点线面位置关系例题与练习(含答案)

点、线、面的位置关系
● 知识梳理 （一）.平面
公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。

公理2：不共线．．．
的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.
公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线 （二）空间图形的位置关系
1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面
1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；
1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈︒︒；（2）作异面直线所成的角：平移法.
2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行
3.平面与平面的位置关系：平行，相交
（三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.
②判定定理：////a b a a b ααα⎫
⎪⊄⇒⎬
⎪⊂⎭
③性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ 2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。

范围：[]0,90θ∈︒︒ 3.面面平行：①定义：//α
βαβ=∅⇒；
②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：,,,//,////a b a
b O a b ααααβ⊂=⇒
判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥⇒.
③面面平行的性质：（1）////a a αββα⎫⇒⎬
⊂⎭
；（2）////a a b b αβαγβγ⎫
⎪
=⇒⎬⎪=⎭
（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）
1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。

符号表述：若任意,a α⊂都有l a ⊥，且l α⊄，则l α⊥.
②判定：,a b a b O l l l a
l b ααα⊂⎫⎪=⎪⎪
⊄⇒⊥⎬⎪⊥⎪
⊥⎪⎭
③性质：
（1）,l a l a αα⊥⊂⇒⊥；（2）
,//a b a b αα⊥⊥⇒；
3.2面面斜交①二面角：（1）定义：【如图】,OB l OA l AOB l αβ⊥⊥⇒∠-是二面角－的平面角 范围：[0,180]AOB ∠∈︒︒
②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法. 3.3面面垂直（1）定义：若二面角l αβ--的平面角为90︒，则αβ⊥；
（2）判定定理：
a a ααββ⊂⎫
⇒⊥⎬⊥⎭
（3）性质：①若αβ⊥，二面角的一个平面角为MON ∠，则90MON ∠=︒；②a AB a a a AB
αβββα⊥⎫⎪=⎪
⇒⊥⎬⊂⎪
⎪⊥⎭
● 热点例析
【例1】热点一 有关线面位置关系的组合判断
若a ，b 是两条异面直线，α，β是两个不同平面，a ⊂α，b ⊂β，α∩β＝l ，则( )． A ．l 与a ，b 分别相交 B ．l 与a ，b 都不相交
C ．l 至多与a ，b 中一条相交
D ．l 至少与a ，b 中的一条相交
解析：假设l 与a ，b 均不相交，则l ∥a ，l ∥b ，从而a ∥b 与a ，b 是异面直线矛盾，故l 至少与a ，b 中的一条相交．选D.
热点二 线线、线面平行与垂直的证明
【例2】如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.
(1)证明：AA 1⊥BD ；
(2)证明：CC 1∥平面A 1BD ．
(1)方法一：因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以D 1D ⊥BD . 又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，在△ABD 中，由余弦定理得 BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos 60°＝3AD 2，
所以AD 2＋BD 2＝AB 2
.所以AD ⊥BD .又AD ∩D 1D ＝D ， 所以BD ⊥平面ADD 1A 1.
又AA 1⊂平面ADD 1A 1，故AA 1⊥BD .
方法二：因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD (如图)， 所以BD ⊥D 1D .
取AB 的中点G ，连接DG (如图)．
在△ABD 中，由AB ＝2AD 得AG ＝AD . 又∠BAD ＝60°，
