高三数学高考复习回归课本概率与统计

2010高考复习数学回归课本：概率与统计
一．考试内容：
离散型随机变量的分布列. 离散型随机变量的期望值和方差.
抽样方法.总体分布的估计.正态分布.线性回归.
二．考试要求：
(1)了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列.
(2)了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差.
(3)会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本. (4)会用样本频率分布去估计总体分布. (5)了解正态分布的意义及主要性质. (6)了解线性回归的方法和简单应用.
【注意】这部分复习的重点是随机变量的分布列、期望、方差、抽样方法与样本方差、标准方差公式.
三．基础知识:
1.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）0(1,2,)i P i ≥=;
（2）121P P ++=.
2.数学期望
1122n n E x P x P x P ξ=++
++
170.数学期望的性质
（1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=.
(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1
E p
ξ=. 4.方差
()()()22
2
1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅+
+-⋅+
5.标准差
σξ=ξD .
6.方差的性质
(1)()2
D a b a D ξξ+=；
(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-. (3) 若ξ服从几何分布,且1
()(,)k P k g k p q p ξ-===，则2
q D p ξ=
. 7.方差与期望的关系
()2
2D E E ξξξ=-.
8.正态分布密度函数
(
)()()2
2
26,,x f x x μ--
=
∈-∞+∞，式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分
别表示个体的平均数与标准差.
9.标准正态分布密度函数
(
)()2
2,,x f x x -∈-∞+∞.
10.对于2(,)N μσ，取值小于x 的概率
()x F x μσ-⎛⎫
=Φ ⎪⎝⎭
.
()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<<
()()21F x F x =-
21x x μμσσ--⎛⎫⎛⎫
=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
11.回归直线方程
y a bx =+，其中()()()1122211n n
i i i i i i n n
i i
i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx
====⎧
---⎪
⎪==⎨--⎪⎪
=-⎩∑∑∑∑.
四．基本方法和数学思想
1.理解随机变量，离散型随机变量的定义，能够写出离散型随机变量的分布列,由概率的性质可知，任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（1）p i ≥0,i=1,2,...; (2) p 1+p 2+ (1)
2.二项分布：记作ξ～B （n,p ）,其中n,p 为参数，,)(k
n k k n q p C k P -==ξ并记),;(p n k b q p C k n k k n =-；
3.记住以下重要公式和结论：
（1）期望值E ξ＝ x 1p 1 + x 2p 2 + … + x n p n + … ;
（2）方差D ξ＝⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-n n p E x p E x p E x 2222121)()()(ξξξ ; （3）标准差ξξξξξδξD a b a D b aE b a E D 2)(;)(;=++=+=
；
（4）若ξ～B （n,p ）,则E ξ＝np, D ξ＝npq,这里q=1- p;
4.掌握抽样的三种方法：（1）简单随机抽样（包括抽签法和随机数表法）；（2）系统抽样，也叫等距离抽样；（3）分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形；
5.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图；
6.正态总体的概率密度函数：,,21)(2
2)(R x e
x f x ∈=
-σμσ
π式中σμ,是参数，分别表示总
体的平均数与标准差； 7.正态曲线的性质：（1）曲线在x ＝μ 时处于最高点，由这一点向左、向右两边延伸时，曲线逐渐降低；（2）曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越矮胖；反过来曲线越高瘦；（3）曲线在x 轴上方，并且关于直线x=μ 对称； 8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布),(2σμN 的概率 P （x 1<ξ<x 2）,可由变换
t x =-σ
μ
而得)(
)(σ
μ
φ-=x x F ，于是有P （x 1<ξ<x 2）＝
)(
)(
12σ
μ
φσ
μ
φ---x x ；
9.假设检验的基本思想：（1）提出统计假设，确定随机变量服从正态分布),(2
σμN ；（2）确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-；（3）作出推断：如果a ∈
)3,3(σμσμ+-，接受统计假设；如果a ∉)3,3(σμσμ+-,由于这是小概率事件，就
拒绝假设；
五．高考题回顾
一、离散型随机变量的分布列的性质：
1. （04年湖北卷.理13）设随机变量ξ的概率分布为P （ξ=k ）=
5
k a
，a 为常数，=k 1，2，…，则a =______.
2（04年辽宁卷.8）已知随机变量ξ的概率分布如下：
则(10)P ξ==( ). A. 93 B. 103 C. 93 D. 10
3 二.基本概念的考察.
