详解习题 拓展延伸---全等运用

题目
本题选自新人教版《数学》八年级上册教材56页复习题12第9题
如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的
长。

分析：先证明△ACD≌△CBE，再求出EC的长，解决问题．
解答：解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D
∴∠E=∠ADC=90°
∵∠BCE+∠ACE=∠DAC+∠ACE=90°
∴∠BCE=∠DAC
∵AC=BC
∴△ACD≌△CBE
∴CE=AD，BE=CD=2.5-1.7=0.8（cm）．
点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．再根据全等三角形的性质解决问题．
说题流程
一审题分析
二解题过程
三拓展变式
四总结分析
一审题分析
1题目背景
（1）本题出现在人教第十二章《全等三角形》的复习题第9题，是学习了全章的基础上出现的。

（2）知识背景
涉及知识点包括全等三角形的判定，全等三角形的
性质及直角三角形俩个锐角间关系，互余角的运用，
线段间的关系。

（3）方法背景
学会从题目出发，找出已知条件和隐含条件，找到
图形中现有全等的三角形，利用线段间的关系得出
结论。

（4）思想背景
“有点到面”数学发散思想，以及会把已知转化归
纳的思想。

2学情背景
八年级的学生已经能对图形有一定的了解，对几何的证
明推理过程初步掌握。

此前已学过《相交线平行线》《三角形》《三角形全等》，通过以上学习能够知道利用全等证明线段的等量关系。

也会使用全等的判定和性质。

3题目的重难点
重点
引导学生找到隐含的角的关系，探寻到三角形全等，证明线段间等量。

求出结论。

难点
解决线段间的问题要借助于三角形的全等来完成。

4教材分析
二解题过程
热身练习
1已知直角三角形ABC中，∠ACB=90，∠ BAC=30，求∠ ABC=（）
1让学生齐读试题，完成下列问题
（1）找出题中已知条件,(分类型)
∠ACB=90°BE⊥CE，AD⊥CE；AC=BC；AD=2.5cm，DE=1.7cm
（2）三角形全等的判定方法有哪些
SSS, SAS, ASA, AAS, HL
（3）要求的线段长与那些线段有关
CE,DE,AD
2 题目求解
图中有全等的三角形吗?你用哪条判定定理证明，条件够吗？
△ACD和△CBE
重点是∠BCE=∠CAD怎么证明
互余的使用
3 小结反顾
通过已知条件引导学生挖掘隐含条件，总结线段问题的解决途径。

进一步了深化了解三角形角之间的关系，知道全等三角形在解题中的魅力。

预热练习
已知：如图，EA⊥AC于A，DC⊥AC于C，B是AC上一点，AB=CD，AE=BC。

求证：BE ⊥BD 。

三拓展变式
变式1改成求证关系
如图1，已知△ABC 中，∠ BAC=90°，AB=AC ，AE 是过A 的一条直线，且B 、
C 在AE 的异侧，
BD ⊥
AE
于
D ，C
E ⊥AE 于E。

求证：
（1）BD=DE+CE ；
（2）若直线AE 绕点A 到图2位置时（BD <CE ），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何，请证明；
（3）若直线AE 绕点A 旋转到图3时（BD ＞CE ），其余条件不变，BD 与DE 、CE 的关系怎样？请直接写出结果，不须证明。

归纳（1）（2）（3），请用简洁的语言表述BD 、DE 、CE 的关系。

（1）
（2）
（3）BD=DE-CE
变式二条件结论转化
20．（10分）（2015•菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状
并证明；
（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数
是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质．
分析：（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状；
（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°．
解答：解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：
∵AF⊥AD，∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠DBC，
在△FAD与△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴FD=DC，
∴△CDF是等腰三角形，
∵△FAD≌△DBC，
∴∠FDA=∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB=90°，
∴∠BDC+∠FDA=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形；
（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图，∵AF⊥AD，∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠DBC，
在△FAD与△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴FD=DC，
∴△CDF是等腰三角形，
∵△FAD≌△DBC，
∴∠FDA=∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB=90°，
∴∠BDC+∠FDA=90°，
∴△CDF 是等腰直角三角形， ∴∠FCD=45°，
∵AF ∥CE ，且AF=CE ， ∴四边形AFCE 是平行四边形， ∴AE ∥CF ，
∴∠ADP=∠FCD=45°．
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．
变式三 改成普通直角三角形，证角平分线
如图所示，，是中点，平分，判断是否平分，说明理由．
AM 平分∠DAB 。

理由：如答图所示， 作MN ⊥AD 于点N ， ∵DM 平分∠CDA ，
MC ⊥DC 于点C ，MN ⊥AD 于点N ， ∴
MC=MN
︒=∠=∠90C B P BC DP ADC ∠AP DAB ∠
又∵M 是BC 的中点， ∴CM=MB ， ∴MN=BM ， ∴AM 平分∠DAB 。

变式四．已知：如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，P ，Q 分别是边BC ，CD 上的点．
若AP PQ ，BP =2，求CQ 的长；
∵AP ⊥PQ
∴∠APB+∠CPQ=180°-90°=90° ∵ABCD 是矩形 ∴∠B=∠C=90°
∴∠APB+∠PAB=90° ∠CPQ+∠QPC=90° ∴∠BAP=∠CPQ ∴△APB ∽△PQC ∴AB 比PC=PC 比CQ ∵AB=4,BC=8,PB=2 ∴PC=8-2=6 即4比6=2比CQ ∴CQ=3
四总结分析
（一） 教学方法分析
本题出现在教材综合运用中，重点是已知条件中隐含条件的挖掘，所以教学中，教师要以学生为主体，注意启发引导教学，重点是让学生通过合作交流发现解决问题的方法。

通过拓展变式，
让学生知道综合题的发源地是基础题，思路相同，方法归一。

使学生见到此类问题，不畏不怕，有兴趣积极解决。

（二） 教学反思
对于本题还可以拓展成这样
变式五 已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，点D 是BC 边上的一个
动点(不与B ，C 点重合)，∠ADE ＝45°．
(1)求证：△ABD ∽△DCE ；
(2)设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； (3)当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．
(1)提示：除∠B ＝∠C 外，证∠ADB ＝∠DEC ． (2)提示：由已知及△ABD ∽△DCE 可得.22x x CE -=
从而y ＝AC －CE ＝x 2－
.12+x (其中20<
<x )．
(3)当∠ADE 为顶角时：.22-=AE 提示：当△ADE 是等腰三角形时， △ABD ≌△DCE ．可得.12-=x 当∠ADE 为底角时：⋅=
2
1AE 最后，对于教材的练习一定要细致讲解，所有试题都是基于教材，解决方式方法类同，教学中可以适当加入各种变式模型，让学生懂得此为一类，最终提高学生解题能力。