高二第二学期期末考试数学试题含答案(word版)

高二年级第二学期期末考试数学试题
一、选择题（每小题5分，共50分）
1．在用数学归纳法证明:“凸多边形内角和为π)2(-n ”时，第一步验证的n 等于( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 2.欧拉公式x i x e ix sin cos +=（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天骄”。

根据欧拉公式可知，i e 3
2π
表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．用反证法证明：“实数z y x ,,中至少有一个不大于0”时，反设正确的是（ ） A ．z y x ,,中有一个大于0 B ．z y x ,,都不大于0 C ．z y x ,,都大于0 D ．z y x ,,中有一个不大于0 4．设随机变量),(~p n B X ,且 1.6Ex =,0.96Dx =,则( )
A ．0.4p 4,n ==
B ．0.2p 8,n ==
C ．0.32p 5,n ==
D ．0.45p 7,n == 5．曲线)20(sin π≤≤=x x y 与x 轴所围成的封闭图形的面积为 ( ) A ．2
B ．π2
C ．π
D ．4
6．已知函数x e x f x ln )(2⋅=，)(x f '为)(x f 的导函数，则)1(f '的值为（ ） A ．0 B ．1
C ．e
D ．2e
7．给出定义：设)(x f '是函数)(x f y =的导函数，)(x f ''是函数)(x f '的导函数，若方程0)(=''x f 有实数解0x ，则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”.已知函数x x x x f cos sin 3)(-+=的拐点是))(,(00x f x ，则=0tan x （ ） A ．2
1 B ．
2
2
C ．2
3 D ．1
8．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．这是一种无限与有限的转化过程，比如
在正数Λ++112112中的“…”代表无限次重复，设Λ++=
112112
x ，则可以利用方程x x +=112求得x ，类似地可得到正数Λ333=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6
9．已知6)(
x x
a -展开式的常数项为15，则=a （ ）
A ．1±
B ．0
C ．1
D ．-1
10．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ） A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．设随机变量X 的概率分布列如下图，则==-)12(x P __． 12．曲线1)(+=x xe x f 在点))0(,0(f 处的切线方程为_____． 13．复数z 满足12=+-i z ，则z 的最小值是___________．
14．椭圆14
2
2
=+y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 ．
三、解答题（每小题10分，共50分）
15．已知复数i i
a
z ++=1，其中i 为虚数单位，R a ∈. （1）若R z ∈，求实数a 的值；
（2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，求实数a 的取值范围.
16.用数学归纳法证明：当*N n ∈时，21223+++n n 能被7整除．
17．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重. 大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病。

为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如表所示的列联表:已知在全
部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为5
2
.
（1）请将列联表补充完整；
（2）是否有97.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由；
（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病.现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为X ，求X 的分布列以及数学期望.下面的临界值表供参考:
)
(2k P ≥χ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式)
)()()(()(22
d b c a d c b a bc ad n ++++-=χ 其中d c b a n +++=）
18．设函数)( 3
2
2131)(23R a ax x x x f ∈++-=
. (1)若2=x 是)(x f 的极值点，求a 的值。

(2)已知函数2
2
1)()(ax x f x g -=，若)(x g 在区间（0,1）内仅有一个零点，求a 的取值范围。

19．我国2019年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为4
3
，女性观众认为《流浪地球》好看的概率为
3
2
，某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了4名观众（其中2男2女）。

