【精品】高中数学 6.4不等式的解法举例(备课资料) 大纲人教版必修

●备课资料 一、参考例题
［例1］解下列关于x 的不等式:(a ∈R )
(1)2x 2
+ax +2>0.
(2)x 2-(a +a 2)x +a 3
>0.
分析:根据一元二次不等式的结构特点,先由判别式确定不等式对应方程的根的情况,再结合图象或公式表得出不等式的解集.
解:(1)∵Δ=a 2
-16
∴当Δ<0,即-4<a <4时,原不等式解集为R .
当Δ=0,即a =±4时,原不等式解集为:{x |x ≠-4
a }. 当Δ>0,即a >4或a <-4时,
方程2x 2
+ax +2=0的两根为:
x 1=
41
(-a -162-a ) x 2=4
1
(-a +162-a )
原不等式的解集为: {x |x <
41(-a -162-a ),或x >4
1
(-a +162-a )}. 故当-4<a <4时,原不等式解集为R . 当a =±4时,原不等式解集为{x |x ≠-4
a
}. 当a >4或a <-4时,原不等式解集为: {x |x <
41(-a -162-a ),或x >4
1
(-a +162-a ). (2)原不等式等价于(x -a )(x -a 2
)>0.
当a <0时,有a <a 2
,原不等式的解集为:
{x |x <a 或x >a 2
}.
当a =0时,原不等式的解集为:{x |x ≠0}
当0<a <1时,有a >a 2
,原不等式的解集为:
{x |x <a 2
或x >a }
当a =1时,原不等式的解集为:{x |x ≠1}
当a >1时,有a <a 2
,原不等式的解集为:
{x |x <a 或x >a 2
}
评述:一元一次不等式和一元二次不等式的解法是解各类不等式的基础,要给予足够的重视.对含字母系数的一元二次不等式,要学会讨论的方法,对一元二次不等式常用的分类方法有:
①按x 2
项的系数a 的符号分类,即a >0,a =0,a <0; ②按判别式Δ的符号分类,即Δ>0,Δ=0,Δ<0;
③按方程ax 2
+bx +c =0的根x 1,x 2的大小来分类,即x 1<x 2,x 1=x 2,x 1>x 2. ［例2］解不等式|x -1|+|x +2|>5.
分析:解含绝对值的不等式的关键是去掉绝对值符号,本题由于含有的绝对值符号较多,故不宜直接用前面例1的办法去解决,转而考虑绝对值的定义.
解:(1)当x >1时,x -1>0,x +2>0,原不等式等价于:(x -1)+(x +2)>5,即x >2,与x >1取公共部分得:x >2.
(2)当-2≤x ≤1时,x -1≤0,x +2≥0,原不等式等价于:(1-x )+(x +2)>5,得3>5,显然不成立.
(3)当x <-2时,x -1<0,x +2<0,原不等式等价于:(1-x )-(x +2)>5,得:x <-3,与x <-2取公共部分得:x <-3.
故原不等式的解集为:{x |x >2,或x <-3}.
评述:当一个不等式中含有较多的绝对值符号时,常用定义来去掉绝对值符号.用定义去绝对值符号,实际上就是进行分类讨论.这时,一定要注意两点:一是分类要“不重不漏”,二是要对所分的类与该类的结果求交集,最后再把所求的各个交集并起来.因此在学习时,一定要注意用集合的思想、观点、方法去理解和解决不等式的有关问题.
［例3］解不等式|2x +1|>3x -2.
分析:解含绝对值的不等式的基本原则是去掉绝对值,转化为不含绝对值的不等式.通常有下面三种解题思路:(1)定义法:利用绝对值的定义,通过分类讨论的方法去掉绝对值符号;(2)公式法:|f (x )|>g(x )⇔f (x )<-g(x )或f (x )>g(x );|f (x )|<g(x ) ⇔-g(x )<f (x )<
g(x );(3)平方法:|f (x )|>a (a >0) ⇔f 2(x )>a 2;|f (x )|<a (a >0) ⇔f 2(x )<a 2
.
解法一:（定义法）
|2x +1|>3x -2或⎩
⎨
⎧->+≥+23120
12x x x
3
21321512132123)12(0
12<⇔-
<<≤-⇔⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<-<⎪⎩⎪⎨⎧
<-≥⇔⎩⎨
⎧->+-<+x x x x x x x x x x 或或 ∴原不等式的解集为{x |x <3}. 解法二:（公式法）
|2x +1|>3x -2⇔2x +1>3x -2或2x +1<-(3x -2)
⇔x <3或x <5
1 ⇔x <3.
