高三数学上学期第一次检测考试试题理

甘肃省天水市秦安县第二中学 高三上学期第一次检测考试
数 学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若集合{2,1,0,1,2}A =--，则集合{|1,}y y x x A =+∈=（ ）
A.{1,2,3}
B.{0,1,2}
C.{0,1,2,3}
D.{1,0,1,2,3}-
2．函数()2()3log 6f x x x =++-的定义域是（ ）
A ．{}|6x x >
B ．{}|36x x -<<
C ．{}|3x x >-
D ．{}|36x x -<≤
3.“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．下列有关命题的说法错误的是（ ）
A ．命题“若210x -= ， 则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠ 则210x -≠”
B ．“1x = ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件
C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题
D ．对于命题R :∈∃x p 使得210x x ++<，则R :∈∀⌝x p 均有2
10x x ++ 5．已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，以下命题正确的是（ ）
① 若m ∥n ，,m n αβ⊂⊂，则α∥β；
② 若,m n αβ⊂⊂，α∥l m β⊥，，则l n ⊥；
③ 若,,m n αβα⊥⊥∥β，则m ∥n ；
④ 若αβ⊥，m ∥α，n ∥β，则m n ⊥；
A ．②③
B ．③④
C ．②④
D ．③
6．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，
则可以输出的函数是（ ）
A ．()cos f x x =
B ．1()f x x
= C ．()lg f x x = D ．()2
x x e e f x --= 7. 命题：“若22
0a b +=（a , b ∈R ），则a=b=0”的逆否命题是 （ ）
A ．若a ≠b ≠0（ a , b ∈R ），则22a b +≠0 B.若a=b ≠0（a , b ∈R ），则22
a b +≠0
C ．若a ≠0且b ≠0（a,b ∈R ），则22a b +≠0 D.若a ≠0或b ≠0（a,b ∈R ），则22a b +≠0 8. 已知函数2
)(x
x e e x f --=，则下列判断中正确的是( ) A ．奇函数，在R 上为增函数 B ．偶函数，在R 上为增函数
C ．奇函数，在R 上为减函数
D ．偶函数，在R 上为减函数
9.若函数y =x 2-3x -4的定义域为［0,m ］，值域为［-
425,-4］，则m 的取值范围是( ) A.(0,]4 B.［
23,4］ C.［23,3］ D.［23,+∞) 10. 若存在正数x 使2x (x －a)<1成立，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，＋∞)
B ．(－2，＋∞)
C ．(0，＋∞)
D ．(－1，＋∞)
11. ．为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数x y )31(=的图象( )
A ．向左平移3个单位长度
B ．向右平移3个单位长度
C ．向左平移1个单位长度
D ．向右平移1个单位长度
12.对于函数f (x )定义域中任意的1x ，2x (1x ≠2x )，有如下结论：
①f (1x ＋2x )＝f (1x )·f (2x ) ②f (1x ·2x )＝f (1x )＋f (2x )
③1212()()0f x f x x x ->- ④1212()()()22
x x f x f x f ++< 当f (x )＝lg x 时，上述结论中正确结论的序号是 ( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②③④
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
5分,共2013．已知3a =，4b =，与的夹角为60︒，则a b += ．
14．若,x y R ∈，且1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最小值等于 ．
15．四棱锥ABCD P -的三视图如图所示,四棱锥ABCD P -的
五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，
直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球表面积
为 ．
16．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对于R x ∈∀恒有
)1()1(-=+x f x f ，已知当][1,0∈x 时，,)2
1()(1x x f -=则 （1）)(x f 的周期是2；
（2）)(x f 在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；
（3）)(x f 的最大值是1，最小值是0；
（4）当)4,3(∈x 时，3)2
1()(-=x x f 其中正确的命题的序号是 ．
三、解答题(本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．)
17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，且B a A b cos 3sin =
（1）求角B 的大小；
（2）若A C b sin 2sin ,3==，求,a c 的值．
18．(本小题满分12分) 为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字
听写大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图
中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）．
（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取4名学生参
加“中国汉字听写大会”，设随机变量X 表示所抽取的4名学生中得分在[80,90)内
的学生人数，求随机变量X 的分布列及数学期望．
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，CD AB //，
222===CD AD AB ，E 是PB 上的点.
（1）求证：平面⊥EAC 平面PBC ；
（2是PB 的中点，且二面角E AC P --的余弦值为 36，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值． 20．（本小题满分12分）已知椭圆«Skip Record If...»的中心在
坐标原点«Skip Record If...»«Skip Record If...»，左、右焦点分别为12F F 、，P 为椭圆«Skip Record If...»上的动点，12PF F ∆的面积最大值为3，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3450x y -+=相切．
（1）求椭圆«Skip Record If...»的方程；
（2）若直线l 过定点(1,0)且与椭圆«Skip Record If...»交于«Skip Record If...»两点，
点«Skip Record If...»是椭圆«Skip Record If...»的右顶点，直线«Skip Record
P A B
C D E 成绩（分）频率
组距
y
0.010
0.040
0.016
1009080706050O 5 1 2 3 4 5 6 7 8 6 7 8 9 3 4
If...»与直线«Skip Record If...»分别与«Skip Record If...»轴交于«Skip Record
If...»两点，试问以线段«Skip Record If...»为直径的圆是否过«Skip Record
If...»轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
21．（本小题满分12分）已知函数1()ln ,()(R)a f x x a x g x a x +=-=-
∈． （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；
（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；
（Ⅲ）若a 是正实数且存在0[1,]x e ∈，使得00()()f x g x <成立，求a 的取值范围． 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图所示,已知圆O 外有一点P ,作圆O 的切线PM ,M 为切点,
过PM 的中点N ,作割线NAB ,交圆于A 、B 两点,连接PA 并延
长,交圆O 于点C ,连接PB 交圆O 于点D ,若BC MC =.
