大数据时代测边后方交汇的计算公式及精度分析

大数据时代测边后方交汇的计算公式及精度分析
摘要在图根控制测量中，交会定点是一种常用、简单的加密平面控制点的方法。

目前，随着全站仪的广泛使用，除了可以采用传统的测角交会方法外，测边交会加密平面控制点方法的运用越来越普遍。

但现在关于测边交会定点的计算主要是采用间接计算公式，公式推导不仅复杂，而且计算不易掌握。

基于此，本文就针对测边后方交汇的计算公式及精度进行分析研究。

关键词测边后方交汇；计算公式；精度分析
前言
由于测边后方交会定点具有布点灵活、施测方便、无须已知点之间互相通视且计算简便等优点，尤其在全站仪已普及应用的情况下，优点更为明显。

随着电子技术和计算机技术的发展，全站仪的测角和测距性能得到了很大程度的提高。

很多全站仪的测量、记录、数据预处理、显示等多种模块都向着智能化、集成化的方向发展，这样就大大减少了测设过程中的误差来源，提高了测量数据的精度。

1 测边后方交会定点的计算公式
在实际的生产过程中，常常因工期紧，任务重，各项工作交叉进展，导致原有的测量控制点遭到不同程度的破坏，给施工测量工作带来了很大的困难。

例如两控制点不通视，在设备安装时某些部件上的控制点上只能放棱镜而不适宜架设仪器等情况。

以往为了解决工程测量中出现的这些问题，常用极坐标法、直角坐标法、无定向导线法等测设方法来确定加密点，这些方法不但工作量大，而且加密点往往达不到原有控制点的精度[1]。

而传统的后方交会方法是通过在加密点上观测3个已知方向的水平夹角来计算测站的平面坐标，它要求加密点不能位于由3个已知点构成的危险圆附近。

由于这些条件在城市工程测量中较难满足而限制了传统后方交会方法的使用。

为此，本文提出了测边后方交会方法。

它是通过在加密点P上安置全站仪，在已知点A、B上安置反射镜，通过测量水平距离P A、PB和水平角V，计算测站点的平面坐标。

与传统后方交会方法比较，测边后方交会只需要在加密点上观测附近任意两个已知点的水平距离和水平角就可以计算出测站点的坐标。

测边后方交会法是指通过观测测站点到两个以上控制点的水平距离，以快速确定测站点平面位置的一种方法。

这种方法在实际的放样、地形图测绘、控制网加密等工程中得到了广泛的应用，再加上徕卡等高智能系列全站仪本身固化有测边后方交会的程序，使得这一方法的应用更加方便和灵活，同时也保障了测量的精度[2]。

如图1，P点为待定点，A、B为已知点，S0为已知边。

在待定点P上设站，测量S1=PA和S2=PB边便可确定点P的坐标。

图1 后方交会略图
这样待定点P点坐标计算的数学公式为：
微分式（1）得：
利用误差传播定律将微分转化为中误差后，可写出P点的点位中误差。

利用余弦公式的全微分加以置换，并经归项整理便有：
根据误差传播定理：
将式（7）代入式（3）并经整理得：
目前，全站仪（测距仪）的测距中误差普遍采用下式表示：
式中：a为固定误差；b为比例误差，以mm为单位；S为测距值（边长），以km为单位。

为便于分析，将式（9）代入式（8）后还表示为：
另外，把式（9）代入式（8）还可表示为：
在一般工程测量中，由于边长多在1.0～2.0km，只要待定点（交会点）的点位布设合理，其两条测边的边长不会相差很悬殊（一般多在1.0km以内），这样按式（9）估算两条测边的mS1和mS2值，其差异是很小的。

对于精度估算而言，可以认为两条测边的精度是相等或近似相等的，亦即mS1≈mS2=mS，于是式（8）又可写成：
综上诉述，式（15）和式（16）的计算模式是相同的，其点位中误差MP仅与式（13）和式（16）的计算值MS1S2和MS相关。

为比较起见，现就两种不同标称精度的测距仪器和不同边长交会组合，对式（13）和式（16）进行模拟计算，见表1。

从表1的计算结果表明，利用式（13）或式（16）计算的MS1S2和MS值，其差异是很小的（一般差异均在0.10mm以内，最大仅为0.14mm），因此，采用式（16）可以满足精度估算[3]。