∴原不等式的解集为{x |x <3}. 解法三:（平方法）
|2x +1|>3x -2⇔或⎪⎩⎪⎨⎧->+≥-2
2)
23(120
23x x x
3
32332323513
2320
)23()12(3
2R
02322<⇔<<≤⇔<
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<≥⇔<⎪⎩
⎪⎨⎧>--+≥⇔⎩⎨
⎧∈<-x x x x x x x x x x x x 或或或 故原不等式的解集为:{x |x <3}.
评述:解不等式时,要做到小心细致,注重等价,分类讨论,着力转化.本例中的解法二运用了公式,避免了讨论,应予以重视.
二、参考练习题 1.解下列不等式:
(1)x 2
-2|x |-3>0 (2)2-3x <|2x -1|
解:(1)由x 2-2|x |-3>0⇔|x |2
-2|x |-3>0 ⇔(|x |-3)(|x |+1)>0⇔|x |>3 ⇔x >3或x <-3.
故原不等式的解集为{x |x <-3,或x >3}. (2)2-3x <|2x -1|
⇔2x -1>2-3x 或2x -1<-(2-3x )
⇔x >53或x >1⇔x >5
3.
故原不等式的解集为{x |x >
5
3}. 2.解不等式|x 2
-9|≤x +3.
解:|x 2-9|≤x +3⇔-(x +3)≤x 2
-9≤x +3
⎩⎨⎧≤≤-≥-≤⇔⎩⎨⎧≤--≥-+⇔43230
120622x x x x x x x 或
⇔2≤x ≤4或x =-3.
故原不等式的解集是{x |2≤x ≤4,或x =-3}.
3.解不等式|2x +1|+|x -2|>
4.
分析:解含多个绝对值符号不等式的方法之一是:分段讨论,将各段的解集并起来作为最后结果.
解:|2x +1|+|x -2|>4
⎩⎨
⎧>-++>⎪⎩
⎪⎨⎧>--+≤≤-⎪⎩⎪⎨⎧>--+--<⇔421224)2(122
21
4
)2()12(21x x x x x x x x x 或或
⇔x <-1或1<x ≤2或x >2
⇔x <-1,或x >1.
故原不等式组的解集是{x |x <-1或x >1}. 4.解关于x 的不等式: (1)ax -2>3x +b (a ,b ∈R )
(2)ax 2
-(a +1)x +1<0,其中a >0 解:(1)原不等式为:(a -3)x >2+b . 当a -3>0,即a >3时,不等式解集为 {x |x >
3
2-+a b
}. 当a -3=0,即a =3时,若2+b <0,即b <-2时,不等式的解集为R ;若2+b ≥0,即b ≥-2时,不等式无解.
当a -3<0,即a <3时,不等式解集为
{x |x <
3
2-+a b
}. (2)∵a >0
∴原不等式⇔(x -1)(x -
a
1
)<0. 当a >1时,不等式的解集为{x |a
1
<x <1}.
当0<a <1时,不等式的解集为{x |1<x <a
1
}.
当a =1时,不等式的解集为∅.
5.定义在R 上的减函数f (x ),如果不等式组⎩⎨⎧-+>-+>-+)
1()13()
2()1(2
2x kx f kx f k f x kx f 对任何x ∈［0,1］都成立,求k 的取值范围.
解:原不等式组⎩⎨⎧-+<-+<-+⇔2
21132
1x kx kx k x kx 在［0,1］内恒成立 ⎩⎨⎧<-+>++-⇔0
220122kx x k kx x 在x ∈［0,1］内恒成立.
[][][][].2112
1
1
1,0)(1,0)(1,022)(1,01)(212
22
1为所求上的最大值为负在上的最小值为正在上恒负在上恒正在<<-⇔⎪⎩⎪
⎨⎧<->⇔⎩⎨⎧⇔⎪⎩⎪⎨⎧--=++-=⇔k k k x f x f kx x x f k kx x x f
●备课资料
一、参考例题
［例1］解下列不等式:
(1)(-3x +2)(4x +2)2(x -1)3
(x -3)≤0. (2)
2
9)
3(x x x --≤0.
分析:根据题型特点,可用“数轴标根法”求解.
解:(1)∵不等式(-3x +2)(4x +2)2(x -1)3
(x -3)≤0 ∴方程(-3x +2)(4x +2)2
(x -1)3
(x -3)=0的根为32,-2
1
,1,3,这些根把数轴分为5个区间(如图所示
).
故原不等式的解集为: {x |x =-
21或3
2
≤x ≤1或x ≥3}. (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥+≠⇔≤--03
3
09)3(2
x x x x x x 30330)3(≠≥-<⇔⎩
⎨⎧±≠≥+⇔x x x x x x 且或
所以原不等式的解集为{x |x <-3或x ≥0且x ≠3}.
评述:（1）解高次不等式时,如何“画线”是关键环节,因此,要十分重视“画线”的方法.一般地,在“画线”时应注意以下两点:①注意观察f (x )最高次项的系数,若系数为正,则从右上方开始切入,依次穿过各点;否则,从右下方开始切入,如例1中(1)题;②穿点时,遇到根对应的因式的指数为偶数时,则转弯;指数为奇数时,则直穿过轴.如例1中(1)题.
