高考数学压轴专题最新备战高考《空间向量与立体几何》全集汇编及答案解析

新数学复习题《空间向量与立体几何》专题解析
一、选择题
1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．
643
π B ．8316π
π+
C ．28π
D ．8216π
π+
【答案】B 【解析】 【分析】
结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可． 【详解】
结合三视图，还原直观图，得到
故体积22221183242231633V r h r l πππππ=⋅+⋅=⋅+⋅⋅=+，故选B ． 【点睛】
本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等．
2．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点M 在线段1CC 上，动点P 在平面．．
1111D C B A 上，且AP ⊥平面1MBD .线段AP 长度的取值范围为( )
A ．2⎡⎣
B ．3⎡⎣
C ．32⎣
D ．62⎣ 【答案】D 【解析】 【分析】
以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，设(),,1P x y ，()0,1,M t ，由AP ⊥
平面1MBD ，可得+1
1x t y t =⎧⎨=-⎩
，然后用空间两点间的距离公式求解即可.
【详解】
以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，
则()()()()11,0,0,1,1,0,0,1,,0,0,1A B M t D ，(),,1P x y .
()1,,1AP x y =-u u u r ,()11,1,1BD =--u u u u r ,()[]1,0,0,1，BM t t =-∈u u u u r
由AP ⊥平面1MBD ，则0BM AP ⋅=u u u u r u u u r
且01BD AP ⋅=u u u u r u u u r
所以10x t -+=且110x y --+=得+1x t =，1y t =-.
所以()2
2
2
1311222
AP x y t ⎛⎫=
-++=-+ ⎪⎝⎭u u u r 当12t =时，min 6AP =u u u r ，当0t =或1t =时，max 2AP =u u u r ， 62AP ≤≤u u u
r 故选：D
【点睛】
本题考查空间动线段的长度的求法，考查线面垂直的应用，对于动点问题的处理用向量方法要简单些，属于中档题.
3．在以下命题中：
①三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r ，c r
共面；
②若两个非零向量a r ，b r 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a r ，b r
共线； ③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若222OP OA OB OC =--u u u r u u u r u u u u r u u u u r
，则P ，
A ，
B ，
C 四点共面
④若a r ，b r
是两个不共线的向量，且(,,,0)c a b R λμλμλμ=+∈≠r r r ，则{},,a b c r r r 构成空
间的一个基底
⑤若{}
,,a b c r r r 为空间的一个基底，则{}
,,a b b c c a +++r r r r r r
构成空间的另一个基底；
其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
根据空间向量的运算法则，逐一判断即可得到结论. 【详解】
①由空间基底的定义知，三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r
，
c r
共面，故①正确；
②由空间基底的定义知，若两个非零向量a r ，b r
与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a r
，b r
共线，故②正确；
③由22221--=-≠，根据共面向量定理知,,,P A B C 四点不共面，故③错误；
④由c a b λμ=+r r r ，当1λμ+=时，向量c r 与向量a r ，b r
构成的平面共面，则{}
,,a b c r r r 不
能构成空间的一个基底，故④错误；
⑤利用反证法：若{}
,,a b b c c a +++r r r r r r
不构成空间的一个基底， 设()()(
)1a b x b c x c a +=++-+r r r r r r ，整理得()1c xa x b =+-r r r ，即,,a b c r r r
共面，又因{}
,,a b c r r r 为空间的一个基底，所以{
}
,,a b b c c a +++r r r r r r
能构成空间的一个基底，故⑤正确.
综上：①②⑤正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查空间向量基本运算，向量共面，向量共线等基础知识，以及空间基底的定义，共面向量的定义，属于基础题．
4．《九章算术》是中国古代的数学瑰宝，其第五卷商功中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”翻译成现代汉语就是：今有三面皆为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体的隧道，前端下宽6尺，上宽一丈，深3尺，末端宽8尺，无深，长7尺（注：一丈=十尺）．则该五面体的体积为（ ）
A ．66立方尺
B ．78立方尺
C ．84立方尺
D ．92立方尺
【答案】C 【解析】 【分析】
如图，在DC ，EF 上取G ，H ，使得DG EH AB ==，连接BG ，BH ，GH ，
CH ，
ADE BGH B CGHF V V V --=+，计算得到答案.