2 测边后方交汇的精度分析
为了对点位精度计算式进行比较讨论，现就不同标称精度的测距仪器，依图2上的点位分布，对（14）式和（15）式进行了模拟计算。

见表2、3。

从表2和表3的计算结果可以看出，对于交会角γ相同的同一个点位，只要S1和S2相差不是很悬殊（即交会图形结构较好时），其（14）式和（15）式的
计算结果差异是很小的，在交会图形较好的A-B和C-D分布线上，其差异值均在0.10mm以内，而在交会图形较差的G-H分布线上，其最大差异仅为0.22mm。

因此，对于测边后方交会定点而言，采用（14）式或（15）式进行精度估算都可以满足对估算精度的要求，而（15）式较（14）式简便[4]。

从图2和表2及表3中的计算结果表明，当两测边的交会角γ相同时，位于已知边中垂线上的测边后方交会点，其精度最佳。

而位于该中垂线两侧呈对称分布的交会点，其精度是相同的。

位于交会角γ相同的圆弧曲线上的点位（如图2中的1、8、15、22，2、9、16、23……7、14、21、28等），其點位精度也近似相等。

因此可以认为，该圆弧曲线为随交会角γ（相对于AB的圆周角）不同而分布的点位误差特性曲线。

这样根据（14）式或（15）式依不同的交会角γ（以10°为间隔），可以计算并绘制出点位误差特性曲线图，供生产作业中作为点位精度预估之用，如图3。

在计算时，以m s1s2（或m s）=±1.0mm，AB=S 0=1.0km，而曲线图中表示的误差值则以mm计。

实际应用时，只需在野外选点略图上或图解交会的略图上，量取交会角γ（精确到1°），然后直接在图3上依γ角直接插算，或根据略图上量取的S1和S2（以km计）乘以（S0为已知边长）后，再根据点位误差特性曲线图的比例直接交会插算，在图上插算得误差特征值后，再乘以实际的Ms1s2（或Ms），便得到测边后方交会点的点位中误差值，甚为方便。

点位误差特性曲线图的绘制方法如下：误差曲线是一组相对于AB边的不同圆周角（交会角）的圆曲线，其圆心位于AB（两已知点连线）的中垂线上，其圆心离开垂足的距离d为：
当d值为正时，向上截取圆心；若d值为负时，则向下截取圆心。

因此绘制甚为简单，便于外业使用。

从公式（10）和图3可以看出，当已知边长度一定时，其交会点宜选定在交会角γ邻近90°处为佳，而当交会角γ一定时，其已知边以选择较短边为宜。

又从表2和表3及图3还可以看出，当交会角γ向大于或小于90°方向变化时，其点位误差都呈递增的趋势，但其递增变化率是不一样的，当γ角从90°向30°变化时，其变化率要比从90°向150°变化时大。

但其递增变化的速度是均匀、缓慢的。

因此，测边后方交会是一种方便灵活、施测简便、精度较好的加密控制点的布设方式[5]。

3 结束语
（1）测边后方交会定点是一种方便灵活、施测简便、精度较好的加密控制点（设站点）的布设方式，其精度不仅与交会图形（交会角大小）密切相关，而且还与已知边长度和不同测距仪器标称精度中的标称值a、b的不同相关。

（2）测边后方交会点，其布设图形一般以交会角γ位于90°～110°范围内为最佳分布区域或称最佳交会区。

而最佳交会图形的结构，还随测距仪标称精度中
的标称值不同而不同。

若固定误差a大于或等于比例误差b时，其最佳交会角γ则位于90°～100°区域内；若固定误差a小于或差b时，其最佳交会角则位于100°～110°区域内。

参考文献
[1] 周西振，尹任祥.测边后方交会精度研究及其应用[J].西南交通大學学报，2006，41（3）：344-348.
[2] 姜留涛，王燕.测边后方交会自由设站放样方法的应用[J].陕西铁路工程职业技术学院学报，2008，6（2）：33-35.
[3] 宵建虹，李明.全站仪测边交会精度分析[J].地矿测绘，2003，19
（2）：32-33.
[4] 覃辉.测边后方交会的计算公式与精度分析[J].铁路勘察，2001，
（2）：18-21.
[5] 张杰，范生宏，刘昌儒，等.空间后方交会精度分析及实验验证[J].无线电工程，2015，（12）：59-63.。