（2）基本型不等式是将原不等式右边化为0,左边进行因式分解,将恒不为零的二次因式约去,同时保持各因式中x 的系数为正号,对于多重根的因式可先将偶次因式约去,单独考虑重根是否为不等式的解,如例1中(2)题.
［例2］解下列不等式:
(1)3
x 2-2x -3
<(
27
1)x -1
；
(2)16x -22+2x
+3<0；
(3)lg(x 2
-3x -4)-lg(x +5)≥lg2； (4)l o g 2
1x -8l o g x
2
1
+7>0. 分析:解指数与对数不等式的基本思路大体是:
①可以考虑把不等式的两边化成同底数的幂或同底数的对数的形式,然后再根据指数函数、对数函数的单调性.把它化为代数不等式,但要注意对数不等式的真数大于零这一隐含条件.其解法模型是:
当a >1时,a f (x )>a g(x )
⇔f (x )>g(x )
l o g a f (x )>l o g a g(x ) ⇔⎩
⎨⎧>>)()(0
)(x g x f x g
当0<a <1时,a
f (x )
>a
g(x )
⇔f (x )<g(x ) l o g a f (x )>l o g a g(x )⎩⎨
⎧<>⇔)
()(0
)(x g x f x f
②可以考虑令不等式中某一个简单的指数式或对数式为y ,把原不等式转化成关于y 的代数不等式,然后先对于y 解不等式,再通过y 来求出原不等式的解集.
对于例2(1)中,右边可化为3-3x +3,再运用指数函数y =3x
的单调性,将不等式转化为关于x
的二次不等式.对于例3(2)中,可考虑y =4x
,将原不等式转化为关于y 的二次不等式.对于例
3(3)中要注意x 2
-3x -4>0及x +5>0,为简化运算可将lg(x +5)移至不等式的右边.再运用对数运算法则及单调性.对于例3(4)中,要化为同底的形式,再考虑运用换元法.
解:(1)原不等式等价于3x 2-2x -3<33-3x
∵3>1 ∴x 2
-2x -3<3-3x
即有x 2
+x -6<0⇔{x |-3<x <2} 故原不等式的解集为{x |-3<x <2}.
(2)原不等式等价于42x -4·4x
+3<0.
令y =4x ,则有y 2
-4y +3<0⇔1<y <3
即1<4x
<3 ∴0<x <l o g 43.
故原不等式的解集是{x |0<x <l o g 43}.
(3)原不等式等价于lg(x 2
-3x -4)≥lg2(x +5)
⎩⎨
⎧->-≤≥⇔⎩⎨
⎧>++≥--⇔5
270
5)5(2432x x x x x x x 或
⇔-5<x ≤-2或x ≥7
故原不等式的解集为{x |-5<x ≤-2或x ≥7}. (4)原不等式等价于l o g 2
1x -x
2
1log 8
+7>0
令y =l o g 2
1x ,则原不等式转化为
y -y 8+7>0⇔y
y y 872-+>0⇔y (y +8)(y -1)>0⇔-8<y <0或y >1， 即-8<l o g 2
1x <0或l o g 2
1x >1，
⇔1<x <256或0<x <2
1
.
故原不等式的解集是{x |1<x <256或0<x <
2
1}. 评述:解指数不等式的思路是将其等价地转化为代数不等式,转化的方法主要有①利用指数函数的单调性;②利用换元法将原不等式转化为代数不等式.解对数不等式的关键是将其等价地转化为代数不等式,转化过程中要特别注意真数大于零底数大于零且不等于1这些隐含条件,同时考虑如何合理地运用对数函数的单调性及换元法完成转化工作.
二、参考练习题 1.选择题
(1)不等式6x 2
+5x <4的解集为（ ）
A.(-∞,-34)∪(21
,+∞) B.(-34,21)
C.(-21,4
3)
D.(-∞,-21)∪(3
4
,+∞)
答案:B
(2)a >0,b >0,不等式a >
x
1
>-b 的解集为（ ） A.-b 1<x <0或0<x <a 1 B.-a 1<x <b 1
C.x <-b 1或x >a 1
D.-a 1<x <0或0<x <b
1
答案:C (3)不等式
1
1+x (x -1)(x -2)2
(x -3)<0的解集是（ ） A.(-1,1)∪(2,3) B.(-∞,-1)∪(1,3) C.(-∞,-1)∪(2,3) D.R
答案:B
(4)若a >0,且不等式ax 2
+bx +c <0无解,则左边的二次三项式的判别式（ ） A.Δ<0 B.Δ=0 C.Δ≤0 D.Δ>0 答案:C
(5)A={x |x 2+(p +2)x +1=0,x ∈R },且R *
∩A=∅,则有（ ） A.p >-2 B.p ≥0 C.-4<p <0 D.p >-4 答案:B
(6)θ在第二象限,cos θ=524+-m m ,sin θ=5
3
-+m m ,则m 满足（ ）
A.m <-5或m >3
B.3<m <9
C.m =0或m =8
D.m =8
答案:D
(7)已知不等式l o g a (x 2-x -2)>l o g a (-x 2
+2x +3)在x =4
9
时成立,则不等式的解集为（ ） A.{x |1<x <2}
B.{x |2<x <25}
C.{x |1<x <2
5
}
D.{x |2<x <5} 答案:B (8)设0<b <2
1
,下列不等式恒成立的是（ ） A.b 3
>b 2
1
B.l o g b (1-b )>1
C.cos(1+b )>cos(1-b )
D.(1-b )n <b n
,n ∈N 答案:C
(9)若不等式x 2
-l o g a x <0在(0,
2
1
)内恒成立,则a 满足（ ） A.16
1
≤a <1 B.16
1
<a <1
C.0<a ≤16
1
D.0<a <16
1
答案:A
(10)不等式112+<-x x 的解集是（ ） A.［0,1］ B.［0,+∞］ C.(1,+∞)
D.［-1,1］
答案:A
(11)不等式11
2)2
1(--<x x 的解集是（ ）
A.∅
B.(1,2)
C.(2,+∞)
D.(1,+∞)
答案:D
(12)不等式(x -1)2+x ≥0的解集是（ ）
A.{x |x >1}
B.{x |x ≥1或x =-2}
C.{x |x ≥1}
D.{x |x ≥-2且x ≠1}
答案:B
(13)函数f (x )=822--x x 的定义域为A ,函数g(x )=a
x --11的定义域为B ,则使
A ∩B=∅,实数a 的取值范围是（ ）
A.{a |-1<a <3}
B.{a |-2<a <4}
C.{a -2≤a ≤4}
D.{a |-1≤a ≤3}
答案:D
(14)关于x 的不等式22x a -<2x +a (a >0)的解集为（ ） A.(0,a ) B.(0,a ］ C.(0,+∞)∪(-∞,-
5
4a ) D. ∅ 答案:B 2.填空题
(1)不等式1≤|x -2|≤7的解集是 . 答案:［-5,1］∪［3,9］
(2)不等式
x
1
>a 的解集是 . 答案:a =0时x >0;a >0时,0<x <a 1;a <0时,x <a
1
或x >0
(3)不等式lg|x -4|<-1的解集是 . 答案:{x |4<x <1041或10
39
<x <4} (4)不等式
x
b c
-<a (a >0,b >0,c >0)的解集是 . 答案:{x |x <b 或x >b -a
c
}
(5)若不等式4
3)
1(2
2+++--x x a ax x <0的解为-1<x <5,则a = . 答案:4
(6)函数f (x )=l o g 2(x 2
-4),g(x )=2
k
x 2-(k <-1),则f (x )g(x )的定义域为 .
答案:［2k -2)∪(2,+∞) 3.解下列不等式
(1)(x +4)(x +5)2>(3x -2)(x +5)2
；
(2)1)3()4)(1(2+---x x x x ≤0；
(3)4
5820422+-+-x x x x ≥3.
解:(1)当x ≠-5时,(x +5)2
>0,两边同除以(x +5)2
得x +4>3x -2,即x <3且x ≠-5 ∴x ∈(-∞,-5)∪(-5,3)
(2)当x ≠4时,原不等式⇔(x -1)(x -3)(x +1)≤0(x ≠-1) ⇔1≤x ≤3或x <-1,当x =4时,显然左边=0,不等式成立.
故原不等式的解集为{x |1≤x ≤3或x <-1或x =4}.
(3)原不等式可化为4
518
20422+-+-x x x x -3≥0
0)
4)(1()3)(2(04
56522≥----⇔≥+-+-⇔x x x x x x x x
∴x ∈(-∞,1)∪［2,3］∪(4,+∞).
4.设不等式(2x -1)>m (x 2
-1)对满足|m |≤2的一切实数m 的值都成立,求x 的取值范围.
解:①若x 2
-1=0,即x =±1,且2x -1>0,即x >
2
1
时,此时x =1,原不等式对|m |≤2恒成立; ②若x 2
-1>0,要使1122--x x >m ,对|m |≤2恒成立,只要1
122--x x >2,即
⎩⎨⎧->->-2
212012
2x x x 得1<x <231+. ③若x 2
-1<0时,要使
1122--x x <m ,对|m |≤2恒成立,只要1
122--x x <-2,即 ⎩⎨⎧+->-<-2
212012
2x x x 得271+-<x <1. 综合①②③得,所求x 的范围为
271+-<x <2
3
1+.。