（1）求证:△APM ∽△ABP ;
（2）求证:四边形PMCD 是平行四边形.
23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是t t y t x (sin cos 1⎩⎨
⎧=+=αα是参数)． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且14=AB ，求直线的倾斜角α的值．
24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
设()f x =|1||1|x x -++.
（1）求()2f x x ≤+的解集;
（2）若不等式|1||21|()||
a a f x a +--≥
对任意不为零的实数a 恒成立，求实数x 的取值范围.
数学（理科）答案 一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 6--10DDACD 11--12DB 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分） 13.【答案】37【解析】由题意可得1cos60436,2
a b a b ⋅=⋅⋅︒=⨯⨯= ()222
21612937a b a b a a b b ∴+=+=+⋅+=++=．14【答案】min 3z =【解析】约束条件对应的平面区域如上图所示，当直线2z x y =+过点()1,1时取得
最小值3．
15.【答案】12π【解析】
该几何体的直观图如下图所示，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为边长为a 的正方形，且PA a =，所以PC 为该几何体外接球的
直径，即323,a R a R ==，PC 的中点O 球心，取EF 的中点H ，则OH 为圆心到直线EF 的距离，2a OH =，所以2223222a a ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，解之得24a =，所以()()22223312R a a ===，所以外接球的表面积为2412S R ππ==
16【答案】（1）（2）（4）【解析】由R x ∈∀恒有)1()1(-=+x f x f ，得)(x f 的周期是2；（1）
正确因为当
][1,0∈x 时，,)21()(1x x f -=为单调递增函数，所以当[1,0]x ∈-时，()f x 为单调递减函数，因此)(x f 在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（2）正确)(x f 的最大值是111()1
2-=，
最小值是1011()22-=；（3）错误当)4,3(∈x 时，
1(4)311()(4)(4)()().22x x f x f x f x ---=-=-== 17、试题解析：（1）因为.cos 3sin B a A b =由正弦定理B
b A a sin sin =得：3tan ,cos 3sin ==B B B
因为,20π<<B 所以3π=B （2）因为,sin 2sin A C =由正弦定理知2c a =①由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=得ac c a -+=229②由①②得.32,3==c a 解：（1）由题意可知，样
本容量8500.01610n ==⨯，20.0045010y ==⨯，0.1000.0040.0100.0160.0400.030x =----=.（2）由
题意可知，分数在[80,90)内的学生有5人，分数在[90,100]
内的学生有2人，共7人.抽取的4名学生中得分在[80,90)
的人数X 的可能取值为2，3， 4，则
225247102(2)357C C P X C ====，315247204(3)357
C C P X C ====，40524751(4)357C C P X C ====. X
2 3 4 X 2 3 4 P 27 47 17 X 2 3 4 P 27 47 17 X
2 3 4 P
27 47 17
P 27 47
17
所以X 的分布列为所以2347777EX =⨯+⨯+⨯=
19、解：（1）证明：
⊥PC 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，PC AC ⊥∴，2=AB ，1==CD AD ，2==∴BC AC 222AB BC AC =+∴，
BC AC ⊥∴又C PC BC = ，⊥∴AC 平面PBC ，
∵⊂AC 平面EAC ，∴平面⊥EAC 平面PBC （2）以C 为原点，建立
空间直角坐标系如图所示，则C （0，0，0），A （1，1，0），B （1，
－1，0）设P （0，0，a ）（0>a ），则E （21，21-，2
a ），)0,1,1(=CA ，),0,0(a CP =，)2
,21,21(a CE -=，取m =（1，－1，0）则0=⋅=⋅CA m CP m ，∴m 为面PAC 的法向量设),,(z y x n =为面EAC 的法向量，则
0=⋅=⋅CE n CA n ，即⎩⎨⎧=+-=+0,0az y x y x ，取a x =，a y -=，2-=z ，则)2,,(--=a a n ，依题意，3
62,cos 2=+=⋅=><a a
n m n
m n m ，则2=a 于是)2,2,2(--=n 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则3
2,cos sin =⋅=><=n PA n PA n PA θ，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值
为3
2 （或设CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴，请酌情给分） 20、解：（1）由题意得12221232134PF F S c b b ∆=⋅⋅=
=+⎧⎪⎨⎪⎩Record If...»，解得«Skip Record If...»，«Ski p Record If...»．所以椭圆«Skip Record If...»的方程是«Skip Record If...»．
