2024年上海市松江区高三数学4月二模考试卷附答案解析

2024年上海市松江区高三数学4月二模考试卷
（满分150分，完卷时间120分钟）2024.4
考生注意:
1.本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分.
2.答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号.
3.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位.
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．函数lg(2)y x =-的定义域为
2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=.
3．已知随机变量X 服从正态分布()2
3,N σ
，且(35)0.3P X ≤≤=，则(5)P X >=
.
4．已知点A 的坐标为13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π2至OP ，则点P 的坐标为.
5．已知7270127(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++- ，则5a =
．
6．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则此圆锥的体积为
.（结果中保留π）
7．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，若35a S =，则使得n n S a <成立的n 的最大值为.
8．已知函数()2log f x x =，若()()()1212f x f x x x =≠，则124x x +的最小值为
．
9．12,F F 是双曲线()22
2210,0x y
a b a b
-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、
B 两点，若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为
10．已知正三角形ABC 的边长为2，点D 满足CD mCA nCB =+
，且0m >，0n >，21m n +=，则||CD 的
取值范围是.
11．已知02a <<，函数()1
241,2
2,2x a x a x y a x -⎧-++≤=⎨>⎩
，若该函数存在最小值，则实数a 的取值范围是.
12．某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1，2，3，…，30，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有
种不同的选择方法.
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14题选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分.
13．已知集合{|04}A x x =≤≤，{|2,Z}B x x n n ==∈，则A B = （）
A ．{1,2}
B ．{2,4}
C ．{0,1,2}
D ．{0,2,4}
14．垃圾分类是保护环境，改善人居环境､促进城市精细化管理､保障可持续发展的重要举措.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾x （千克）所需的费用y （角）的情况作了调研，并统计得到下表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为0.70.4y x =+，则下列说法错误的是（
）
x
234
5
y
2
2.3
3.4
m
A ．变量x 、y 之间呈正相关关系
B ．可以预测当8x =时，y 的值为6
C ． 3.9
m =D ．由表格中数据知样本中心点为()
3.5,2.8515．已知某个三角形的三边长为a 、b 及c ，其中a b <.若a ，b 是函数2y ax bx c =-+的两个零点，则a 的取值范围是（
）
A ．1,12⎛⎫ ⎪
⎝⎭
B ．15122⎛⎫ ⎪
⎝⎭
C ．10,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
D ．51,12⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭
16．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，有以下两个命题：①若{}n a 是公差不为零的等差数列且N k ∈，2k ≥，则12210k S S S -⋅= 是120k a a a ⋅= 的必要非充分条件；②若{}n a 是等比数列且N k ∈，2k ≥，则120k S S S ⋅= 的充要条件是10k k a a ++=.那么（
）
A ．①是真命题，②是假命题
B ．①是假命题，①是真命题
C ．①、②都是真命题
D ．①、②都是假命题
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17．设2
()sin
sin
(0)2
2
2
f x x x x ω
ω
ω
ω=>，函数()y f x =图象的两条相邻对称轴之间的距离为π．
(1)求函数()y f x =的解析式；
(2)在ABC 中，设角
A 、
B 及
C 所对边的边长分别为a
、b 及c ，若a =b ，3
()2
f A =，求角C ．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.
(1)设平面ABE 与直线PC 相交于点F ，求证：//EF CD ；
(2)若2AB =，60DAB ∠=︒，PD =
，求直线BE 与平面PAD 所成角的大小.
19．某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为1p 、2p 、3p ，假定1p 、2p 、3p 互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立.(1)计划依次派甲乙丙进行闯关，若13p 4=
，223p =，31
2
p =，求该小组比赛胜利的概率；(2)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目X 的分布，并求X 的期望()E X ；
(3)已知1231p p p >>>，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出.
20．如图，椭圆2
2:12
y x Γ+=的上、下焦点分别为1F 、2F ，过上焦点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆于M 、N
两点，动点P 、Q 分别在直线MN 与椭圆Γ上.
