2020版高中数学第三章利用导数研究函数的极值(第1课时)利用导数研究函数的极值课件新人教B版
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
由极值点的个数求参数范围
典例 已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，求实数a的取值范围.
素养评析 (1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一 般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝ g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标. (2)将数转化为形，以形助数，体现了直观想象的作用和意义.
知识点二 求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是 极大值 . (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是 极小值 .
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
√B.有极大值－2，极小值2
C.无极大值，但有极小值－2 D.有极大值2，无极小值
12345
4.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为
A.－1<a<2 C.a<－1或a>2
B.－3<a<6
√D.a<－3或a>6
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
A.在(－∞，0)上为减函数 B.在x＝0处取极小值
√C.在(4，＋∞)上为减函数
D.在x＝2处取极大值
反思感悟 通过导函数值的正负号确定函数单调性，然后进一步明确导函 数图象与x轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点.
跟踪训练1 如图为y＝f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是 ①f(x)在(－3，－1)上为增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在(2,4)上为 减函数，在(－1,2)上为增函数；④x＝2是f(x)的极小值点.
2.极大值点与极大值
如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函 数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧 f′(x)>0 ，右侧 f′(x)<0 ，则把 点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值. 极大值点 、 极小值点 统称为极值点， 极大值 和 极小值 统称为极值.
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.
题型二 已知函数极值(或极值点)求参数
例3 (1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝_2__， b＝_9__.
(2)若函数f(x)＝13 x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为_(_－__∞__，__1_)_. 解析 ∵f′(x)＝x2－2x＋a， 由题意得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根， ∴Δ＝4－4a>0，解得a<1.
到极大值，则a的取值范围是
A.(－∞，－1)
B.(0，＋∞)
C.(0,1)
√D.(－1,0)
题型三 函数极值的综合应用
例4 已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0).若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y ＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.
引申探究 若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个 交点”呢？ 解 由本例解析可知当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象有两个不 同的交点； 当m<－3或m>1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象只有一个交点.
第三章 3.3.2 利用导数研究函数的极值
第1课时 利用导数研究函数的极值
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解函数极值的概念，能从几何方面直观理解函数的极值与导数 的关系. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 Байду номын сангаас标检测
反思感悟 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意 以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法 求解后必须验证根的合理性.
跟踪训练3 已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)·(x－a)，若f(x)在x＝a处取
12345
2.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，且f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于
√A.5
B.3
C.4
D.2
解析 因为f′(x)＝3x2＋2ax＋3，
则f′(－3)＝3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，
所以a＝5.
12345
3.已知函数f(x)＝x＋1x，则f(x) A.有极大值2，极小值－2
3 达标检测
PART THREE
1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x) A.无极大值点，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点
√C.有两个极大值点，两个极小值点
D.有四个极大值点，无极小值点 解析 f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正， 则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切 线方程为y＝4x＋4. (1)求a，b的值；
解 f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4
＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，
f′(0)＝a＋b－4＝4，
①
又f(0)＝b＝4，
②
由①②可得a＝b＝4.
反思感悟 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能 在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或 两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
跟踪训练4 已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝1 f′(x) 3
A.①②③ C.③④
√B.②③
D.①③④
命题角度2 求函数的极值或极值点 例2 求下列函数的极值. (1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；
(2)f(x)＝x2－2ln x.
解 函数f(x)＝x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－2x＝2x＋1xx－1，
2x＋1x－1
解方程
x
＝0，
得x1＝1，x2＝－1(舍去).
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
f′(x)
－
0
f(x)
↘
极小值1
因此当x＝1时，f(x)有极小值1，无极大值.
(1，＋∞) ＋ ↗
反思感悟 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x). (2)求f(x)的驻点，即求方程f′(x)＝0的根. (3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况 求极值. 特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图象也可判断f′(x)各因式的符号， 还可用特殊值法判断.
1 自主学习
PART ONE
知识点一 极值点与极值的概念 1.极小值点与极小值 如图，函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数 值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧其 f′(x)<0 ，右侧 f′(x)>0 ， 则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
则Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
12345
5.求函数 f(x)＝x－1＋eax(a∈R，e 为自然对数的底数)的极值.
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的 值，极值指的是函数值. 2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充 要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反. 3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点 问题.
1.导数值为0的点一定是函数的极值点.( × ) 2.极大值一定比极小值大.( × ) 3.函数f(x)＝1x 有极值.( × ) 4.函数的极值点一定是其导函数的变号零点.( √ )
2 题型探究
PART TWO
多维探究
题型一 极值与极值点的判断与求解
命题角度1 知图判断函数的极值 例1 已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)
特别提醒：如何理解函数极值的概念 (1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值 比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大 值或最小值. (2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个. (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系. (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点. (5)单调函数一定没有极值.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
由极值点的个数求参数范围
典例 已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，求实数a的取值范围.