（2）以线段«Skip Record If...»为直径的圆过«Skip Record If...»轴上的定点.当直线l 斜率不存在时,以线段«Skip Record If...»为直径的圆的方程为：223x y +=，恒过定点(3,0)±当直线l 斜率存在时, 设(1)(0)y k x k =-≠ 由«Skip Record If...»得«Skip Record If...»．设«Skip Record If...»，则有«Skip Record If...»，«S kip Record If...»．……7分又因为点«Skip Record If...»是椭圆«Skip Record If...»的右顶点，所以点«Skip Record If...»．由题意可知直线«Skip Record If...»的方程为«Skip Record If...»，故点«Skip Record If...»．直线«Skip Record If...»的方程为«Skip Record If...»，故点«Skip Record If...»．若以线段«Skip Record If...»为直径的圆过«Skip Record If...»轴X 2 3 4 P 27 47 17 P A B C D E x
y z
上的定点«Skip Record If...»，则等价于«Skip Record If...»恒成立． 又因为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»恒成立．又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++ If...»，212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++222
22448(1)1414k k k k k -=-+++ Record If...»．解得«Skip Record If...»．故以线段«Skip Record If...»为直径的圆过«Skip Record If...»轴上的定点«Skip Record If...»．（或设1x my =+请酌情给分） 21.试题解析：（Ⅰ）()ln f x x a x =-的定义域为(0,)+∞．当1a =时，1()x f x x -'=．由()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减；当1x >时，()0,()
f x f x '>单调递增；所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(1)1ln11f =-=；（Ⅱ）
1()()()ln a h x f x g x x a x x +=-=-+，其定义域为(0,)+∞．又222(1)(1)[(1)]()x ax a x x a h x x x --++-+'==．当1a >-时可得10a +>，在(0,1)x a ∈+上()0h x '<，在(1,)x a ∈++∞上()0h x '>，所以
()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞．当1a ≤-时可得10a +≤，在(0,)x ∈+∞上()0h x '≥，所以()h x 在(0,)+∞是递增函数。

…… 7分
（Ⅲ）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()0h x <．即()h x 在[1,]e 上的最小值小于零． ……8分①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（II ）可知()h x 在[1,]e 上单调递减．故()h x [1,]e 的最小值为()h e ，由
1()0a h e e a e +=+-<，可得211e a e +>-．因2111e e e +>--所以211
e a e +>-；②当11a e <+<，即01a e <<-时，由（II ）可知()h x (1,1)+a (1,)a e +上单调递增．
()h x 在[1,]e 上最小值为(1)2ln(1)h a +a a a +=-+．因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1)a a a <+<．
2ln(1)2+a a a ∴-+>，即(1)2h a +>不满足题意，舍去．综上所述:a ∈21(,)1e e ++∞- 12分
22. 证明:(1)∵PM 是圆O 的切线, NAB 是圆O 的割线, N 是PM 的中点,∴
NB NA PN MN ⋅==22, ∴PN NA BN PN =,又∵BNP PNA ∠=∠, ∴△PNA ∽△BNP ,∴PBN APN ∠=∠, 即PBA APM ∠=∠.∵BC MC =, ∴BAC MAC ∠=∠, ∴PAB MAP ∠=∠,∴△APM ∽△ABP . …5分 (2)∵PBN ACD ∠=∠,∴APN PBN ACD ∠=∠=∠,即CPM PCD ∠=∠,∴CD PM //, ∵△APM ∽△ABP ,∴BPA PMA ∠=∠,∵PM 是圆O 的切线,∴MCP PMA ∠=∠,∴BPA PMA ∠=∠MCP ∠=,即MCP DPC ∠=∠,∴PD MC //, ∴四边形PMCD 是平行四边形. 10分
23.解：（1）由θρcos 4=得θρρcos 42=，于是有x y x 422=+，化简可得4)2(22=+-y x
3分
（2）将⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x 代入圆的方程得4)sin ()1cos 2
2=+-ααt t （，化简得03cos 22=--αt t .
设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则⎩⎨⎧-==+3cos 22121t t t t α, ……7分 ()1412cos 4422122121=+=-+=-=∴αt t t t t t AB ,∴2cos 42=α,2
2cos ±=α,4πα=或43π.…10分
24.解： (1)由()2f x x ≤+得：
201112x x x x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪---≤+⎩或2011112x x x x x +≥⎧⎪-<<⎨⎪---≤+⎩或201112x x x x x +≥⎧⎪≥⎨⎪-++≤+⎩………3分解得02x ≤≤ 所以()2f x x ≤+的解集为{|02}x x ≤≤ ………5分 （2）|1||21|111112123||a a a a a a a +--=+--≤++-=当且仅当11120a a ⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，取等号.…8分
由不等式|1||21|()||
a a f x a +--≥对任意实数0a ≠恒成立，可得|1||1|3x x -++≥ 解得：3
2x ≤-或32x ≥. 故实数x 的取值范围是33
(,][,)
22-∞-⋃+∞ ……10分。