(1)求线段MN 的长；
(2)若线段PQ 的中点在x 轴上，求2F PQ △的面积；
(3)是否存在以2F Q 、2F P 为邻边的矩形2F QEP ，使得点E 在椭圆Γ上？若存在，求出所有满足条件的点Q 的纵坐标；若不存在，请说明理由.
21．已知函数ln y x x a =⋅+（a 为常数），记()()y f x x g x ==⋅.(1)若函数()y g x =在1x =处的切线过原点，求实数a 的值；(2)对于正实数t ，求证：()()()ln 2f x f t x f t t a +-≥-+；
(3)当1a =时，求证：e ()cos x
g x x x +<.
1．
2+∞（，）【详解】要使函数lg(2)y x =-有意义，则202x x ->⇒>，
所以函数lg(2)y x =-的定义域为2+∞（，），故答案为2+∞（，）.
2．2i -+##i-2
【分析】根据复数的乘法运算求解即可.【详解】由题意知，12z i =+，则i i (12i)2i z ⋅=⋅+=-+，故答案为：2i -+3．0.2##
1
5
【分析】根据题意，结合正态分布的对称性，即可求解.【详解】因为随机变量X 服从正态分布()2
3,N σ
，且(35)0.3P X ≤≤=，
可得(5)0.5(35)0.50.30.2P X P X >=-≤≤=-=.故答案为：0.2.
4．21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
【分析】由题意可求π3
xOA ∠=
，5π
326ππxOP ∠=+=，利用任意角的三角函数的定义即可求解．
【详解】因为点A 的坐标为12⎛ ⎝⎭
，可得π
3xOA ∠=，
所以5π326
ππxOP ∠=+=，
可得5πcos
6P x ==，5π1sin 62P y ==，
所以点P 的坐标为12⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，
故答案为：12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.
5．21
【分析】先将7x 变形为7[1(1)]x +-的形式，再应用二项式定理求解即可.【详解】77[1(1)]x x =+-，
由二项式定理得：55
67C (1)T x =-，
所以52
57776
C C 2121
a ⨯===
=⨯.故答案为：21.
6【分析】通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．
【详解】由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则2
12ππ2
l =
，所以2l =，则半圆的弧长为2π，所有圆锥的底面半径为2π2πr =，1r =，
所以圆锥的体积为：21π1π33
⨯⨯=．
．7．5
【分析】根据题意，列出方程求得14a =-，得到2
5n S n n =-且26n a n =-，结合n n S a <，列出不等式，即
可求解.
【详解】由等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，若35a S =，可得1154
22522
a a ⨯+=+⨯⨯，解得14a =-，所以2(1)
4252
n n n S n n n -=-+
⨯=-，且3(1)226n a n n =-+-⨯=-，因为n n S a <，即2526n n n -<-，整理得27+60n n -<，解得16n <<，因为N n *∈，所以使得n n S a <成立的n 的最大值为5.故答案为：5.8．4
【分析】由题意及对数的运算与对数函数的性质可得121x x ⋅=，利用基本不等式即可求解．
【详解】()222
log ,01
log log ,1x x f x x x x -<<⎧==⎨≥⎩，
若()()()1212f x f x x x =≠，不妨设1201x x <<≤，则2122log log x x -=，
所以2122212log log log 0x x x x +=⋅=，即121x x ⋅=，
所以1244x x +≥=，当且仅当11
2
x =，22x =时，等号成立．故答案为：4．9
【分析】根据双曲线的定义可求得1a =，290ABF ∠=︒，再利用勾股定理可求得122||c F F =，从而可求得双曲线的离心率．
【详解】解：22||:||:||3:4:5AB BF AF = ，不妨令||3AB =，2||4BF =，2||5AF =，
22222||||||AB BF AF += ，290ABF ∴∠=︒，
又由双曲线的定义得：12||||2BF BF a -=，21||||2AF AF a -=，
11||345||AF AF ∴+-=-，1||3AF ∴=．12||||3342BF BF a ∴-=+-=，
1a ∴=．
在Rt △12BF F 中，222221212||||||6452F F BF BF =+=+=，
2212||4F F c = ，2452c ∴=，13c ∴=．
∴双曲线的离心率13c e a
==．
故答案为：13．10．()
1,2【分析】取AC 的中点E ，由题意可得2CD mCE nCB =+
，从而推得,,B D E 三点共线，进而得出CE CD CB <<，即可得出答案.