素养评析 (1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一 般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝ g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标. (2)将数转化为形，以形助数，体现了直观想象的作用和意义.
知识点二 求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是 极大值 . (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是 极小值 .
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
√B.有极大值－2，极小值2
C.无极大值，但有极小值－2 D.有极大值2，无极小值
12345
4.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为
A.－1<a<2 C.a<－1或a>2
B.－3<a<6
√D.a<－3或a>6
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
A.在(－∞，0)上为减函数 B.在x＝0处取极小值
√C.在(4，＋∞)上为减函数
D.在x＝2处取极大值
反思感悟 通过导函数值的正负号确定函数单调性，然后进一步明确导函 数图象与x轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点.
跟踪训练1 如图为y＝f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是 ①f(x)在(－3，－1)上为增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在(2,4)上为 减函数，在(－1,2)上为增函数；④x＝2是f(x)的极小值点.
2.极大值点与极大值
如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函 数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧 f′(x)>0 ，右侧 f′(x)<0 ，则把 点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值. 极大值点 、 极小值点 统称为极值点， 极大值 和 极小值 统称为极值.
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.
题型二 已知函数极值(或极值点)求参数
例3 (1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝_2__， b＝_9__.
(2)若函数f(x)＝13 x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为_(_－__∞__，__1_)_. 解析 ∵f′(x)＝x2－2x＋a， 由题意得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根， ∴Δ＝4－4a>0，解得a<1.
到极大值，则a的取值范围是
A.(－∞，－1)
B.(0，＋∞)
C.(0,1)
√D.(－1,0)
题型三 函数极值的综合应用
例4 已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0).若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y ＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.
引申探究 若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个 交点”呢？ 解 由本例解析可知当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象有两个不 同的交点； 当m<－3或m>1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象只有一个交点.
第三章 3.3.2 利用导数研究函数的极值
第1课时 利用导数研究函数的极值
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解函数极值的概念，能从几何方面直观理解函数的极值与导数 的关系. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 Байду номын сангаас标检测
反思感悟 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意 以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法 求解后必须验证根的合理性.
跟踪训练3 已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)·(x－a)，若f(x)在x＝a处取
12345
2.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，且f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于
√A.5
B.3
C.4
D.2
解析 因为f′(x)＝3x2＋2ax＋3，
则f′(－3)＝3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，
所以a＝5.
12345
3.已知函数f(x)＝x＋1x，则f(x) A.有极大值2，极小值－2
3 达标检测
PART THREE
1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x) A.无极大值点，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点
√C.有两个极大值点，两个极小值点
D.有四个极大值点，无极小值点 解析 f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正， 则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切 线方程为y＝4x＋4. (1)求a，b的值；
解 f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4
＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，
f′(0)＝a＋b－4＝4，
①
又f(0)＝b＝4，
②
由①②可得a＝b＝4.
反思感悟 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能 在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或 两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
跟踪训练4 已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝1 f′(x) 3
A.①②③ C.③④
√B.②③
D.①③④
命题角度2 求函数的极值或极值点 例2 求下列函数的极值. (1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；
(2)f(x)＝x2－2ln x.
解 函数f(x)＝x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－2x＝2x＋1xx－1，
2x＋1x－1
解方程
x
＝0，
得x1＝1，x2＝－1(舍去).
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
f′(x)
－
0
f(x)
↘
极小值1
因此当x＝1时，f(x)有极小值1，无极大值.
(1，＋∞) ＋ ↗
反思感悟 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x). (2)求f(x)的驻点，即求方程f′(x)＝0的根. (3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况 求极值. 特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图象也可判断f′(x)各因式的符号， 还可用特殊值法判断.
1 自主学习
PART ONE
知识点一 极值点与极值的概念 1.极小值点与极小值 如图，函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数 值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧其 f′(x)<0 ，右侧 f′(x)>0 ， 则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
则Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
12345
5.求函数 f(x)＝x－1＋eax(a∈R，e 为自然对数的底数)的极值.
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的 值，极值指的是函数值. 2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充 要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反. 3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点 问题.
1.导数值为0的点一定是函数的极值点.( × ) 2.极大值一定比极小值大.( × ) 3.函数f(x)＝1x 有极值.( × ) 4.函数的极值点一定是其导函数的变号零点.( √ )
2 题型探究
PART TWO
多维探究
题型一 极值与极值点的判断与求解
命题角度1 知图判断函数的极值 例1 已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)
特别提醒：如何理解函数极值的概念 (1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值 比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大 值或最小值. (2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个. (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系. (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点. (5)单调函数一定没有极值.