所以△ADG 为等边三角形，因此GD ＝GB ， 故∠DBG ＝∠GDB .
又∠AGD ＝60°，所以∠GDB ＝30°，
故∠ADB ＝∠ADG ＋∠GDB ＝60°＋30°＝90°， 所以BD ⊥AD .
又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1. 又AA 1⊂平面ADD 1A 1，故AA 1⊥BD . (2)如图，连接AC ，A 1C 1.
设AC ∩BD ＝E ，连接EA 1.
因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝1
2
AC .
由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ， 所以四边形A 1ECC 1为平行四边形． 因此CC 1∥EA 1.
又因为EA 1⊂平面A 1BD ，CC 1 平面A 1BD ， 所以CC 1∥平面A 1BD .
热点三 面面平行与垂直的证明
【例3】在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝4，P 为平面ABCD 外一点，且PA ＝PB ，PD ＝PC ，N 为CD 的中点．
(1)求证：平面PCD ⊥平面ABCD ；
(2)在线段PC 上是否存在一点E 使得NE ∥平面ABP ？若存在，说明理由并确定E 点的位置；若不存在，请说明理由．
(1)证明：取AB 中点M ，连接PM ，PN ，MN ， 则PM ⊥AB ，PN ⊥CD .
又ABCD 为直角梯形，AB ⊥BC ，∴MN ⊥AB . ∵PM ∩MN ＝M ，∴AB ⊥平面PMN . 又PN ⊂平面PMN ，∴AB ⊥PN .
∵AB 与CD 相交，∴PN ⊥平面ABCD .
又PN ⊂平面 PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD .
(2)解：假设存在．在PC ，PB 上分别取点E ，F ，使BF ＝14BP ，CE ＝1
4
CP ，连接EF ，MF ，NE ，
则EF ∥BC 且可求得EF ＝3
4
BC ＝3.
∵MN ＝3且MN ∥BC ，∴EF ∥MN 且EF ＝MN . ∴四边形MNEF 为平行四边形，∴EN ∥FM . 又∵FM ⊂平面PAB ，
∴在线段PC 上存在一点E 使得NE ∥平面ABP ，此时CE ＝1
4
PC .
热点四 折叠问题
例4如图所示，在直角梯形ABCP 中，AP//BC ，AP ⊥AB ， AB=BC=
22
1
=AP ，D 是AP 的中点，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、CB 的中点，将PCD ∆沿CD 折起，使得⊥PD 平面ABCD ． （Ⅰ）求证：AP //平面EFG ；
(Ⅱ) 求二面角D EF G --的大小．
解:(Ⅰ) 证明:连AC,BD 交于O 点,连GO,FO,EO ．
∵E,F 分别为PC,PD 的中点,∴EF //
2,同理//2
, EF ∴// GO ∴四边形EFOG 是平行四边形, ⊂∴EO 平面EFOG ．
又在三角形PAC 中,E,O 分别为PC,AC 的中点,∴PA//EO
⊂EO 平面EFOG,PA ⊄平面EFOG ,
∴PA//平面EFOG,即PA//平面EFG ．
方法二) 连AC,BD 交于O 点,连GO,FO,EO ． ∵E,F 分别为PC,PD 的中点,∴EF //CD 21,同理//12
PB 又//AB,EF ∴//
AB 2
C
A
G
C
P
G
E
F
B
D
O
∴=⋂=⋂,,B AB PB E EF EG 平面EFG//平面PAB,
又PA ⊄平面PAB,//PA ∴平面EFG ．
方法三)如图以D 为原点,以DP DC DA ,,为方向向量建立空间直角坐标系xyz D -． 则有关点及向量的坐标为:
()()()()()()0,0,2,0,2,0,1,2,0,0,1,1,0,0,1,2,00.P C G E F A
()()()1,1,1,0,1,0,2,0,2-=-=-=EG EF AP
设平面EFG 的法向量为()z y x n ,,=
.00000⎩⎨⎧==⇒⎩
⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴y z x z y x y EG n EF n
取()1,0,1=n ．
∵()AP n AP n ⊥∴=⨯+⨯+-⨯=⋅,0210021, 又⊄AP 平面EFG ． ∴ AP//平面EFG ．
(Ⅱ)由已知底面ABCD 是正方形 ∴DC AD ⊥,又∵⊥PD 面ABCD
PD AD ⊥∴ 又D CD PD =⋂
⊥∴AD 平面PCD ,∴向量DA 是平面PCD 的一个法向量, DA =()0,0,2
又由(Ⅰ)方法三
)
知平面EFG 的法向量为()1,0
,1=n
.2
2
2
22=
=
=
∴n DA 结合图知二面角D EF G --的平面角为.450
● 热点五 线线角线面角面面角
例5正四棱锥ABCD P -中，侧棱PA 与底面ABCD 所成角的正切值为
2
6。