【详解】取AC 的中点E ，则2CA CE =
，又2CD mCA nCB mCE nCB =+=+
，又因为21m n +=，
故,,B D E 三点共线，即点D 在中线BE 上运动，在正三角形ABC 中，BE AC ⊥，
又0m >，0n >，则CE CD CB <<，故
()1,2CD ∈ .故答案为：()
1,211．1
{|02
a a <≤
或1}a =【分析】令()(2)41g x a x a =-++，(],2x ∞∈-，1()2x h x a -=，(2,)x ∈+∞，分类讨论a 的取值范围，判断()g x ，
()h x 的单调性，结合()f x 存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案．
【详解】由题意，令()(2)41g x a x a =-++，(],2x ∞∈-，1()2x h x a -=，(2,)x ∈+∞，
当01a <<时，()g x 在(],2-∞上单调递减，()h x 在(2,)+∞上单调递减，则()h x 在(2,)+∞上的值域为(0,2)a ，因为()f x 存在最小值，故需()2(2)2410g a a =-⨯++≤，解得12
a ≤，结合01a <<，此时1
02
a <≤
；当12a <<时，()g x 在(],2-∞上单调递减，()h x 在(2,)+∞上单调递增，则()h x 在(2,)+∞上的值域为(2,)a +∞，
因为()f x 存在最小值，故需()22g a ≤，即(2)2412a a a -⨯++≤，解得34
a ≤，这与12a <<矛盾；
当1a =时，()5g x x =-+在(],2-∞上单调递减，且在(],2-∞上的值域为[)3,+∞，()2h x =，此时存在最小值2；
则实数a 的取值范围为1
{|02
a a <≤或1}a =．故答案为：1
{|02
a a <≤或1}a =．12．1540
【分析】根据题意，设挑选出的三名学生的学号分别为x ，y ，z ，不妨设x y z <<，结合题意转化为
()()()443123x y x z y z +--+--+-=，进而转化为四个正整数的和为23，结合隔板法，即可求解.
【详解】设挑选出的三名学生的学号分别为x ，y ，z ，不妨设x y z <<，则有恒等式()()()()3030*x y x z y z +-+-+-=，其中1x ≥，5y x -≥，5z y -≥，300z -≥，即1x ≥，41y x --≥，41z y --≥，311z -≥，故()*式为()()()443123x y x z y z +--+--+-=，
上式四个正整数的和为23，相当于23个1分成四组，运用隔板法，在22个空中放3块板，故有3
22C 1540=种
方法．
故答案为：1540．13．D
【分析】直接根据交集概念求解.
【详解】因为集合{|04}A x x =≤≤，{|2,Z}B x x n n ==∈，所以{0,2,4}A B = .故选：D.14．C
【分析】利用回归直线方程可判断A 选项；将8x =代入回归直线方程可判断B 选项；计算出样本的中心点坐标，结合平均数公式可判断CD 选项.
【详解】对于A 选项，因为回归直线方程0.70.4y x =+，故变量x 、y 之间呈正相关关系，A 对；对于B 选项，当8x =时，0.780.46y =⨯+=，B 对；
对于CD 选项，2345
3.54
x +++=
= ，则0.7 3.50.4 2.85y =⨯+=，故样本的中心点的坐标为()3.5,2.85，另一方面，2 2.3 3.4 2.854
m
y +++==，解得 3.7m =，C 错D 对.
