高三数学第三次模拟考试试题苏教版

高三年级第三次模拟考试
数学试题
【考试时间：120分钟分值：160分】
参考公式：样本数据12
,,,
n
x x x的方差
22
1
1
()
n
i
i
s x x
n=
=-
∑
，其中1
1n
i
i
x x
n=
=∑
；
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答进程，请把答案写在答题纸的指定位置上.
1、集合
{}
3,6
A=，{}
3,9
B=，则A B=▲．
2、若复数1(4),()
z a a i a R
=++-∈是实数，则a=▲．
3、若是
22
sin
3
α=
，α为第一象限角，则
sin()
2
π
α
+=
▲．
4、已知正六棱锥ABCDEF
P-的底面边长为1cm，高为1cm，则棱锥的体积为▲3
cm．
5、高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同窗在样本中，那么还有一个同窗的学号应为▲．
6、已知某一组数据8,9,10,11,12，则其方差为▲．
7、阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S值为▲．
8、若
)
(x
f
y=是概念在R上周期为2的偶函数，当[]1,0
∈
x时，1
2
)
(-
=x
x
f
，则函数3
()()log
g x f x x
=-
的零点个数为▲．
9、若命题“R
x∃∈，使得2(1)10
x a x
+-+≤”为假命题，则实数a的范围▲．
10、在△ABC 中，AH 为BC 边上的高，tan C ＝4
3，则过点C ，以A ，H 为核心的双曲线的离
心率为 ▲ ． 11、设等比数列
{}n a 的公比1q ≠，n S 表示数列{}n a 的前n 项的和，n T 表示数列{}n a 的前
n 项的乘积，()n T k 表示{}n a 的前n 项中除去第k 项后剩余的1n -项的乘积，即
()(),,n
n k
T T k n k N k n a *=
∈≤，则当11a =，2q =，数列()()()
{}
12n n n
n n S T T T T n +++的
前n 项的和是 ▲ ．
12、已知)(),(x g x f 都是概念在R 上的函数，()0,()()()()g x f x g x f x g x ''≠>,
()(),x f x a g x =⋅（01a a >≠且）,(1)(1)5
,
(1)(1)2f f g g -+=- 在有穷数列)10,,2,1}()()({ =n n g n f 中，
任意取正整数k （110k ≤≤），则前k 项和不小于1615的概率是 ▲ ．
13、设A ,B ,C 为单位圆O 上不同的三点，则点集{(,)|,A x y OC xOA yOB ==+
02,02}x y <<<<所对应的平面区域的面积为 ▲ ．
14、函数
21()23ln 2f x x tx x =
-+，
2()3x t
g x x +=+，函数()f x 在,x a x b ==处取得极值（0a b <<）， ()g x 在[,]b a --上的最大值比最小值大1
3，若方程()f x m =有3个不同
的解，则函数152
m y e +=的值域为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解承诺写出必要的文字说明，证明进程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15、(本小题满分14分) 在ABC ∆中，
c b a ,,别离是∠A 、∠B 、∠C 的对边, c b a ,,知足222b a c ac =+
-
(Ⅰ）求角B 的大小；
(Ⅱ)在区间(0,)B 上任取θ
，求cos 1
2θ<<的概率；
（Ⅲ）若AC ＝，求ΔABC 面积的最大值.
16、(本小题满分14分)
直三棱柱111C B A ABC -中，11===BB BC AC ，31=AB ．
（Ⅰ）求证：平面⊥C AB 1平面CB B 1； (Ⅱ)求三棱锥C AB A 11-的体积．
17、(本小题满分14分)
工厂生产某种零件，天天需要固定本钱100元，每生产1件，还需再投入资金2元，若天天生产的零件能全数售出，每件的销售收入
()
P x （元）与当天生产的件数x （*
x N ∈）
之间有以下关系：()23
183,0103
5201331,10
x x P x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨
⎪->⎪⎩ ,设当天利润为y 元.
