含参数的一元二次不等式例题

含参数的一元二次不等式例题例题 1
解不等式：x^2 2x + a > 0，其中a为参数。

解析：
对于一元二次方程x^2 2x + a = 0，其判别式\Delta = 4 4a。

当\Delta 0，即4 4a 0，a > 1时，不等式的解集为R。

当\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1时，不等式化为(x 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。

当\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1时，方程x^2 2x + a = 0
的两根为x_1 = 1 \sqrt{1 a}，x_2 = 1 + \sqrt{1 a}，不等式的解集为x 1 \sqrt{1 a}或x > 1 + \sqrt{1 a}。

例题 2
解不等式：ax^2 + 2x + 1 > 0，其中a为参数。

解析：
当a = 0时，不等式化为2x + 1 > 0，解得x > \frac{1}{2}。

当a ≠ 0时，对于一元二次方程ax^2 + 2x + 1 = 0，其判别式\Delta = 4 4a。

若\Delta 0，即4 4a 0，a > 1，不等式的解集为R。

若\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1，不等式化为(x + 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。

若\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1且a ≠ 0，方程ax^2 + 2x + 1 = 0的两根为x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}，x_2 =
\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。

当0 a 1时，不等式的解集为x \frac{1 \sqrt{1 a}}{a}或x > \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}。

当a 0时，不等式的解集为\frac{1 + \sqrt{1 a}}{a} x
\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。

例题 3
解不等式：x^2 (a + 1)x + a 0，其中a为参数。

解析：
原不等式可化为(x a)(x 1) 0。

当a > 1时，不等式的解集为1 x a。

当a = 1时，不等式无解。

当a 1时，不等式的解集为a x 1。

例题 4
解不等式：a^2x^2 2ax 3 0，其中a为参数。

解析：
当a = 0时，不等式化为 3 0，恒成立，解集为R。

当a ≠ 0时，不等式可化为(ax + 1)(ax 3) 0。

方程(ax + 1)(ax 3) = 0的两根为x_1 = \frac{1}{a}，x_2 = \frac{3}{a}。

当a > 0时，不等式的解集为 \frac{1}{a} x \frac{3}{a}。

当a 0时，不等式的解集为\frac{3}{a} x \frac{1}{a}。

例题 5
解不等式：x^2 2ax + a^2 1 0，其中a为参数。

解析：
原不等式可化为(x a)^2 1 0，即(x a 1)(x a + 1) 0。

不等式的解集为a 1 x a + 1。

例题 6
解不等式：ax^2 2x + 1 0，其中a为参数。

解析：
当a = 0时，不等式化为2x + 1 0，解得x > \frac{1}{2}。

当a ≠ 0时，判别式\Delta = 4 4a。

当\Delta 0，即a > 1时，不等式的解集为空集。

当\Delta = 0，即a = 1时，不等式化为x^2 2x + 1 0，无
解。

当\Delta > 0，即a 1且a ≠ 0时，方程ax^2 2x + 1 = 0的
两根为x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}，x_2 = \frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。

当0 a 1时，不等式的解集为\frac{1 \sqrt{1 a}}{a} x
\frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}。

当a 0时，不等式的解集为x \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}或
x > \frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。

例题 7
解不等式：x^2 + ax + 1 > 0，其中a为参数。

解析：
判别式\Delta = a^2 4。

当\Delta 0，即2 a 2时，不等式的解集为R。

当\Delta = 0，即a = ±2时，
若a = 2，不等式化为(x + 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。

若a = 2，不等式化为(x 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。

当\Delta > 0，即|a| > 2时，方程x^2 + ax + 1 = 0的两根为x_1 = \frac{a \sqrt{a^2 4}}{2}，x_2 = \frac{a + \sqrt{a^2 4}}{2}，不等式的解集为x \frac{a \sqrt{a^2 4}}{2}或x >
\frac{a + \sqrt{a^2 4}}{2}。

例题 8
解不等式：a(x 1)^2 > 2(x 1)，其中a为参数。

解析：
当x = 1时，不等式不成立。

当x ≠ 1时，不等式可化为a(x 1) > 2。

当a > 0时，x 1 > \frac{2}{a}，解得x > \frac{2}{a} + 1。

当a = 0时，不等式无解。

当a 0时，x 1 \frac{2}{a}，解得x \frac{2}{a} + 1。

例题 9
解不等式：x^2 ax + 2a > 0，其中a为参数。

解析：
对于方程x^2 ax + 2a = 0，判别式\Delta = a^2 8a。

当\Delta 0，即0 a 8时，不等式的解集为R。

当\Delta = 0，即a = 0或a = 8时，
若a = 0，不等式化为x^2 > 0，解集为x ≠ 0。

若a = 8，不等式化为(x 4)^2 > 0，解集为x ≠ 4。

当\Delta > 0，即a 0或a > 8时，方程x^2 ax + 2a = 0的两根为x_1 = \frac{a \sqrt{a^2 8a}}{2}，x_2 = \frac{a +
\sqrt{a^2 8a}}{2}，不等式的解集为x \frac{a \sqrt{a^2
8a}}{2}或x > \frac{a + \sqrt{a^2 8a}}{2}。