故选：C.15．B
【分析】由a ，b 为函数2()f x ax bx c =-+的两个零点可得()222
ax a a b x a b ax bx c -++=-+，即可得
21a b a =-、41a c a =-，由两边之和大于第三边，结合题意可得151
22
a <<.【详解】由,a
b 为函数2()f x ax bx
c =-+的两个零点，故有()()2
a x a x
b ax bx
c --=-+，即()222
ax a a b x a b ax bx c -++=-+恒成立，
故()a a b b +=，2
a b c =，则21a b a =-，2422
11a a c a b a a a
==⨯=
--，由a ，b ，c 为某三角形的三边长，且a b <，
故10a ->，且2
1a a a
<-，则112a <<，因为b c a +>必然成立，
所以a c b a b c +>⎧⎨+>⎩，即42
24
1111a a a a a a a a a a
⎧+>⎪⎪--⎨⎪+>⎪--⎩
，解得10201a a ⎧<<
⎪⎨⎪<<⎩，
所以
11
22
a <<
，故a
的取值范围是：11,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.
故选：B.16．C
【分析】根据题意，由等差数列和等差数列的前n 项和性质分析①的真假，由等比数列和等比数列的前n 项和性质分析②的真假，综合可得答案.
【详解】根据题意，对于命题①，{}n a 是公差不为零的等差数列，若120k a a a ⋅= ，则在12,,,k a a a 中，至少有一项为0，假设()0,1m a m k =≤≤，则()()()12121212102
m m m m a a S m a ---+=
=
-=，
必有12210k S S S -⋅= ，
反之，在等差数列{}n a 中，若23n a n =-，
则121,1a a =-=，有20S =，则120k S S S ⋅= 成立，但120k a a a ⋅= 不成立，
故12210k S S S -⋅= 是120k a a a ⋅= 的必要非充分条件，故①正确；对于命题②，若{}n a 是等比数列，设其公比为q ，若N k ∈，2k ≥时，有120k S S S ⋅= ，则12,,,k S S S 中，至少有一项为0，则1q ≠，假设0,m S =则有(
)110,1m
m a q S q
-=
=-必有1m
q
=，
又由1q ≠，必有m 为偶数且1q =-，故10k k a a ++=，
反之，若10k k a a ++=，则1q =-，必有20S =，则有N k ∈，2k ≥，则120k S S S ⋅= ，
若{}n a 是等比数列且N k ∈，2k ≥，则120k S S S ⋅= 的充要条件是10k k a a ++=，故②正确.故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键点是，熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，从而分析得解.
17．(1)π1()sin(62f x x =-+(2)
π
12
【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简()f x ，再根据()y f x =图象的两条相邻对称轴之间的距离为π求出ω即可；（2）由3()2f A =
得出2π3
A =，过点C 作A
B CD ⊥于点D ，得出π
6ACD ∠=，分别求出,AD CD 的长，结合AB
即可得出BD CD =，进而得出BCD ∠，根据ACB BCD ACD ∠=∠-∠即可求得答案．【详解】（1）1cos 3π1
()sin sin()2262
x f x x x ωωω-=
+=-+，因为函数()y f x =图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，
所以π2T =,则2π2πT ω
==，解得1ω=，所以π1()sin()62
f x x =-+．（2）由3()2f A =得，π13ππ()sin(2π,Z 62262
f A A A k k =-+=⇒-=+∈，因为(0,π)A ∈，所以ππ62A -=，即2π3
A =，22221cos
22b c a A bc +-===-，解得622c =(舍负)，过点C 作AB CD ⊥于点D ，如图所示，
由π2π,23D BAC ∠=∠=得，π6ACD ∠=，则1π,cos 2262
AD AC CD AC ===⨯=，
所以BD AB AD =+=
BD CD =，所以π4BCD ∠=，则πππ4612ACB BCD ACD ∠=∠-∠=-=．
18．(1)证明见解析(2)π
6
【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证出//AB 平面PCD ，然后根据平面ABE ⋂平面PCD EF =，利用线面平行的性质定理证出//EF CD ；
（2）连接BD ，取AD 中点H ，连接BH 、EH ，
根据线面垂直的判定定理，证出BH ⊥平面PAD ，可得BEH ∠是直线BE 与平面PAD 的所成角，然后在Rt BEH △中利用锐角三角函数的定义算出答案．
【详解】（1）证明： 平面ABE 与直线PC 相交于点F ，∴平面ABE ⋂平面PCD EF =，
四边形ABCD 是菱形，//AB CD ∴，
AB ⊄ 平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，//AB ∴平面PCD ，
AB ⊂ 平面ABE ，平面ABE ⋂平面PCD EF =，
//EF CD ∴；
