =
sin ,∴103
5
6sin =⨯==A BC AB 又86102222=-=-=BC AB AC
例3:(1)如图(1), 在中，,,
,求的度数.
(2)如图(2),已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的
倍,求
.
（四）巩固再现 1.在
中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（）
A ．
B ．
C ．
D ．
2. 在中，∠C ＝90°，如果5
4
cos
A 那么的值为（）
A ．
53B ．4
5C ．
4
3
D ．
3
4 3、如图：P 是∠的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4）， 则cos
＝_____________.
4、P81 练习1、2、3 四、布置作业 P85 1
28.1锐角三角函数（第三课时）——特殊角三角函数值
教 学 目 标
知识技能 熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特
殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个
角的度数． 数学思考 加深学生对锐角三角函数的认识，了解特殊与一般的关系，并对学生进行逆向思维的训练．
解决问题
会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数．
情感态度 引导学生积极参加数学活动，增强学习数学的好奇心．
重点
会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数．
难点 会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数．
板书设计
课后反思
三角形．
2
60sin 60+；
45
tan 4545-． ．本课时练习1 求下列各式的值： +3tg30°+ctg45°；32；（4）sin B =． 活动三：课堂小结 你在本节课中有什么收获与大家交3tan(10)1α+=，求锐角3
3
A =
，则∠A 的度数是多少？α
O 图(2)
B
2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
过程与方法：
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
情感态度与价值观：
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
重难点、关键：
1．重点：直角三角形的解法．
2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【引入】我们一起来解决关于比萨斜塔问题
见课本在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m．
sin=
5.2
54.5
BC
AB
≈0.0954．
所以∠A≈5°28′．
二、探索新知、分类应用
【活动一】理解直角三角形的元素
【提问】1．在三角形中共有几个元素？什么叫解直角三角形？
总结：一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

【活动二】直角三角形的边角关系
直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系
a b A b a A c b A c a A ====
cot ;tan ;cos ;sin
如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.
的对边的邻边
；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=
∠∠=∠=∠=
cot tan cos sin
(2)三边之间关系 a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．
【活动三】解直角三角形
例1：在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且26，解这个三角形．
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
例2：在Rt △ABC 中， ∠B =35°，b=20，解这个三角形（结果保留小数点后一位． 引导学生思考分析完成后，让学生独立完成。

在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书。

总结：完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？” 三、总结消化、整理笔记
本节课应掌握：
1．理解直角三角形的边角之间的关系、边之间的关系、角的关系；
2．解决有关问题；
四、书写作业、巩固提高
（一）巩固练习：课本74页练习
（二）提高、拓展练习：分层作业
五、教学后记
28.2.2 应用举例（1）
教学目标：
知识与技能：
1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。

过程与方法：
1、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
2、注意加强知识间的纵向联系．
情感态度与价值观：
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
重难点、关键：
重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
难点：实际问题转化成数学模型
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【复习引入】
1、直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答．
2、在中Rt△ABC中已知a=12,c=13 求角B应该用哪个关系？请计算出来。

二、探索新知、分类应用
【活动一】例1：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角α一般要满足5070
︒≤α≤︒，(如图).现有一个长6m的梯子，问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子。

引导学生先把实际问题转化成数学模型，然后分析提出的问题是数学模型中的什么量，在这个数学模型中可用学到的什么知识来求未知量？
几分钟后，让一个完成较好的同学示范。

【活动二】课本例3：2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”九号与“天宫”一号的组合体当在离地球表面343km的圆形轨道上运行.如图,当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数)？
分析:从组合体上能直接看到的地球表面最远的点，应是视线与地球相切时的切点.
如图,⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点. 弧PQ的长就是地面上P, Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出。

【活动三】课本例4
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋离楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果取整数)?
老师分析：
1、可以先把上面实际问题转化成数学模型，画出直角三角形。

2、在中，，.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC.
三、总结消化、整理笔记
本节课应掌握：
1、把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
2、归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
四、书写作业、巩固提高
（一）巩固练习：课本76页练习1、2
（二）提高、拓展练习：分层作业
五、教学后记
28.2.2 应用举例（2）
教学目标：
知识与技能：
1、使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．
过程与方法：
学会这样分析问题．
情感态度与价值观：
体会用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题，提高学生的兴趣。

教学重点、难点
重点：用三角函数有关知识解决方位角问题
难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【复习】
1、叫同学们在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的）。

2、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线
二、探索新知、分类应用
【活动一】
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，B处距离灯塔P有多远(结果取整数)?
【活动二】巩固练习
1、上午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．
2、如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
【活动三】坡角问题，所用到的“化整为0，积0为整，化曲为直，以直带曲”
例题
利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
三、总结消化、整理笔记
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）．
2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．
3．得到数学问题的答案．
4．得到实际问题的答案．
四、书写作业、巩固提高
（一）巩固练习：课本77页练习2
（二）提高、拓展练习：分层作业五、教学后记。