（Ⅰ）写出y 关于x 的函数关系式；
（Ⅱ)要使当天利润最大，当天应生产多少零件？（注：利润等于销售收入减去总本钱）
18、(本小题满分16分) 设等比数列
{}n a 的首项为12a =，公比为(q q 为正整数）
，且知足33a 是18a 与5a 的等差中
项；等差数列{}n b 知足2*
32()0(,)2n n n t b n b t R n N -++=∈∈.
（Ⅰ）求数列
{}n a ，{}n b 的通项公式；
（Ⅱ) 若对任意*
n N ∈，有
111n n n n n n a b a a b a λ++++≥成立，求实数λ的取值范围;
（Ⅲ）对每一个正整数k ，在k
a 和
1
k a +之间插入
k
b 个2，取得一个新数列
{}n c .设n T 是数
列{}n c 的前n 项和，试求知足12m m T c +=的所有正整数m .
19、(本小题满分16分)
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
过点
，椭圆C 左右核心别离为21,F F ，上极点为E ，
21F EF ∆为等边三角形.概念椭圆C 上的点00(,)M x y 的“伴随点”为
00
(
,)x y N a b .
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)若圆1C 的方程为2(2)x a +＋2y ＝2a ，圆1C 和x 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆1C 上不
同于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交y 轴于S ，T 两点．当点P 转变时，以ST 为直径的圆2C 是不是通过圆1C 内必然点？请证明你的结论；
（Ⅲ）直线l 交椭圆C 于H 、J 两点,若点H 、J 的“伴随点”别离是L 、Q,且以LQ 为直径的
圆通过坐标原点O.椭圆C 的右极点为D ，试探讨ΔOHJ 的面积与ΔODE 的面积的大小关系,并证明.
20、(本小题满分16分)
已知函数
2
()ln(1),()f x ax x a R =++∈． （Ⅰ）设函数(1)y f x =-概念域为D ①求概念域D ；
②若函数
41()[()ln(1)]()h x x f x x x x =+-++2
(0)cx f '++在D 上有零点，求22a c +的最小值； (Ⅱ) 当
1
2a =
时，2
()(1)(1)(1)2g x f x bf x ab x a '=-+---+，若对任意的],1[e x ∈，
都有2
()2g x e e ≤≤恒成立，求实数b 的取值范围；（注：e 为自然对数的底数）
（Ⅲ）当[0,)x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在0,
0x y x ≥⎧⎨
-≤⎩所表示的平面区域内，求实
数a的取值范围．
高三年级第三次模拟考试
数学试题（附加题）
（满分40分，考试时间30分钟）
21、[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤
A、[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，M, N是圆上两点，直线MN交AD的延长线于点C，交⊙O的切线于B，BM＝MN＝NC＝1，求AB的长和⊙O的半径．
B、[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵
21
31
22
A
-⎡⎤
⎢⎥
=
⎢⎥
-
⎣⎦
（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵B；
（Ⅱ）若直线l通过矩阵B变换后的直线方程为730
x y
-=，求直线l的方程.
C、[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
已知圆C的极坐标方程是2cos
ρθ
=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，成立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
1,
5
5
x t
y a t
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
=+
=+
（t为参数）.若直线l与圆C 相交于P,Q两点，且
45
5
PQ=
.
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程，并求出圆心坐标和半径；
（Ⅱ）求实数a的值.
D 、[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数()|3|f x x =-，()|4|g x x m =-++
（Ⅰ）已知常数2a <，解关于x 的不等式()20f x a +->；
（Ⅱ）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求实数m 的取值范围.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤． 22、（本小题满分10分） 已知
12310
,,,,A A A A 等10所高校举行的自主招生考试，某同窗参加每所高校的考试取得
通过的概率均为12.
（Ⅰ）若是该同窗10所高校的考试都参加，试求恰有2所通过的概率； （Ⅱ）假设该同窗参加每所高校考试所需的费用均为a 元，该同窗决定按
12310
,,,,A A A A 顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就再也不参加其它高校的考试，试求该同窗参加考试所需费用ξ的散布列及数学期望. 23、（本小题满分10分） 已知,m n 为正整数.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)1m
x mx +≥+；
（Ⅱ）对于6n ≥，已知
11(1)32n n -
<+，求证：1(1)()32n m
m n -<+， (1,2,
,)m n =；
（Ⅲ）求出知足等式
345(2)(3)n n n
n n n n +++++=+的所有正整数n .
高三年级第三次模拟考试参考答案
1、
{}3,6,9 2、4 3、1
3 4
、 5、20 6、2 7
、 8、2 9、(1,3)- 10、2 11、21n - 12、710 13、25
14、
4(27,)e 15、解：
(Ⅰ）由2
2
2
b a
c ac =+-得
3B π
=
-------------------4分；
(Ⅱ)
由cos 1θ<<，得(0,)
4π
θ∈，--------------6分
所以cos 1
2θ<<的概率为3
4-------------8分
（Ⅲ）由b =，222
12b a c ac ac ==+-≥
.
4ABC S ac ∆=
≤
面积的最大值为分
16、(Ⅰ）略；--------------8分
(Ⅱ)三棱锥C AB A 11-的体积为1
6．--------------14分
17、解：(1) 当0＜x ≤10时，y ＝x(83－x2)－100－2x ＝－x3＋81x －100； 当x ＞10时，y ＝x(－)－2x －100＝－2x －＋420.
① 当0＜x ≤10时，y ′＝81－x2，令y ′＝0，得x ＝9 ------- .(9分) 当x ∈(0,9)时，y ′＞0；当x ∈(9,10)时，y ′＜0. ∴ 当x ＝9时，ymax ＝386；(10分)
② 当x ＞10时，y ′＝－－2，令y ′＝0，得x ＝11. ------- (12分) 当x ∈(10,11)时，y ′＞0；当x ∈(11，＋∞)时，y ′＜0. ∴ 当x=11时，ymax ＝387.(14分) ∵ x ∈N*，
∴ 综合①②知：当x ＝11时，y 取最大值．
故要使当天利润最大，当天应生产11件零件．------- (14分)
18、解： （1）由题意
315
68a a a =+，则2468q q =+，解得24q =或22q =
因为q 为正整数，所以2q =， 又12a =，所以*2()n n a n N =∈------3分
2n b n
=。

----------6分
（2）
1111,2n n n n n n n n a b a a b a λλ+++-+≥≥
由得．
记12n n n k -=，当2,n ≥时+11n n k k ≤，得n k 单调减，----------8分 又1=0
k ，所以
21
4k λ≥=
---------10分
（3）由题意知，1123425678932,2,4,2,8,
c a c c c a c c c c c a ==
==========
则当1m =时，12224
T c =≠=，不合题意，舍去；-------------------11分 当2m =时，
212342T c c c =+==，所以2m =成立；-------------------12分
当3m ≥时，若
12
m c +=，则
12m m T c +≠，不合题意，舍去；从而
1
m c +必是数列
{}n a 中的某
一项
1
k a +，则
123123422222222
k m k b b b b T a a a a a =++
++++
++++
+++
+++
+个
个
个
个
23123(2222)2()
k k b b b b =+++
+++++
+
12(22)2(21)222222k k k k
k k ++=-+⨯
=++--------------------13分
又
1
112222k m k c a +++==⨯，所以
12
2222k k k +++-=122k +⨯， 即2210k k k --+=，所以
221(1)k k k k k +=+=+ 因为*21()k k N +∈为奇数，而2
(1)k k k k +=+为偶数，所以上式无解。

即当3m ≥时，
1
2m m T c +≠ -------------------15分
综上所述，知足题意的正整数仅有2m =。

-------------------16分
19、解：（1）由已知222223
31412a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得22
4,3a b == ,方程为22
143x y +=.···············4分
（2）（法一坐标参数）设P(0x ，0y )(0y ≠0)，则20(4)x +＋20y ＝4．又A(－6，0)，B(－2，
0)，所以PA l ：y ＝006y x +(x ＋6)，S(0，0066y x +)，PB l ：y ＝002y x +(x ＋1)，T(0，0
022y x +)．
圆2C 的方程为2x ＋2000062622y y x x y ⎛⎫+ ⎪++ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭＝2
00062622y y x x ⎛⎫- ⎪++ ⎪
⎪
⎪⎝⎭．化简得2x ＋2y －(0066y x +＋
022
y x +)y －12＝0，令y ＝0，得x
＝±
(-0)在圆1C 内，所以当点P 转变
时，以
ST
为直径的圆2C 通过圆1C 内必然点
(-，
0)．························10分
法二斜率参数也可以
（3） 设1122(,),(,)H x y J x y ,则1122,,,2233x x L Q ⎛⎛ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭;
1)当直线l 的斜率存在时,设方程为y kx m =+,
由22
143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得:
222(34)84(3)0k x kmx m +++-=； 有
22122
212248(34)08344(3)34k m km x x k m x x k ⎧
⎪∆=+->⎪
-⎪
+=⎨+⎪
⎪-=
⎪+⎩
①····························12分 由以LQ 为直径的圆通过坐标原点O 可得: 1212340
x x y y +=；
整理得:
221212(34)4()40
k x x mk x x m ++++= ②
将①式代入②式得: 2
2
342k m +=,
048,0,043222>=∆>∴>+m m k
又点O 到直线y kx m =+的距离
21m d k =
+
所以
1
32OHJ S HJ d ∆=
=·····························
·······································
·········14分
2) 当直线l 的斜率不存在时,设方程为(22)x m m =-<<
联立椭圆方程得: 22
3(4)4m y -=；代入1212340x x y y +=得22
3(4)304m m --=；
552±
=m ,515
2±
=y
12OHJ S HJ d ∆==: OHJ ∆
又
ODE
∆的面积也
为
,所以二者相
等. ·····································
····················16分 20、解析：（Ⅰ）①概念域(0)D =+∞，
；………………3分 ②
41
()[()ln(1)]()h x x f x x x x =+-++2
(0)cx f '++=0 即2210a x ax c x x +++
+=， 令
1
t x x =+,方程为220t at c ++-=，2t ≥， 设
()220g t t at c =++-=2
t ≥，
当22a
-
>，即4a <-时，只需2480a b ∆=-+≥，此时，2216a b +≥；
当
22a -
≤，即4a -≤时，只需22220a b ++-≤，即220a b ++≤，此时
2245a b +≥
． 22a b +的最小值为4
5．……………………………… 5分
(Ⅱ)（方式一）由题，[]222
11
()1,1,b x bx g x x e x x x +-'=-+=∈
令
2
()1h x x bx =+-，注意()y h x =的图像过点（0，-1）,且开口向上，从而有 (1)
[](1)11001,g ()0
h b b x e x '=+-≥≥∈≥当即时，在上，()g x 单调递增，
所以有2(1)111()2g e g e e b e e ⎧
=+≥⎪⎪⎨
⎪=++≤⎪⎩ 得
10b e e ≤≤-
； …………………………7分 (2)当2
()10g e e eb =+-≤即1
b e e ≤-时，[]1,g ()0,()x e x g x '∈≤在上单调递减，
所以有max min ()(1)11212()()g x g e g x g e e b e e ==+≤⎧⎪⎨==++≥⎪⎩ 得1b e e ≥-，故只有1b e e =-符合；
………………………………………………………………………………9分
(3)当(1)0
()0g g e <⎧⎨>⎩，即10e b e -<<时，记函数
2
()1h x x bx =+-的零点为(1,)t e ∈， 此时，函数()g x 在(1,)t 上单调递减，在(,)t e 上单调递增，
所以，min (1)2,()212()()ln g e g e e g x g t t b t t e ≤≤⎧⎪
⎨==++≥⎪⎩
⇔12
ln t b t t e ++≥ 因为(1,)t e ∈是函数2
()1h x x ax =+-的零点，所以
1
b t
t =-， 故有
112
()ln t t t t t e ++-≥ 令11()()ln m t t t t t t =++-，(1,)t e ∈，则21'()(1)ln 0
m t t t =--≤
所以函数()y h t =在(1,)e 上单调递减，故
2
()()m t m e e >=
恒成立，
此时，1
0e b e -<<；
综上所述，实数b 的取值范围是11
[,]
e e e
e --。

………………………………11分 （方式二参数分离法也给分）
（Ⅲ）因函数()f x 图象上的点都在0,
0x y x ≥⎧⎨
-≤⎩所表示的平面区域内，则当[0,)x ∈+∞时，不
等式()f x x ≤恒成立，即2ln(1)0ax x x ++-≤恒成立，设2
()ln(1)g x ax x x =++-（0x ≥），
只需max ()0g x ≤即可．
由
1()211g x ax x '=+
-+[2(21)]
1x ax a x +-=+，
（ⅰ）当0a =时，
()1x
g x x -'=
+，当0x >时，()0g x '<，函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，
故()(0)0g x g ≤=成立．
13分
（ⅱ）当0a >时，由
[2(21)]()01x ax a g x x +-'=
=+，因[0,)x ∈+∞，所以1
1
2x a =-，
①若1102a -<，即12a >
时，在区间(0,)+∞上，()0g x '>，则函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，()g x 在[0,)+∞上无最大值（或：当x →+∞时，()g x →+∞），此时不知足条件；
②若1102a -≥，即102a <≤时，函数()g x 在1(0,1)2a -上单调递减，在区间1
(1,)
2a -+∞上单调递增，一样()g x 在[0,)+∞上无最大值，不知足条件． 15分 （ⅲ）当0a <时，由
[2(21)]
()1x ax a g x x +-'=
+，∵[0,)x ∈+∞，∴2(21)0ax a +-<，
∴()0g x '
<，故函数()g x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0g x g ≤=成立．
综上所述，实数a 的取值范围是(,0]-∞． 16分
高三年级第三次模拟考试附加题答案
21、[选做题]本题包括B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤．
（1）解析：∵AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线BMN是⊙O的割线，∴∠BAC＝90°，AB2＝BM·BN.
22. 答案：（Ⅰ）因为该同窗通过各校考试的概率均为1
2，所以该同窗恰好通过2所高校
自主招生考试的概率为
2
8
21011122P C ⎛⎫⎛⎫=- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭45
1024=
. 4分
（Ⅱ）设该同窗共参加了i 次考试的概率为
i
P （110,i i Z ≤≤∈）.
∵91
,19,21,102i
i i i Z P i ⎧≤≤∈⎪⎪=⎨
⎪=⎪⎩， ∴所以该同窗参加考试所需费用ξ的散布列如下： ξ
a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a
P
12 212 312 412 512 61
2 712 812 912 912
∴2991111
(12910)2222E a
ξ=⨯+⨯++⨯+⨯，
令
2911
1
12922
2S =
⨯+⨯++
⨯, …（1） 则23910111
11
12892
2222S =⨯+⨯+
+
⨯+
⨯, (2)
由（1）-（2）得2910111
11
922222S =++
+
-⨯，
所以
28
911
11
192222S =+++
+
-⨯， 所以
289911111191022222E a ξ⎛⎫=+++
+
-⨯+⨯ ⎪⎝⎭91
112
2a ⎛⎫
=+++ ⎪⎝⎭
10112112a
-
=-101212a ⎛⎫=- ⎪
⎝⎭1023
512a =(元). 10分0 23、解：（1）用数学归纳法证明： （i ）当时，原不等式成立； 当时，左侧
，右边
，
因为
，
所以左侧≥右边，原不等式成立； （ii ）假设当时，不等式成立，即
，
则当时，
∵， ∴
，
于是在不等式
两边同乘以
得，
所以
即当
时，不等式也成立 综合（i ）（ii ）知，对一切正整数，不等式都成立。

3分
（2）当时，由（1）得
于是，。

6分（3）解：由（2），当时，
，∴
即
即当时，不存在知足该等式的正整数n
故只需要讨论的情形：
当时，，等式不成立；
当时，，等式成立；
当时，，等式成立；
当时，为偶数，而为奇数，
故，等式不成立；
当时，同的情形可分析出，等式不成立
综上，所求的n只有。

10分。