（2）连接BD ，取AD 中点H ，连接BH 、EH ，
菱形ABCD 中，AB AD =，60DAB ∠=︒，ABD ∴ 是等边三角形，
H 是AD 中点，BH AD ∴⊥，
PD ⊥ 平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，BH PD ∴⊥，
PD 、AD ⊂平面PAD ，PD AD D = ，BH ∴⊥平面PAD ．
BEH ∴∠是直线BE 与平面PAD 的所成角，
E 是PD 中点，PD =
12
DE PD ∴==PD ⊥ 平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PD AD ∴⊥，
H 为AD 中点，11
2
DH AD ∴==，Rt DEH △中，3EH =，
等边ABD △中，高BH AD ==
Rt BEH ∴ 中，tan BH BEH EH ∠=可得π6BEH ∠=
，即直线BE 与平面PAD 的所成角等于π6
．19．(1)23
24(2)121223
p p p p --+(3)先派出甲
【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解；
（2）由题意可知，X 的所有可能取值为1，2，3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到X 的分布，再结合期望公式求解；
（3）分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派丙乙甲进行闯关，所派出人员数目的期望，再利用作差法比较大小即可．
【详解】（1）设事件A 表示“该小组比赛胜利”，
则()3121112344343224
P A =+⨯+⨯⨯=；（2）由题意可知，X 的所有可能取值为1，2，3，
则1(1)P X p ==，12(2)(1)P X p p ==-，12(3)(1)(1)P X p p ==--，
所以X 的分布为：X
123P 1
p 12(1)p p -12(1)(1)p p --
所以112121212()2(1)3(1)(1)23E X p p p p p p p p p =+-+--=--+；
（3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为1E ，
由（2）可知，1121223E p p p p =--+，
若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为2E ，
则2323223E p p p p =--+，
则1212123232121323
(23)(23)22E E p p p p p p p p p p p p p p -=--+---+=--+21313132()2()()(2)p p p p p p p p =---=--，
因为1231p p p >>>，所以130p p ->，220p -<，
所以120E E -<，即12E E <，
所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲．
20．(1)MN =2
2(3)2-1-.【分析】（1）根据已知求出点N 的横坐标，根据对称性可得线段MN 的长；；
（2）线段PQ 的中点在x 轴上，得Q 点纵坐标，代入椭圆方程得Q 点横坐标，此时1QF x ⊥轴，易得其面积；
（3）假设存在2F Q ，2F P 为邻边的矩形2F QEP ，使得点E 在椭圆C 上，设0(,1)P x ，11(,)Q x y ，22(,)E x y ，由平行四边形对角线互相平分把E 点坐标用,P Q 点坐标表示，然后把,Q E 坐标代入椭圆方程，利用垂直得向量的数量积为0，得出110,,x y x 的关系，结合起来可得00x =或01x x =-，再分别代入求得1y ，得结论．
【详解】（1）由2
2:12
y x Γ+=可得：a =1b =，从而1c ==，所以令1y =，则2112x +=，解得：22
x =±，
所以MN =（2）线段PQ 的中点在x 轴上，则1P y =，所以1Q y =-，即2QF y ⊥轴，
所以令1y =-，则2112x +=，解得：x =
所以221211222POF S F Q F F =⋅==
（3
）221211
22222POF S F Q F F =⋅=⨯= ，
假设存在以2F Q ，2F P 为邻边的矩形2F QEP ，使得点E 在椭圆C 上，
设0(,1)P x ，11(,)Q x y ，22(,)E x y ，2(0,1)F -，
因为四边形2F QEP 是矩形，一定为平行四边形，所以222F P F Q F E +=
，
则021x x x =+，212y y =+，所以011(,2)E x x y ++，
,Q E 都在椭圆上，()
()2
2
1122
1101
221
2y x y x x ⎧
+=⎪⎪⎨+⎪++=⎪⎩，变形得
20
1012220x x x y +++=①，又22QF PF ⊥，所以220F Q F P ⋅=
，即110110(,1)(,2)2(1)0x y x y x x +⋅=++=，
则11022y x x +=-②，
②代入①得20010x x x +=，解得：00x =或01x x =-，
若00x =时，11y =-，122x =±，此时P 与1F 重合，Q 点坐标为2
(,1)2±-；
若01x x =-时，联立()
()22
1122
1101
221
2y x y x x ⎧+=⎪⎪⎨+⎪++=⎪⎩，
消去1x 可得：2
11420y y ++=
，解得：12y =-
因为1y ⎡∈⎣
，所以12y =-所以存在满足题意的Q
点，其纵坐标为2-1-
.