（1）求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率；
（2）设ξ表示这4名观众中认为《流浪地球》好看的人数，求的分布列与数学期望.
患心肺 疾病 不患心 肺疾病 合计
男 5 女 10 合计
50
渭滨区2018-2019-2高二年级数学（理）答案
一、选择题（每小题5分，共50分） BBCAD DDBAC 二、填空题（每小题5分，共20分）11．12
5
12．01=+-y x 13．15- 14．π3
16
三、解答题（每小题10分，共50分） 15．解：（1）由题意，根据复数的运算，可得i a
a i i a z )2
1(21-+=++=, 由R z ∈，则02
1=-
a
， 解得2=a .
（2）由z 在复平面内对应的点位于第一象限，则02
>a 且02
1>-
a
，解得20<<a ，即(0,2)∈a . 16.证：①当1=n 时，35232333212=+=+++n n ，能被7整除； ②假设k n =时，21223+++k k 能被7整除，那么当1+=k n 时，
)23(2372232372239232121221212212332+++++++++++⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅=+k k k k k k k k k k ，
由于2
1223+++k k 能被7整除，1237+⋅k 能被7整除，可得33223+++k k 能被7整除，
即当1+=k n 时，33223+++k k 能被7整除；综上可得当*N n ∈时，21223+++n n 能被7整除. 17．解：（1）列联表补充如表所示
（2）∵)
)()()(()
(2
2d b c a d c b a bc ad n ++++-=
χ
∴024.5349.630
203515)
50250(502
2>≈⨯⨯⨯-=
χ
∵025.0)024.5(2
=≥χP
∴有97.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关. （3）根据题意，X 的值可能为0，1，2，3
120
35)0(31037===C C X P ，12063
)1(3102713===C C C X P , 12021)2(3101723===C C C X P ,
1201
)3(310
33==
=C
C X P ， X 分布列如表: 则10
9
12013120212120631120350=⨯+⨯+⨯+⨯
=EX 18．解：（1）)( 3
2
2131
)(23
R a ax x x x f ∈++-
=，a x x x f +-='2)(，
因为2=x 是)(x f 的极值点，所以024)2(=+-='a f ，解得2-=a
(2) 3
2)1(213121)()(2
32+++-=-=ax x a x ax x f x g ，))(1()1()(2a x x a x a x x g --=++-='.
①当1≥a 时，当)1 , 0(∈x 时0)(>'x g ，)(x g 单调递增，又03
2
)0(>=g 因此函数)(x g 在区间（0,1）内没有零点。

②当10<<a 时，当),0(a x ∈时0)(>'x g ，)(x g 单调递增，当)1 , (a x ∈时0)(<'x g ，)(x g 单调递减，又03
2
)0(>=
g ，因此要使函数)(x g 在区间（0,1）内有零点，必有0)1(<g ， 所以03
2
)1(2131<+++-a a 解得1-<a ，舍去
③当0≤a 时，当)1 , 0(∈x 时0)(<'x g ，)(x g 单调递减，又03
2
)0(>=
g ，因此要使函数)(x g 在区间（0,1）内有零点，必有0)1(<g ，解得1-<a 满足条件，综上可得，a 的取值范围是)1,(--∞. 19．解：设X 表示2名女性观众中认为好看的人数，Y 表示2名男性观众中认为好看的人数， 则)3
2
, 2(~B X ，)4
3 , 2(~B Y .
（1）设事件A 表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则
)
0,1()0,2()1,2()(==+==+===Y X P Y X P Y X P A P 92)41()31)(32()41()32()41)(43()32(21222122=⋅+⋅+⋅=C C . （2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
144
1)41()31()0,0()0(202202=⋅=====C C Y X P P ξ，
72
514410)41)(43()31()41()31)(32()1,0()0,1()1(1220220212==⋅+⋅===+====C C C C Y X P Y X P P ξ
)2,0()1,1()0,2()2(==+==+====Y X P Y X P Y X P P ξ
144
37)43()31()43)(41()31)(32()41()32(2
222021212202222=⋅+⋅+⋅=C C C C C C
36
1514460)41)(43()32()43()31)(32()1,2()2,1()3(1222222212==⋅+⋅===+====C C C C Y X P Y X P P ξ
4
114436)43()32()2,2()4(2
22222==⋅=====C C Y X P P ξ∴ξ的分布
列为：
6
17
14440814436414460314437214410114410==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE ξ
0 1 2 3 4
1441 725 14437 3615
4
1。