面面垂直的判定和性质ppt课件.ppt
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∵ PB⊥AC , 由三垂线定理得:AF⊥OB.
D
C
AO 2
OF
OB
1 OB 2 3
,
OB 3a .
OF
A
B
PO 3 AO 3a ,
∴ ∠PBO = 45°
故 PB与底面AC所成的角为45°.
课后作业
1. 教辅课时作业第19页~20页 2.3.2 2. 教辅第120页~123页 3. 预习教材第70页~73页
面—直线—面 (棱)
二面角—l— 或二面角—AB—
平面与平面垂直 定义:如果两个平面相交所成的二面角是直二面角, 那么我们称这两个平面互相垂直。
记为: .
两个平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条
垂线,那么这两个平面相互垂直 .
α A
D
B β
C
两个平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面相互垂直。
证明:在 内任取一点 P, 作 m a ,n b,
. b
m
nP
, ,
m ,n ,(面面垂直的性质定理)
又 c, m c,n c,
c . 又 a, b,
b c,c a . 同理可证 a b .
例3. 如图,立体图形P-ABCD的侧面PAD是正三角形且垂直于底面,
一、 二面角及二面角的平面角
1 、半平面—— 平面的一条直线把平面分为两部分,
其中的每一部分都叫做一个半平面。
α
l
2、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半 α
平面所组成的图形叫做二面角 记作: l
ι
β
3、二面角的平面角
一个平面垂直于二面角 l 的棱,并与两半平 面 分 别 相 交 于 射 线 PA 、 P B 垂足为P,则∠APB叫做二面 角 l 的平面角
o
B
A
ll
注意:二面角的平面角必须满足:
(1)、角的顶点在棱上。
(2)、角的两边分别在两个面内。
A
(3)、角的边都要垂直于二面角的棱。
o
B
l
角与二面角的比较
图形
角
顶点 O
A 边
边B
定义
从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做角。
构成
边—点—边 (顶点)
表示法
∠AOB
二面角
A 棱a 面
B面
从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫 做二面角。
证明:
∵
∴
∴ ∴
? 思考题
已知:ABCD为正方形,SD⊥平面AC,
问:图中所示的7个平面中,共有多少个平面互相垂直? 1.平面SAD⊥平面ABCD
S
2.平面SBD⊥平面ABCD
3.平面SCD⊥平面ABCD
4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD
D O
A
C B
l
B
A
O B
(1)
(2)
10
注: 二面角的平面角的特点:
A
O
1)角的顶点在棱上 2)角的两边分别在两个半平面内 3)角的边都要垂直于二面角的棱
l
B
A
O B
(1)
(2)
10
二面角的 平面角的定义、范围及作法
2、二面角的平面角的作法:
1、定义法:
A
根据定义作出来。
l
o
B
2、作垂面: 作与棱垂直的平面与两半平面 的交线得到。
∴ AE⊥平面PCD.
AE 平面ACE ,
∴ 平面ACE⊥平面PCD .(面面垂直的判定定理)
(2)设AD的中点为O,连 PO、BO,则 PO⊥AD,
P
∵平面PAD⊥平面AC , ∴ PO⊥平面AC ,
∴ ∠PBO就是PB与底面AC所成的角.
E
设 AO = a,AC与OB的交点为F,则 FB = 2OF
应用:
例1、如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的 平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点, 求证:平面PAC垂直平面PBC。
P
C
A
O
B
例2:求证三个两两垂直的平面的交线两两垂直 .
已知: , , ,
且 a, b, c, c
求证:a b,b c,c a .
a
底面ABCD是矩形,E是PD的中点.
P
(1)求证:平面ACE⊥平面PCD;
(2)若PB⊥AC,求PB与底面AC所成的角.
E
解:(1)∵ △PAD是正三角形,E为PD的中点,
∴ AE⊥PD .
D C
又平面PAD⊥平面ABCD ,
且ABCD是矩形, CD⊥AD ,
A
B
∴ CD⊥平面PAD(. 面面垂直的性质定理)∴ CD⊥AE .
7.平面SAC⊥平面SBD
两个平面垂直的性质定理: 如果两个平面垂直,那么在第一个平面内
垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
α A
D
B β
C
已知: , CD,AB ,AB CD, B为垂足,求证:AB 。
证明: 在内作BE CD, 则ABE是二面角 CD 的平面角。
由 ,可知 AB BE .
γ` P`ι
β
B` A`
γP
B
αA
思考: ∠ A`P`B` 与∠ APB是否相等? 相等(利用等角定理)
二面角的大小用它的平面角的大小来度量.
约定:二面角的平面角取值范围是: [ 00,1800]
注: 二面角的平面角的特点:
A
O
1)角的顶点在棱上 2)角的两边分别在两个半平面内 3)角的边都要垂直于二面角的棱
又 AB CD ,
AB .
两个平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条
垂线,那么这两个平面相互垂直 .
两个平面垂直的性质定理: 如果两个平面垂直,那么在第一个平面内
垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
判定定理:如果一个平面过另一个平面的垂线,则这 两个平面垂直。
作用: 由线面垂直证明面面垂直。
教辅第120页~123页
②④
解: