高中数学第一章空间几何体1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积aa高一数学

12/13/2021
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间几何体的体积
例2 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体
分成两部分,其体积分别为V1,V2,且V2>V1.
(1)求V1,V2以及V1∶V2;
(2)求A到平面A1BD的距离d.
思路分析:(1)首先明确截面将正方体分成的两个几何体的结构特
周长.(
)
答案:(1)√ (2)×
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一
二
三
二、圆柱、圆锥、圆台的表面积
1.如何根据圆柱的展开图,求圆柱的表面积?
提示:圆柱的侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长,宽是圆柱
的高(母线).设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则S圆柱侧=2πrl,S圆柱表
=2πr(r+l),其中r为圆柱底面半径,l为母线长.
提示:如图.
V=Sh
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1
V= (S'+ '+S)h
3
1
V= Sh
3
一
二
三
5.做一做:(1)如图,某几何体下面部分为正方体ABCD-A'B'C'D',上
面部分为正四棱锥S-ABCD,若几何体高为5,棱AB=2,则该几何体的
体积为
.
1
解析:V 正方体=23=8,VS-ABCD= ×22×(5-2)=4.
何体分成两部分的体积之比是否会发生变化?试证明你的结论.
解:不妨设长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c.截面将
长方体化为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD,其中
底面△ABD是两直角边分别为a,b的直角三角形,其面积
1
1
S= ×AB×AD= ab.底面△ABD 上的高 h=AA1=c,所以其体积
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一
二
三
2.如何根据圆锥的展开图,求圆锥的表面积?
提示:圆锥的侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线长,弧长
1
等于圆锥底面周长,侧面展开图扇形面积为 2 ×2πrl=πrl,
∴S圆锥侧=πrl,S圆锥表=πr(r+l),其中r为圆锥底面半径,l为母线长.
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一
二
式,推测柱体的体积计算公式如何?
提示:V长方体=abc,V正方体=a3,V圆柱=πr2h,根据这些体积公式可知:
设柱体的底面面积为S,高为h,则柱体的体积公式为V柱体=Sh.
2.圆锥的体积公式如何表示?根据圆锥的体积公式,推测锥体的体
积计算公式如何?
1
1
3
3
提示:V 圆锥= πr2h.V 锥体= Sh(S 为底面面积,h 为高).
为
,表面积为
.
(2)如图,圆锥的底面半径为1,高为 3 ,则圆锥的侧面积为
.
(3)圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等
于
.
答案:(1)24π 32π (2)2π (3)67π
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一
二
三
三、柱体、锥体、台体的体积
1.长方体、正方体、圆柱的体积公式如何表示?根据这些体积公
底面积:S 底=πr2;
侧面积:S 侧=πrl;
表面积:S=πr2+πrl
上底面面积:S上 =πr'2;
底
圆台
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下底面面积:S下 =πr2;
底
侧面积:S 侧=π(r+r')l;
表面积:S=πr2+πr'2+π(r+r')l
一
二
三
6.做一做:
(1)圆柱OO'的底面直径为4,母线长为6,则该圆柱的侧面积
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1.3.1 柱体、锥体、台体的表
面积与体积
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核心素养培养目标
1.了解柱体、锥体、台体的侧面展
开图,掌握柱体、锥体、台体的表
面积公式及体积公式.
2.能运用公式求柱体、锥体、台体
的表面积及体积,理解柱体、锥体、
台体的体积之间的关系.
3.会求简单组合体的表面积及体
1
V 正四棱台= ×12×(102+202+ 102 × 202 )=2 800(cm3).
3
方法总结 求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的
高.要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量
之间的关系.
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探究一
探究二
1.解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题,要利用好旋转体的轴截
面及侧面展开图,借助于平面几何知识,求得所需几何要素,代入公
式求解即可,基本步骤如下:
(1)得到空间几何体的平面展开图;
(2)依次求出各个平面图形的面积;
(3)将各平面图形的面积相加.
2.正棱锥及正棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面
的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.
点,则该几何体是正方体ABCD-A1B1C1D1截取三棱台AEF-A1B1D1后
剩余的部分.
则该几何体的体积 V=V 正方体-V 三棱台
答案:(1)A
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(2)C
1
3
=2 3
×
1
2
1
17
+ 2 + 2 × 2 ×2= 3 .
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟表面积与体积的计算方法
已知几何体的三视图求其表面积或体积时,先由三视图还原作出
直观图,再根据三视图中所给数据,得到直观图中计算表面积和体
积所需要的有关数据,最后利用表面积或体积公式求解.
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思维辨析
变式训练一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形,侧棱垂直于
底面,它的三视图如图所示,AA1=3,则这个三棱柱的表面积和体积
分别为
.
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的面积,然后求和即可.
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一
二
三
3.填空:
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和,也就是展开
图的面积.
4.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的
画“×”.
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.(
)
(2)斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解,其中l为侧棱长,c为底面
征,然后求出V1,而V2直接用正方体的体积减去V1即得;(2)利用三棱
锥的结构特征,根据等积变换列出方程求解.
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思维辨析
解:(1)截面将正方体化为两个几何体,其中较小部分是一个三棱
锥A1-ABD,
其中底面△ABD是腰长为a的等腰直角三角形,
其面积
1
1 2
S=2×AB×AD=2a .
取A1B1的中点E1,AB的中点E,则E1E是侧面ABB1A1的高.设O1、O分
别是上、下底面的中心,则四边形EOO1E1是直角梯形.
1
由 S 侧=4×2(10+20)×E1E=780,得 EE1=13,
1
在直角梯形 EOO1E1 中,O1E1=2A1B1=5,
1
OE=2AB=10,
∴O1O= 1 2 -(-1 1 )2 =12,
中,A1B=BD=A1D= 2 a,
1
2
取 BD 的中点 H,连接 AH,则 AH⊥BD,BH=HD=2BD= 2 a,
所以 AH= 2 - 2 =
1
1
( 2)2 6
其面积 S2=2BD·A1H=2 × 2a× 2 a=
∵1 - = -1 ,
1
2
2