.
【点睛】思路点睛：对于圆锥曲线中探索性问题，求解步骤如下：
第一步：假设结论存在；
第二步：结合已知条件进行推理求解；
第三步：若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设；
第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．
21．(1)1
2(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据题以，得到()ln ,0a g x x x x
=+>，求得2()x a g x x -'=，结合导数的几何意义，求得切线方程，将原点代入切线方程，即可求解；
（2）设函数()()(),0h x f x f t x t =+->，求得()ln
x h x t x '=-，求得函数()h x 的单调性和最小值为(2
t h ，得到()(2
t h x h ≥，即可得证；（3）根据题意，得到1e ln cos x
x x x x +<-，结合cos [1,1]x ∈-，把转化为1e ln 1x x x x +<-，设()1e ln 1,0x k x x x x x
=+-+>，利用导数求得()k x 的单调性和最大值()12e k =-，即可得证.【详解】（1）解：由题意，函数ln y x x a =⋅+，且()()y f x x g x ==⋅，可得()()ln ,0f x a g x x x x x ==+>，则221()a x a g x x x x
-'=-=，所以(1)1g a '=-，又因为(1)ln1g a a =+=，
所以()g x 在1x =处的切线方程为(1)(1)y a x a =--+，
又因为函数()y g x =在1x =处的切线过原点，可得0(1)(01)a a =-⋅-+，解得12
a =.（2）解：设函数()()(),0h x f x f t x t =+->，
可得()ln ()ln()2h x x x t x t x a =+--+，其中0x t <<，
则()ln 1ln()1ln
x h x x t x t x
'=+---=-，令()0h x '>，可得1x t x >-，即20x t t x ->-，即20x t x t
-<-，解得2t x t <<，令()0h x '<，可得01x t x <<-，解得02t x <<，所以()h x 在(,)2t t 上单调递增，在(0,)2
t 上单调递减，可得()h x 的最小值为(2
t h ，所以()(2t h x h ≥，
又由()()()(ln 2ln 22222
t t t t h f f t t a f t t a =+-=+=-+，所以()()()ln 2f x f t x f t t a +-≥-+.
（3）解：当1a =时，即证1e ln cos x
x x x x
+<-，由于cos [1,1]x ∈-，所以e e cos 1x x x x x -≥-，只需证1e ln 1x
x x x
+<-，令()1e ln 1,0x
k x x x x x
=+-+>，只需证明()0k x <，又由()222
11e (1)(1e )(1)x x x x k x x x x x ---'=--=，因为0x >，可得1e 0x -<，令()0k x '>，解得01x <<；令()0k x '<，解得1x >，
所以()k x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，
所以()k x 在1x =处取得极大值，也时最大值，所以()()max 12e 0k x k ==-<，
即()0k x <，即1a =时，不等式e ()cos x g x x x +<恒成立.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。