（1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成二面角的大小；
（2）若E 是PB 中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；
（3）在侧面PAD 上寻找一点F ，使得EF ⊥侧面PBC 。

试确定点F 的位置，并加以证明。

（1）连BD AC ,交于点O ，连PO ，则PO ⊥面ABCD ，∴ ∠PAO 就是PA 与底面ABCD 所成的角，
∴ tan ∠PAO=
2
6。

设AB=1，则PO=AO •tan ∠PAO =
2
3。

设F 为AD 中点，连FO 、PO ，则OF ⊥AD ，所以，PF ⊥AD ，所以，PFO ∠就是侧面PAD 与底面ABCD 所成二面角的平面角。

在Rt PFO ∆中，3tan ==
∠FO PO PFO ，∴ 3
π
=∠PFO 。

即面PAD 与底面ABCD 所成二面角的大小为3
π
（2）由（1）的作法可知：O 为BD 中点，又因为E 为PD 中点，所以，EO =//PD 2
1。

∴ EOD ∠就是异面直线PD 与AE 所成的角。

在Rt PDO ∆中，2522=
+=
PO OD PD 。

∴ 4
5=EO 。

由BD AO ⊥，PO AO ⊥可知：⊥AO 面PBD 。

所以，EO AO ⊥。

在Rt AOE ∆中，
5
10
2tan ==∠EO AO AEO 。

∴ 异面直线PD 与AE 所成的角的
正切是
5
102。

（3）延长FO 交BC 于点G ，连接
PG 。

设H 为PG 中点，连接
GH EH ,。

∵ 四棱锥ABCD P -为正四棱锥且F 为AD 中点，所以，G 为BC 中
点，
∴ PG BC ⊥，FG BC ⊥。

∴ PFG BC 面⊥。

∴ 面PBC ⊥PFG 面。

∵ PG PF =，3
π
=
∠PFO ，∴ PFG ∆为正三角形。

∴ PG FH ⊥，∴ PBC FH 面⊥。

取AF 中点为K ，连EK ，则由FK HE //及FK HE =得四边形HEKF 为平行四边形，所以，FH KE //。

∴PBC KE 面⊥。

● 学生练习 一、选择题
1．设,m n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则n m ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ
③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是 ( ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④
D ．①和④
2．若长方体的三个面的对角线长分别是,,a b c ，则长方体体对角线长为（ ）
A B
C D 3．在三棱锥A BCD -中,AC ⊥底面0
,,,,30BCD BD DC BD DC AC a ABC ⊥==∠=,则点C 到平面
ABD 的距离是( )
A ．
5a B ． 5a C ．5a D ．3
a 4．在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是11A C 的中点，则直线CE 垂直于（ ） A ．AC B ． BD C ．1A D D ．11A D
5．三棱锥P ABC -的高为PH ，若三个侧面两两垂直，则H 为△ABC 的（ ）
A ．内心
B ．外心
C ．垂心
D ．重心
6．在四面体ABCD 中，已知棱AC ，其余各棱长都为1，则二面角A CD B --的余弦值为（ ）
A ．
12 B ．1
3
C D ．3
7．四面体S ABC -中，各个侧面都是边长为a 的正三角形，,E F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线
EF 与SA 所成的角等于（ ）
A ．0
90 B ．0
60 C ．0
45 D ．0
30 二、填空题
1．点,A B 到平面α的距离分别为4cm 和6cm ，则线段AB 的中点M 到α平面的距离为_________________．
2．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为_______。

3．一条直线和一个平面所成的角为0
60，则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角是____________．
4．正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12，底面对角线的长为与底面所成的二面角等于_____。