2
=
3 2
a.
2
1
三
3.如何根据圆台的展开图,求圆台的表面积?
提示:圆台的侧面展开图是一个扇环,内弧长等于圆台上底周长,外



弧长等于圆台下底周长,如图,+ = ,解得 x=- l.S 扇环=S 大扇形-S 小扇形
1
1
2
2
= (x+l)×2πR- x·2πr=π[(R-r)x+Rl]=π(r+R)l,所以,S 圆台侧=π(r+R)l,S 圆台
的表面积.
思路分析:分析几何体的形状
求表面积
解:以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底半径
2 + (16-4)2
5
是4,下底半径是16,母线DC=
表面积为π(4+16)×13+π×42+π×162=532π.
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=13.故该几何体的
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思维辨析
反思感悟空间几何体表面积的求解方法
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思维辨析
延伸探究在上题题设条件不变的情况下,求以BC所在直线为轴
旋转一周所得几何体的表面积.
解:以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组
合体,如图.
其中圆锥的高为16-4=12,圆柱的母线长为AD=4,故该几何体的
表面积为2π×5×4+π×52+π×5×13=130π.
解析:(1)由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱,且底面为直
角三角形,直角边长分别为3和4,斜边长为5,三棱柱的高为5,如图所
示,所以表面积为 2
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1
2
× 3 × 4 +(3+4+5)×5=72.
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思维辨析
(2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中
(
)
A.72 B.66
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C.60 D.30
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(2)已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三
视图如图所示,则该几何体的体积是(
)
A.8
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20
B. 3
17
C. 3
14
D. 3
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思路分析:三视图
思维辨析
几何体
计算体积
=π(r2+rl+Rl+R2).
表
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一
二
三
4.圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?
提示:如图所示.
12/13/2021
一
二
三
5.关于旋转体的表面积,请完成下表:
几何体
圆柱
圆锥
侧面展开图
底面积、侧面积、表面积
底面积:S 底=πr2;
侧面积:S 侧=2πrl;
表面积:S=2πr2+2πrl
底面 ABD 上的高为 h=AA1=a.
1
1
1
1
所以其体积 V1=3Sh=3 × 2a2×a=6a3.
正方体的体积 V=a3,
1 3 5 3
3
所以 V2=V-V1=a - a = a .
所以V1∶V2=1∶5.
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6
6
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(2)三棱锥A1-ABD与三棱锥A-A1BD是同一个几何体.在△A1BD
2
,
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探究三
思维辨析
一题多变——求正棱台的体积
典例已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm,侧面积是
780 cm2.求正四棱台的体积.
思路分析可以尝试借助四棱台内的直角梯形,求出棱台底面积和
高,从而求出体积.
12/13/2021
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解:如图所示,正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,A1B1=10 cm,AB=20 cm.
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思维辨析
解析:直观图如图,由题意可知,
1
3 3
S△ABC=2×3×
2
=
9 3
,×3=27.
9 3
所以这个三棱柱的表面积为 27+2×
9 3
这个三棱柱的体积为
9 3 27 3
答案:27+
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2
,
4
4
27 3
×3=
4
.
4
9 3
=27+
2
1
1
1
2
1
V1=3Sh=3 × 2ab×c=6abc.长方体的体积 V=abc,所以
1
5
6
6
V2=V-V1=abc- abc= abc.所以 V1∶V2=1∶5,故比值没发生变化.
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思维辨析
与三视图有关的表面积和体积
例3 (1)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为
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一
二
三
3.台体的上底面积S',下底面积S,高h,则台体的体积是怎样的?圆
台的体积公式如何用上、下底面半径及高表示?
1
提示:V 台= (S'+ '+S)h.
1
3
1
V 圆台=3(S'+ '+S)h=3πh(r2+rR+R2)(r,R 分别为圆台上底、下底半
径).
4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系怎么样?
积.
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核心素养形成脉络
一
二
三
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
1.正方体与长方体的展开图如下图(1)(2)所示,则相应几何体的表
面积与其展开图的面积有何关系?
图(1)
图(2)
提示:相等.
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一
二
三
2.棱柱、棱锥、棱台的展开图是怎样的?如何求棱柱、棱锥、棱
台的表面积?
提示:如下图所示,首先需求出各个展开图中的每部分平面图形
即6a3=3S2·d,
1 3 1
所以6a =3
3
×
3 2
a ×d,
2
3
解得 d= 3 a,即 A 到平面 A1BD 的距离为 3 a.
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6
2
a.
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探究三
思维辨析
反思感悟求几何体体积的常用方法
12/13/2021
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探究二
探究三
思维辨析
延伸探究若【例2】中的正方体改为长方体,则对应截面将该几
3
V=V正方体+VS-ABCD=12.
答案:12
(2)已知棱台的上、下底面面积分别为4,16,高为3,则棱台的体积
为
.
答案:28
12/13/2021
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探究三