3.经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人
4. （江苏卷）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：( )
9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7
去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为:
( A ) 9.4 , 0.484 ( B ) 9.4 , 0.016 ( C ) 9.5 , 0.04 ( D ) 9.5 ,0.016 5. .(湖南)一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲．乙．丙3条生产线， 为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲．乙．丙 三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品.
6. 江西卷）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生
数为b ，则a , b 的值分别为（ ） A ．0,27,78 B ．0,27,83 C ．2.7,78 D ．2.7,83 7. 从存放号码分别为1，2，…，10
的卡片的盒子中，在放回地取100次，
每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
则取到号码为奇数的频率是()
(A)0.53 (B) 0.5 (C) 0.47 (D) 0.37
三.典型大题举例.
8. 甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数,求ξ的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）
9.（广东卷）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为ｓ：ｔ．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放
回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次．以ξ表示取球结
束时已取到白球的次数．
（Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求ξ的数学期望．
10（湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。

如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，
0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一
年内领到驾照的概率.
11．（辽宁卷）
某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工
结果均有A 、B 两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品.
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A 级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙；
（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I ）的条件下，求ξ、η的分布列及E ξ、E η； （Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元.设x 、y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II ）的条件下，x 、y 为何值时，ηξyE xE z +=最大？最大值是多少？
六.课本中习题归纳
一 离散型随机变量的分布列,期望,方差
1抛掷一个骰子,求得到的点数为ξ的分布列,期望,方差.
2某一射手射击所得环数ξ的分布列如下:
(1)求p 的值; (2)求(7)P ξ≥; (3)求所得环数ξ的期望.
3某人每次射击击中目标的概率是0.2,射击中每次射击的结果是相互独立的,求他在10次射击中击中目标的次数ξ的分布列,期望,方差.
4某人每次投篮投中的概率为0.1,各次投篮的结果互相独立.求他首次投篮投中时投篮次数ξ的分布列,期望,方差.
5篮球运动员在比赛中第次罚球命中得1分,罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,求他罚球1次的得分ξ的分布列,期望,方差.
6在独立重复试验中,每次试验中某事件发生的概率是0.8,求第3次事件发生所需要的 试验次数ξ的分布列.
7抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,求得分ξ的分布列, 期望,方差.
8抛掷两个骰子,
(1)求所得两个点数之差的绝对值的分布列. (2)求所得两个点数的积的分布列; (3)求所得两个点数的和的分布列;
9从1,2,3,⋅⋅⋅,n 这n 个数中任取两个,求两数之积的数学期望.
10设随机变量ξ满足(1)P p ξ==,(0)1P p ξ==-,则E ξ= ,D ξ= . 11某工厂规定,如果工人在一个季度里有1个月完成任务,可得奖金90元;如果有2个月完成任务,可得奖金210元;如果有3个月完成任务,可得奖金330元;如果工人三个月都未完成任务,则没有奖金.假设某工人每月完成任务与否是等可能的,求此工人在一个季度里所得奖金的期望.
12设连续型随机变量ξ的密度函数
(10)
()(01)
0(11)
c x x
f x c x x
x x
+-<≤
⎧
⎪
=-<≤
⎨
⎪≤->
⎩或
,则常数c= .
3盒子中有5个球,其中有3个白球,2个黑球,从中任取两个球,求白球数ξ期望和方差.
二统计(抽样方法总体分布的估计)
14将全班女学生(或男学生)按座位编号,制作相应的卡片号签,放入同一个箱子里均匀搅拌.从中抽出8个号签,就相应的8名学生对看足球比赛的喜欢程度进行调查,这里运用了抽取样本的方法.
15一个礼堂有30排座位,每排有40个座位.一次报告会礼堂坐满了听众.会后为听取意见留下了座号为14的所有30名听众进行座谈. 这里运用了
抽取样本的方法.
16某市的3个区共有高中学生20000人,且3个区的高中学生人数之比为2:3:5,现要用分层抽样方法从所有学生中抽取一个容量为200的样本,这3个区分别应抽取人. 17某单位有老年人28人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们的身体状况的某项指标,需从他们中抽取一个容量为36的样本,则适合的抽样方法是
A简单随机抽样 B系统抽样
C分层抽样 D先从老年人中剔除一人,然后分层抽样。