5．在正三棱锥P ABC -（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，4,8AB PA ==,过A 作与
,PB PC 分别交于D 和E 的截面，则截面∆ADE 的周长的最小值是________
三、解答题
1．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．
(1)证明：PB ∥平面ACM ； (2)证明：AD ⊥平面PAC ．
2．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ∈BB 1，截面A 1EC 与侧面A 1ACC 1所成角为90°. (1)求证：BE ＝B 1E ；
(2)若AA 1＝A 1B 1，求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角的大小．
3如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD ＝DC ＝4，AD ＝2，E 为PC 的中点．
(1)求证：AD ⊥PC ；
(2)求三棱锥A －PDE 的体积；
(3)在AC 上是否存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．
答案一、选择题
1． A ③若m //α，n //α，则m n //，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系 ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交 2．C 设同一顶点的三条棱分别为,,x y z ，则2
2
2
2
2
2
2
2
2
,,x y a y z b x z c +=+=+=
得2
2
2
2
221()2
x y z a b c ++=
++=3．B 作等积变换A BCD C ABD V V --=
4．B BD 垂直于CE 在平面ABCD 上的射影
5．C BC PA BC AH ⊥⇒⊥
6．C 取AC 的中点E ，取CD 的中点F ，1,2EF BE BF =
==cos EF BF θ==
7．C 取SB 的中点G ，则2
a
GE GF ==，在△SFC 中，EF =，045EFG ∠= 二、填空题
1.5cm 或1cm 分,A B 在平面的同侧和异侧两种情况
2.48 每个表面有4个，共64⨯个；每个对角面有4个，共64⨯个
3.0
90 垂直时最大 4. 60 度
5. 11 沿着PA 将正三棱锥P ABC -侧面展开，则'
,,,A D E A 共线，且'
//AA BC 三、解答题：略
1．证明：(1)连接BD ，MO .在平行四边形ABCD 中，
因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点． 又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO . 因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ， 所以PB ∥平面ACM .
(2)因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1， 所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .
又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AD . 而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC .
2[解析] (1)取A 1C 1中点F ，作EG ⊥面AC 1于G ，
⎭
⎬⎫
B 1F ∥EG
B 1E ∥面A
C 1⇒BE ∥FG ⇒B 1EGF 为平行四边形⇒FG ⊥A 1C 1⇒G 为A 1C 之中点．
从而E 为BB 1之中点．∴BE ＝B 1E .
(2)由(1)知G 为矩形ACC 1A 1的中心，过G 作直线平行于A 1C 1，交AA 1于点P ，交CC 1于Q 点，连结EP ，EQ ，则平面A 1B 1C 1∥平面PEQ ，即求平面AEC 与平面PEQ 所成的角，
∵交线为EG ，∴其平面角为∠A 1GP ，因AA 1＝A 1B 1，则ACC 1A 1为正方形，则∠A 1GP ＝45°.
3．(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ． 又因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD ． 因为PD ∩CD ＝D ，所以AD ⊥平面PCD ． 又因为PC ⊂平面PCD ，所以AD ⊥PC ． (2)解：由(1)知AD ⊥平面PCD ， 所以AD 是三棱锥A －PDE 的高．
因为E 为PC 的中点，且PD ＝DC ＝4，
所以S △PDE ＝12S △PDC ＝12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×4×4＝4. 又AD ＝2，所以V A －PDE ＝13AD ·S △PDE ＝13×2×4＝8
3
.
(3)解：取AC 的中点M ，连接EM ，DM ，
因为E 为PC 的中点，M 是AC 的中点， 所以EM ∥PA ．
又因为EM ⊂平面DEM ，PA ⊄平面EDM ，所以PA ∥平面DEM .
此时AM ＝12AC ＝12AD 2＋DC 2
＝12
22＋42＝5，
即在AC 上存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，且AM 的长为 5.。