【详解】
如图，在DC ，EF 上取G ，H ，使得DG EH AB ==，连接BG ，BH ，GH ，
CH ，
故多面体的体积11
()7332ADE BGH B CGHF V V V S AB CG HF --=+=⋅+⨯+⨯⨯直截面
111
736(42)7384232=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了几何体体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
5．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离是（ ）
A ．
12
B ．
2 C ．
2 D ．
3 【答案】B 【解析】 【分析】
如图建立空间直角坐标系，可证明1A D ⊥平面11ABC D ，故平面11ABC D 的一个法向量
为：1DA u u u u r
，利用点到平面距离的向量公式即得解.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，则：
1111
(,,1),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0),
(0,1,1)22O D A B C 111(,,0)22
OD ∴=--u u u u r
由于AB ⊥平面111,ADD A AD ⊂平面11ADD A
1AB A D ∴⊥，又11AD A D ⊥，1AB AD I
1A D ∴⊥平面11ABC D
故平面11ABC D 的一个法向量为：1(1
,0,1)DA =u u u u r
O ∴到平面11ABC D 的距离为：
1111||224||2
OD DA d DA ⋅===
u u u u r u u u u r
u u u u r 故选：B 【点睛】
本题考查了点到平面距离的向量表示，考查了学生空间想象，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
6．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．920π+
B ．926π+
C ．520π+
D ．526π+
【答案】C 【解析】 【分析】
根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积. 【详解】
由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积2
1
12141222
S ππ=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯14224520π+⨯⨯+⨯=+，故选C. 【点睛】
本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存
在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）
A ．7
B ．3
C ．1+3
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就 是最小值． 【详解】
把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值，
Q ||||3AB AD ==，1||1AA =，∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==∴∠=．
所以11=90+60=150MA D ∠o o o
221111111113
2cos 13223()72
MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-⨯⨯-
⋅⨯=
故选A ． 【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．
8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ， N 分别为棱111,C D CC 的中点，以下四个结论：①直线DM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与NB 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据正方体的几何特征，可通过判断每个选项中的两条直线字母表示的点是否共面；如果共面，则可能是相交或者平行；若不共面，则是异面. 【详解】
①：1CC 与DM 是共面的，且不平行，所以必定相交，故正确；
②：若AM BN 、平行，又AD BC 、平行且,AM AD A BN BC B ⋂=⋂=，所以平面
BNC P 平面ADM ，明显不正确，故错误；
③：1BN MB 、不共面，所以是异面直线，故正确； ④：1AM DD 、不共面，所以是异面直线，故正确； 故选C. 【点睛】
异面直线的判断方法：一条直线上两点与另外一条直线上两点不共面，那么两条直线异面；反之则为共面直线，可能是平行也可能是相交.
9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 上一点且12CE EC =，则异面直线AE 与
1A B 所成角的余弦值为（ ）
A ．
1144
B 11
C ．
11
44
D ．
1111
【答案】B 【解析】 【分析】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值．
【详解】
解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设3AB =，则()3,0,0A ，()0,3,2E ，()13,0,3A ，()3,3,0B
，
()3,3,2AE =-u u u r ，()10,3,3A B =-u u u r
，
设异面直线AE 与1A B 所成角为θ， 则异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值为：
1111
cos 222218AE A B AE A B
θ⋅===⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ．
故选：B ．
【点睛】
本题考查利用向量法求解异面直线所成角的余弦值，难度一般.已知1l 的方向向量为a r
，2
l 的方向向量为b r
，则异面直线12,l l 所成角的余弦值为a b a b
⋅⋅r r
r r .
10．三棱锥D ABC -中，CD ⊥底面,ABC ABC ∆为正三角形，若
//,2AE CD AB CD AE ===，则三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的
几何体的体积为（ ） A 3B 3C ．
13
D 3【答案】B 【解析】
根据题意画出如图所示的几何体：
∴三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的几何体为三棱锥F ABC - ∵ABC 为正三角形，2AB = ∴1322322
ABC S ∆=
⨯⨯⨯=∵CD ⊥底面ABC ，//AE CD ，2CD AE == ∴四边形AEDC 为矩形，则F 为EC 与AD 的中点 ∴三棱锥F ABC -的高为
1
12
CD = ∴三棱锥F ABC -的体积为13
3133
V ==
故选B.
11．已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是（ ）
A ．m l ⊥，m β⊂，l α⊥
B ．m l ⊥，l αβ=I ，m α⊂
C ．//m l ，m α⊥，l β⊥
D ．l α⊥，//m l ，//m β
【答案】D 【解析】 【分析】
A ，有可能出现α，β平行这种情况.
B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况.
C ，根据面面平行的性质定理判断.
D ，根据面面垂直的判定定理判断. 【详解】
对于A ，m l ⊥，m β⊂，l α⊥，则//αβ或α，β相交，故A 错误； 对于B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B 错误；
对于C ，因为//m l ，m α⊥，则l α⊥，由因为l βαβ⊥⇒∥，故C 错误； 对于D ，l α⊥，m l m α⇒⊥∥，又由m βαβ⇒⊥∥，故D 正确. 故选：D 【点睛】
本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
12．已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是（ ）
A ．,,m l m l βα⊥⊂⊥
B ．,,m l l m αβα⊥⋂=⊂
C ．//,,m l m l αβ⊥⊥
D ．,//,//l m l m αβ⊥
【答案】D 【解析】 【分析】
A ，有可能出现α，β平行这种情况.
B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况.
C ，根据面面平行的性质定理判断.
D ，根据面面垂直的判定定理判断. 【详解】
对于A ，m l ⊥，m β⊂，若l β⊥，则//αβ，故A 错误； 对于B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B 错误；
对于C ，因为//m l ，m α⊥，则l α⊥，又因为l βαβ⊥⇒∥，故C 错误； 对于D ，l α⊥，m l m α⇒⊥∥，又由m βαβ⇒⊥∥，故D 正确. 故选：D 【点睛】
本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
13．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m βP ”是“αβP ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到
；，
，∴
和
没有公共点，∴
，即
能得到
；∴“
”是“
”的必要不充分条件．故选B ．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于
，而
，
并且
，显然能得到
，这样即可找出正确选项.
14．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ） A ．若，与所成的角相等，则
B ．若，，则
C ．若，，则
D ．若，
，则
【答案】C
【解析】
试题分析：若，与所成的角相等，则或，相交或，异面；A 错. 若
，，则
或
，B 错. 若
，
，则
正确. D ．若
，
，则
，相交或，异面，D 错
考点：直线与平面，平面与平面的位置关系
15．已知平面α⊥平面β，l αβ=I ，a α⊂，b β⊂，则“a l ⊥”是“a b ⊥r r
”的
（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据面面垂直的性质定理，以及充要条件的判定方法，即可作出判定，得到答案. 【详解】
由题意知，平面α⊥平面β，,,l a b αβαβ⋂=⊂⊂， 当a l ⊥时，利用面面垂直的性质定理，可得a b ⊥r r
成立，
反之当a b ⊥r r
时，此时a 与l 不一定是垂直的，
所以a l ⊥是a b ⊥r r
的充分不必要条件，故选A.
【点睛】
本题主要考查了充要条件的判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
16．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π
C ．82π
D ．10π
【答案】B 【解析】
分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积. 详解：根据题意，可得截面是边长为2
2的圆，且高为2， 所以其表面积为222)22212S πππ=+=，故选B.
点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
17．某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）
A ．
152
π
B ．12π
C ．
112
π D ．
212
π
【答案】A 【解析】 【分析】
由三视图可知，该几何体为由18的球体和1
4
的圆锥体组成，结合三视图中的数据，利用球和圆锥的体积公式求解即可. 【详解】
由三视图可知，该几何体为由18的球体和1
4的圆锥体组成， 所以所求几何体的体积为11
+84
V V V =球圆锥，
因为31149=3=8832V ππ⨯⨯球， 221111
=34344312
V r h πππ⨯⨯=⨯⨯⨯=圆锥， 所以915322V πππ=+=，即所求几何体的体积为152
π
. 故选：A 【点睛】
本题考查三视图还原几何体及球和圆锥的体积公式；考查学生的空间想象能力和运算求解能力；三视图正确还原几何体是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
18．在空间中,下列命题为真命题的是( ). A ．对于直线,,a b c ,若,a c b c ⊥⊥则//a b
B ．对任意直线a ,在平面α中必存在一条直线b 与之垂直
C ．若直线a ,b 与平面α所成的角相等,则a ∥b
D ．若直线a ,b 与平面α所成的角互余,则a ⊥b 【答案】B 【解析】
【分析】
通过空间直线与直线的位置关系判断选项的正误即可。

【详解】
若,a c b c ⊥⊥则a 与b 可能平行，相交，异面，所以，A 假；
若直线在平面内,则在平面内必可作出其垂线，若直线在平面外，作出直线在平面内的射影，在平面内只要作射影的垂线即可垂直于此直线，B 真；
设当a 、b 与平面α所成的角都为45°，则//a b ，a b ⊥r r
都有可能，C 、D 均为假，故选：B 。

【点睛】
本题考查直线与直线的位置关系的判断与应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，属于中等题。

19．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各棱中，最长棱的长度为( )
A ．6
B ．5
C ．2
D ．1
【答案】A 【解析】
由三视图可知该多面体的直观图为如图所示的四棱锥P ABCD -：
其中，四边形ABCD 为边长为1的正方形，PE ⊥面ABCD ，且1AE =，1PE =. ∴222AP AE PE =+=2BE AB AE =+=，222DE AD AE =+=
∴225CE BE BC =
+=225PB BE PE =+223PD PE DE =+=∴226PC CE PE =+=∴最长棱为PC 故选A.
点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：①首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；②观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③画出整体，然后再根据三视图进行调整.
20．如图1，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N ，Q 分别是线段AD 1，B 1C ，C 1D 1上的动点，当三棱锥Q-BMN 的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为
A ．2
B ．1
C ．
32 D ．
52
【答案】C 【解析】 【分析】
判断俯视图的形状，利用三视图数据求解俯视图的面积即可． 【详解】
由正视图可知：M 是1AD 的中点，N 在1B 处，Q 在11C D 的中点， 俯视图如图所示：
可得其面积为：1113
222111122222
⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故选C ． 【点睛】
本题主要考查三视图求解几何体的面积与体积，判断它的形状是解题的关键，属于中档题.。