【新结构】2023-2024学年广东省揭阳市高一下学期教学质量测试数学试卷+答案解析

【新结构】2023-2024学年广东省揭阳市高一下学期教学质量测试数学
试卷❖
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，则z的虚部为()
A. B. C.7i D.7
2.已知由小到大排列的4个数据1，3，4，a的极差是它们中位数的2倍，则()
A.5
B.6
C.7
D.8
3.设，则“”是“”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.在平行四边形ABCD中，点E满足，则()
A. B. C. D.
5.已知函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是()
A. B. C. D.
6.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为()
A.24
B.
C.
D.
7.已知，，则()
A. B. C. D.
8.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，的平分线交AC
于点D，且，则的最小值是()
A.4
B.6
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知向量，，则()
A. B.
C.在上的投影向量的模为
D.与的夹角为钝角
10.已知函数，则下列说法正确的是()
A.的最小正周期为
B.的图象关于点成中心对称
C.在区间上单调递增
D.若的图象关于直线对称，则
11.已知函数的定义域为R，且，若，则()
A. B.
C.有最大值
D.函数是奇函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知集合，，则的所有元素之和为__________.
13.若函数的值域为，则实数a的取值范围为__________.
14.一个三棱锥形木料，其中底面是，的等腰直角三角形，底
面ABC，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为__________
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.本小题13分
记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
求
若，求
16.本小题15分如图，在四棱锥
中，底面
ABCD 为平行四边形，
为等边三角形，平面
平面PCD ，
，
设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，证明：平面
求直线AD 与平面PAC 所成角的正切值.
17.本小题15分
某校举办“奋进新征程，建功新时代”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记
录他们的分数，将数据分成4组：
，并整理得到如下频率分布直方图：
用分层随机抽样的方法从这两个区间共抽取5名学生，则每个区间分别应抽取多少人?
在
的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生
成绩在区间
的概率;
现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良
好的最低分数线精确到
18.本小题17分
已知
是定义域上的奇函数，且
求的解析式;
判断并用定义证明在区间上的单调性;
设函数，若对任意的，，，求实数t
的最小值.
19.本小题17分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的，该问题是“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点;当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
求
设点P为的费马点，若，求的最小值;
设点P为的费马点，，求实数t的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的四则运算，以及复数的基本概念，属于基础题.利用复数的乘法运算法则，将z化简，即可得到答案.
【解答】
解：，其虚部为
故选B
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查样本的数字特征，属于基础题.
求出极差以及中位数，根据题意可得，求解即可.
【解答】
解：由题意，得极差为，中位数为，
则，解得
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了充要条件的判定，属于基础题．
利用特殊角三角函数的值，充要条件的定义判定即可．
【解答】
解：①当时，则，充分性成立，
②当时，则，，必要性不成立，
是的充分不必要条件，
故选
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查平面向量的运算，属于基础题.
利用向量的加减法以及数乘运算转化求解.
【解答】
解：，故选
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用函数的单调性解决参数问题，属于基础题.
根据二次函数的对称性和单调性可得答案.
【解答】
解：函数的图象的对称轴为，图象开口向上，
因为函数在区间上单调递减，
所以，解得，
所以m的取值范围为
故选
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了正六棱台的体积的计算，属于基础题.
首先由祖暅原理知该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，从而问题转化为求正六棱台体积，直接由公式求解即可.
【解答】
解：由祖暅原理知，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，
故
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了指数函数性质以及函数的单调性，是中档题.
构造函数，，研究函数，的图象与直线交点，可得结论.
【解答】
解：构造函数，，
则，，
易知函数，为增函数，
函数，的图象与直线，如下图所示：
由图可知，，
又，，所以，
综上，
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查正弦定理，基本不等式的应用，属于中档题.
由正弦定理求得，根据三角形面积公式找到a、c的关系，结合基本不等式即可求得最小值.
【解答】
解：，由正弦定理可得，
又，，
根据题意，，
因为的平分线交
AC于点D，且，
所以，，
而，所以，
化简得，即，
则，
当且仅当时取等号，即最小值为，
故选
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查平面向量的模、垂直、夹角和投影向量，属于较易题.
对选项逐个判断即可.
【解答】
解：对于A、，故A正确；
对于B、，则，故B错误；
对于C、在上的投影向量的模为
，故C正确;
对于D、因为，故与的夹角一定不是钝角，故D错误.
故选
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了三角恒等变换和三角函数性质，是中档题.
根据正弦型函数的性质，结合代入法、整体法逐一判断各项正误.
【解答】
解：
，
最小正周期，故A错误;
由，
得点是图象的对称中心，故B正确;
由，则，
显然在区间上单调递增，故C正确;
由题意得，，则，，
故，故D正确.
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查抽象函数，考查函数的奇偶性，属于中档题.
对于A和B，利用赋值法，即可判断；对于D，令，则，进而根
据奇函数的性质，即可判断
D；得到符合的解析式即可判断
【解答】
解：对于A，令，则，
则，
令，，则，解得，则令，，
，A正确；
对于B，因为，，，
令，
则，
令，，
则，
以此推广得，
故，故B正确；
对于C，当符合题意，此时无最大值，C错误.
对于D，令，则，
则，
则，
又函数的定义域为R，则的定义域为R，
所以是奇函数，故D正确；
故选
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查并集的定义，属于基础题．
结合并集的定义，即可求解．
【解答】
解：集合，，
故，
所以的所有元素之和为
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数的值域问题，属于中档题.
借助分段函数的性质，求出时值域，可得时，有恒成立，解出即可得.【解答】
解：当时，，此时，
故当时，有恒成立，
即在时恒成立，即，即
即实数a的取值范围为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三棱锥外接球半径的求法，球体表面积，属中档题；
由已知易知，从而即为二面角的平面角，进而得
PA，
又PA、AB、AC两两垂直，所以三棱锥的外接球即为以PA、AB、AC为
邻边的长方体的外接球，可得外接球半径，即可得解.
【解答】
解：如图，取BC中点D，连接PD、AD，
因为底面ABC ，AB ，AC ，AD 均在底面内，
所以PA 与AB ，AC ，AD 均垂直，
所以，
，
因为，所以，所以
，
，
所以
即为二面角
的平面角，所以，
由在直角三角形
PAD 中，，因为
，所以
，
所以在直角三角形ABC 中，，
所以，因为PA 、AB 、AC 两两垂直，
所以三棱锥
的外接球即为以PA 、AB 、AC 为邻边的长方体的外接球，
所以外接球的半径为，
所以三棱锥的外接球表面积为：
故答案为
15.【答案】解：由已知得
，
由余弦定理，
则
又
，则
，由正弦定理有
，得，
故
因为
，
所以
【解析】本题考查了利用正余弦定理解三角形以及两角和与差的正弦公式，是中档题.
由余弦定理得，可得C的大小；
先得出，再由两角和与差的正弦公式可得结果.
16.【答案】证明：连接BD，易知，，
又由，故，
又因为平面PAD，平面PAD，
所以平面
证明：取棱PC的中点N，连接DN，
依题意，得，
又因为平面平面PCD，平面平面，
平面PCD
所以平面PAC，
连接AN，
可知为直线
AD与平面PAC所成的角.
因为为等边三角形，且N为PC的中点，
所以，又，在中，因为，所以，
，
所以直线AD与平面PAC所成角的正切值为
【解析】本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直，直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题.
由题意连接
BD，得出得，根据线面平行判定证出平面
取棱PC中点N，连接DN，根据题意及线面垂直的判定得出平面PAC，连接AN，可知为直线AD与平面PAC所成的角，故可在中求得直线AD与平面PAC所成角的正切值.
17.【答案】解：依题意，设区间中应抽取x人，区间中应抽取y人，
得成绩在区间中的学生人数为
成绩在区间中的学生人数为，
所以，解得，，
所以区间中应抽取3人，区间中应抽取2人.
由不妨记区间中3人为a，b，c，区间中2人为m，n，
则从中抽取2名学生注意分先后的基本事件为ab，ac，am，an，ba，bc，bm，bn，ca，cb，cm，cn，ma，mb，mc，mn，na，nb，nc，nm，共20个，
其中第二个交流分享的学生成绩在区间记为事件的基本事件为ab，ac，ba，bc，ca，cb，ma，mb，mc，na，nb，nc，共12个，
故，即第二个交流分享的学生成绩在区间的概率为
由频率分布直方图易得，成绩在区间的频率为，
成绩在区间的频率为，
所以成绩良好的最低分数线落在区间内，不妨记为，
故，
解得，所以估计成绩良好的最低分数线为
【解析】本题考查频率分布直方图，考查运算求解能力，属于中档题．
根据评率分布直方图可求得两个区间的人数，再根据分层抽样方式即可求得答案；
由古典概型的概率公式计算即可；
设良好的最低分数线为，根据题意建立关于的方程，解出即可．
18.【答案】解：是奇函数，，
，解得，
；
函数在上单调递减，在上单调递增，
证明如下：取，且，
，
，且，
，，即，
，即，
函数在上的单调递减，
当，，且时，，
，，所以，所以，即，所以在区间
上单调递增.
由题意知，令，则
由可知函数在区间上单调递减，所以
因为函数图象的对称轴方程为，所以函数在区间上单调递增.
当时，取得最小值，当时，取得最大值，，
所以，
又因为对任意的，，，
所以，即，解得，
所以t的最小值是
【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算求解能力，属于中档题．
由，，可得a，b的方程，解方程可得所求，
函数在上单调递减，在上单调递增，由单调性的定义即可证明；
求得的解析式，令，，结合的结论和二次函数的单调性，求得
的最值，可得t的不等式，解不等式可得所求范围．
19.【答案】解：因为，所以因为，所以，
即
由知，所以的三个内角都小于，
则由费马点定义可知，如图，设，，，
由得，
整理得，
则，
因为，
所以因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为因为点P为的费马点，所以
设，，，，，，则由得
由余弦定理得，在中：，
在中：，
在中：，
故由得，
即，而，，故，当且仅当，结合，
即时，等号成立.又，
即，解得或舍去，故实数t的取值范围是
【解析】本题考查正余弦定理的应用，基本不等式求最值，属于较难题.
由特殊角三角函数值直接可得；
由知，所以的三个内角都小于，则，根据已知结合基本不等式可得所求；
因为点P为的费马点，所以，设，，，
由余弦定理得，又，由基本不等式得，进而得实数t的取值范围.。