解不等式：ax^2 + (a 2)x 2 ≥ 0，其中a为参数。

解析：
原不等式可化为(ax 2)(x + 1) ≥ 0。

当a = 0时，不等式化为 2(x + 1) ≥ 0，解得x ≤ 1。

当a ≠ 0时，方程(ax 2)(x + 1) = 0的两根为x_1 =
\frac{2}{a}，x_2 = 1。

当a > 0时，若\frac{2}{a} > 1，即a > 0时，不等式的解集为x ≤ 1或x ≥ \frac{2}{a}。

若\frac{2}{a} 1，即a 2时，不等式的解集为x ≤
\frac{2}{a}或x ≥ 1。

当a 0时，不等式的解集为1 ≤ x ≤ \frac{2}{a}。

例题 11
解不等式：x^2 2ax 3a^2 0，其中a为参数。

解析：
原不等式可化为(x 3a)(x + a) 0。

当a > 0时，不等式的解集为 a x 3a。

当a = 0时，不等式化为x^2 0，解集为空集。

当a 0时，不等式的解集为3a x a。

例题 12
解不等式：2x^2 + ax + a^2 > 0，其中a为参数。

解析：
判别式\Delta = a^2 16a^2 = 15a^2 0，所以不等式的解集为R。

解不等式：ax^2 3x + 2 > 0，其中a为参数。

解析：
当a = 0时，不等式化为 3x + 2 > 0，解得x \frac{2}{3}。

当a ≠ 0时，判别式\Delta = 9 8a。

当\Delta 0，即a > \frac{9}{8}时，不等式的解集为R。

当\Delta = 0，即a = \frac{9}{8}时，不等式化为
(\frac{3\sqrt{2}}{4}x \sqrt{2})^2 > 0，解集为x ≠
\frac{4}{3}。

当\Delta > 0，即0 a \frac{9}{8}时，方程ax^2 3x + 2 = 0的两根为x_1 = \frac{3 \sqrt{9 8a}}{2a}，x_2 = \frac{3 +
\sqrt{9 8a}}{2a}，不等式的解集为x \frac{3 \sqrt{9 8a}}{2a}或x > \frac{3 + \sqrt{9 8a}}{2a}。

当a 0时，不等式的解集为\frac{3 + \sqrt{9 8a}}{2a} x \frac{3 \sqrt{9 8a}}{2a}。

例题 14
解不等式：x^2 + 2ax + a^2 4 0，其中a为参数。

解析：
原不等式可化为(x + a)^2 4 0，即(x + a 2)(x + a + 2) 0。

不等式的解集为 a 2 x a + 2。

例题 15
解不等式：a^2x^2 + 5ax 6 0，其中a为参数。

解析：
原不等式可化为(ax + 6)(ax 1) 0。

当a = 0时，不等式化为 6 0，恒成立，解集为R。

当a ≠ 0时，方程(ax + 6)(ax 1) = 0的两根为x_1 =
\frac{6}{a}，x_2 = \frac{1}{a}。

当a > 0时，不等式的解集为 \frac{6}{a} x \frac{1}{a}。

当a 0时，不等式的解集为\frac{1}{a} x \frac{6}{a}。

例题 16
解不等式：x^2 (a + 2)x + 2a 0，其中a为参数。

解析：
原不等式可化为(x 2)(x a) 0。

当a > 2时，不等式的解集为2 x a。

当a = 2时，不等式无解。

当a 2时，不等式的解集为a x 2。

例题 17
解不等式：ax^2 + bx + 1 > 0，其中a、b为参数。

解析：
当a = 0时，不等式化为bx + 1 > 0。

若b = 0，不等式化为1 > 0，恒成立，解集为R。

若b > 0，解得x > \frac{1}{b}。

若b 0，解得x \frac{1}{b}。

当a ≠ 0时，判别式\Delta = b^2 4a。

当\Delta 0，即b^2 4a 0时，不等式的解集为R。

当\Delta = 0，即b^2 4a = 0时，
若a > 0，不等式化为(x + \frac{b}{2a})^2 > 0，解集为x ≠ \frac{b}{2a}。

若a 0，不等式无解。

当\Delta > 0，即b^2 4a > 0时，方程ax^2 + bx + 1 = 0的两根为x_1 = \frac{b \sqrt{b^2 4a}}{2a}，x_2 = \frac{b +
\sqrt{b^2 4a}}{2a}。

若a > 0，不等式的解集为x \frac{b \sqrt{b^2 4a}}{2a}或x > \frac{b + \sqrt{b^2 4a}}{2a}。

若a 0，不等式的解集为\frac{b + \sqrt{b^2 4a}}{2a} x \frac{b \sqrt{b^2 4a}}{2a}。

例题 18
解不等式：x^2 2ax + a^2 b^2 0，其中a、b为参数。