06【数学】2010年高考数学填空试题分类汇编——立体几何

2010 年高考数学试题分类汇编——立体几何
（2010上海文数） 6.已知四棱椎P ABCD 的底面是边长为 6 的正方形，侧棱PA底面ABCD ，且PA8，则该四棱椎的体积是96。

分析：观察棱锥体积公式V 1
36896 3
（2010湖南文数）13.图2 中的三个直角三角形是一个体积为20cm2的几何体的三视图，则h=4cm
（2010 浙江理数）（12）若某几何体的三视图（单位：cm）如下图，则此几何体的体积是___________ cm3 .
分析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所
给公式计算得体积为 144，此题主要观察了对三视图所表达示的空
间几何体的辨别以及几何体体积的计算，属简单题
（2010 辽宁文数）（16）如图，格纸的小正方形的边长是1，在
其上用粗线画
出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的
长为.
P 分析：填 2 3 画出直观图：图中四棱锥P ABCD 即是，
因此最长的一条棱的长为PB 23.
A D
B C
（ 2010 辽宁理数）（15）如图，格纸的小正方形的边长是1，在
其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一
条棱的长为 ______.
【答案】 2 3
【命题立意】此题观察了三视图视角下多面体棱长的最
值问题，观察了同学们的识图能力以及由三视图复原物体的能
力。

【分析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为 2 的
正方形且有一条长为 2 的侧棱垂直于底面的四棱锥，因此最长棱
长为22222223
（2010 江西理数） 16. 如图，在三棱锥O ABC 中，三条棱 OA ，OB ，
OC 两两垂直，且 OA> OB > OC ,分别经过三条棱OA， OB ， OC 作
一个截面均分三棱锥的体积，截面面积挨次为S1，S2，S3，则 S1，S2，
S3的大小关系为。

【答案】S3 S2 S1
【分析】观察立体图形的空间感和数学知识的运用能力，经过补形，借滋长方体考证结论，特别化，令边长为1，2，3 得S3S2S1。

（ 2010 北京文数）（ 14）如图搁置的边长为 1 的正方形 PABC沿 x 轴转动。

设极点 p（ x， y）的纵坐标与横坐标的函数关系是
y f (x) ，则 f (x) 的最小正周期为；
y f (x) 在其两个相邻零点间的图像与x 轴
所围地区的面积为。

说明：“正方形 PABC沿 x 轴转动” 包含沿 x 轴正方向和
沿 x 轴负方向转动。

沿 x 轴正方向转动是指以极点 A 为
中心顺时针旋转，当极点 B 落在 x 轴上时，再以极点 B 为中心顺时针旋转，这样持续，
近似地，正方形PABC能够沿着x 轴负方向转动。

答案：41
（ 2010 北京理数）（ 14）如图搁置的边长为 1 的正方形PABC
沿 x 轴转动。

设极点 p（x， y）的轨迹方程是y f (x) ，则 f (x) 的最小
正周期为； y f ( x) 在其两个相邻零点间的图
像与 x 轴所围地区的面积为
说明：“正方形PABC沿轴转动”包含沿轴正方向和沿轴负方向转动。

沿轴正方向
转动指的是先以极点 A 为中心顺时针旋转，当极点 B 落在轴上时，再以极点 B 为中心顺
时针旋转，这样持续。

近似地，正方形PABC能够沿轴负方向转动。

答案： 41
（ 2010 四川理数）（15）如图，二面角l的大小是60°，线段AB. B l ，
A A
B 与 l 所成的角为30° . 则AB与平面所成的角的正弦值是.
分析：过点A 作平面β的垂线，垂足为 C，在β内过 C 作 l 的垂线 . 垂足为 D 连接AD ，有三垂线定理可知 AD ⊥ l，
B 故∠ AD
C 为二面角l的平面角，为60°
又由已知，∠ ABD＝ 30°A
连接 CB ，则∠ ABC 为AB与平面所成的角C
B D
设 AD ＝ 2，则 AC＝ 3 ，CD＝1
AB＝AD＝ 4
sin300
∴ sin∠ ABC＝
AC3
答案：
AB4
3
4
（2010 天津文数）（ 12）一个几何体的三视图如下图，
则这个几何体的体积为。

【答案】 3
【分析】此题主要观察三视图的基础知识，和主题体积的
计算，属于简单题。

由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图可知该几何体的高为 1，联合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，因此该几何题的体积为
1
（1+2） 2 1=3
2
【温馨提示】正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图能够确立几何体底面的形状，本题也能够将几何体看作是底面是长为3，宽为 2，高为 1 的长方体的一半。

（2010 天津理数）（12）一个几何体的三视图如下图，
则这个几何体的体积为
【答案】10 3
【分析】此题主要观察三视图的观点与柱体、椎体体
积的计算，属于简单题。

由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为 2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为 1 的正四棱锥构成的组合体，由于正巳灵珠的体积为2，正四棱锥
的体积为1
4 14，因此该几何体的体积V=2+4=10 3333
【温馨提示】利用俯视图能够看出几何体底面的形状，联合正视图与侧视图即可获得几何体
的形状，求锥体体积时不要扔掉1
哦。

3
（2010 四川文数）（15）如图，二面角l的大小是60°，线段AB. B l ，
A A
B 与 l 所成的角为30° . 则AB与平面所成的角的正弦值是.
分析：过点A 作平面β的垂线，垂足为 C，在β内过 C 作 l 的垂线 . 垂足为 D 连接AD ，有三垂线定理可知 AD ⊥ l，
B 故∠ AD
C 为二面角l的平面角，为60°
又由已知，∠ABD＝ 30°
A 连接 C
B ，则∠ AB
C 为AB与平面所成的角C
B D
设 AD＝2，则 AC＝3，CD＝1
AD
AB＝＝4
sin300
∴ sin∠ ABC＝
AC3
答案：
AB4
3
4
（2010 湖北文数）14.圆柱形容器内盛有高度为3cm的水，若放入三个同样的珠（球的半么与圆柱的底面半径同样）后，水恰巧吞没最上边的球（如下图），
则球的半径是 ____cm.
【答案】 4
【分析】设球半径为r ，则由 3V球V水V柱可得34
r 3r 28r 26r , 3
解得 r=4.
（2010湖南理数） 13．图 3 中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则 h cm ．
（2010 湖北理数） 13.圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水，若放入三个同样
的球（球的半径与圆柱的底面半径同样）后，水恰巧吞没最上边的球（如
图所示），则球的半径是cm。

13.【答案】 4
【分析】设球半径为r ，则由 3V球V水 V柱可得34322
,解得 r=4. 3
r r 8r 6r
（2010 福建理数）
12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图, 则其表面积等于．
【答案】 6+23
【分析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为 1 的正三棱柱，因此底面积为3
4 2 3 ，侧面积为3 2 1 6，因此其表面积为 6+2 3 。

2
4
【命题企图】此题观察立体几何中的三视图，观察同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。