中考数学二轮专题复习 专题03 归纳猜想问题

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专题三归纳猜想问题
1.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律,可知数2 013应标在( )
A.第503个正方形的左下角
B.第503个正方形的右下角
C.第504个正方形的左上角
D.第504个正方形的右下角
解析通过观察发现:正方形的左下角是4的倍数,左上角是4的倍数余3,右下角是4的倍数余1,右上角是4的倍数余2.∵2 013÷4=503…1,
∴数2013应标在第504个正方形的右下角.
故选D.
答案 D
2.已知世运会、亚运会、奥运会分别于公元2009年、2010年、2012年举办、若这三项运动会均每四年举办一次,则这三项运动会均不在下列哪一年举办?
( )
A.公元2070年B.公元2071年
C.公元2072年D.公元2073年
解析因A.2 070-2 009=61,2 070-2 010=60,2 070-2 012=58,其中60是4的倍数,所以亚运会能在2070年举办,则世运会在2069年.奥运会在2072年举办.
B.2 071-2 009=62,2 071-2 010=61,2 071-2 012=59,均不是4的倍数,所以,这三项运动会均不在2071年举办.
C.2 072-2 009=63,2 072-2 010=62,
2 072-2 012=60,60是4的倍数,所以奥运会能在2072年举办,则世运会在2069年.亚运会在2070年
举办.
D.2 073-2 009=64,2 073-2 010=63,
2 073-2 012=61,64是4的倍数,所以世运会能在2073年举办,则亚运会在2074年.奥运会在2076年
举办.
故选:B.
答案 B
3.观察下列算式:21=2,22=4,23=8,24=16,….根据上述算式中的规律,请你猜想210的末尾数字是
( )
A.2 B.4 C.8 D.6
解析∵21=2,22=4,23=8,24=16,
25=32,26=64,27=128,28=256,…
∴210的末位数字是4.故选B.
答案 B
4.(2011·潜江)如图,已知直线l:y=
3
3
x,过点A(0,1)作y轴的垂线交直线l于点B,过点B作直线l的垂
线交y轴于点A1;过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1,过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2;…;按此作法继续下去,则点A4的坐标为( )
A.(0,64) B.(0,128)
C.(0,256) D.(0,512)
解析易求A(0,1),A1(0,4),A2(0,16)……,而2°=1,22=4,24=16……,所以28=256,点A4的坐标为(0,256).
答案 C
5.一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动,在第一秒钟,它从原点跳动到(0,1),然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→…],且每秒跳动一个单位,那么第35秒时跳蚤所在位置
的坐标是( )
A.(4,0) B.(5,0)
C.(0,5) D.(5,5)
解析质点运动的速度是每秒运动一个单位长度,(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)用的秒数分别是1秒,2秒,3秒,到(2,0)用4秒,到(2,2)用6秒,到(0,2)用8秒,到(0,3)用9秒,到(3,3)用12秒,到(4,
0)用16秒,依次类推,到(5,0)用35秒.
故第35秒时质点所在位置的坐标是(5,0).
故选B.
答案 B
6.图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形,菱形边长为等边三角形边长的一半,以此为基本单位,可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形(如图2),依此规律继续拼下去(如图3),…,则第n个图形的周长是( )
A.2n B.4n
C.2n+1D.2n+2
解析下面是各图的周长:
图1中周长为4;图2周长为8;
图3周长为16;
所以第n 个图形周长为2n +1
.故选C.
答案 C
7.如图,依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此
方法继续下去.已知第一个矩形的面积为1,则第n 个矩形的面积为________.
分析 易得第二个矩形的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫122,第三个矩形的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫124
,依次类推,第n 个矩形的面积为⎝ ⎛⎭
⎪⎫122n -2
.
解 已知第一个矩形的面积为1;
第二个矩形的面积为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫122×2-2=1
4
; 第三个矩形的面积是⎝ ⎛⎭⎪⎫122×3-2=116;…故第n 个矩形的面积为:⎝ ⎛⎭
⎪⎫122n -2.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫122n -2
8.下面是按一定规律排列的一列数:23,-45,87,-16
9,…那么第n 个数是________.
解析 ∵n =1时,分子:2=(-1)2
·21
,分母:3=2×1+1;
n =2时,分子:-4=(-1)3·22,分母:5=2×2+1; n =3时,分子:8=(-1)4·23,分母:7=2×3+1; n =4时,分子:-16=(-1)5·24,分母:9=2×4+1;…,
∴第n 个数为:(-1)
n +1
·2
n
2n +1
. 答案 (-1)
n +1
·2n 2n +1
9.观察下列算式: ①1×3-22
=3-4=-1 ②2×4-32=8-9=-1 ③3×5-42=15-16=-1 ④__________________ …
(1)请你按以上规律写出第4个算式; (2)把这个规律用含字母的式子表示出来;
(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗?并说明理由.
分析 (1)根据①②③的算式中,变与不变的部分,找出规律,写出新的算式; (2)将(1)中,发现的规律,由特殊到一般,得出结论; (3)一定成立.利用整式的混合运算方法加以证明. 解 (1)第4个算式为:4×6-52
=24-25=-1; (2)答案不唯一.如n (n +2)-(n +1)2
=-1; (3)一定成立.
理由:n (n +2)-(n +1)2
=n 2
+2n -(n 2+2n +1). =n 2
+2n -n 2
-2n -1=-1. 故n (n +2)-(n +1)2
=-1成立.
10.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一例.如图,这个三角形的构造法则:
两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了(a +b )n
(n 为正整数)的展开式(按a 的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如,在三角形中第三行的三个数1,2,1,恰好对应(a +b )2
=a
2
+2ab +b 3
展开式中的系数;第四行的四个数1,3,3,1, 恰好对应着()a +b 3
=a 3
+3a 2
b +3ab 2
+b 2
展开式中的系数等等.
(1)根据上面的规律,写出(a +b )5
的展开式.
(2)利用上面的规律计算:25
-5×24
+10×23
-10×22
+5×2-1.
分析 (1)由(a +b )=a +b ,(a +b )2
=a 2
+2ab +b 2
,(a +b )3
=a 3
+3a 2
b +3ab 2
+b 3
可得(a +b )n
的各项展开式的系数除首尾两项都是1外,其余各项系数都等于(a +b )
n -1
的相邻两个系数的和,由此可得(a +b )4
的各项
系数依次为1、4、6、4、1;因此(a +b )5
的各项系数依次为1、5、10、10、5、1.
(2)将25
-5×24
+10×23
-10×22
+5×2-1写成“杨辉三角”的展开式形式,逆推可得结果.
解 (1) (a +b )5=a 5+5a 4b +10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5
(2)原式=25
+5×24
×(-1)+10×23
×(-1)2
+10×22
×(-1)3
+5×2×(-1)4
+(-1)5
= (2-1)5
=1.
11.(2012·广东佛山)规律是数学研究的重要内容之一.初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)
及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面. 请你解决以下与数的表示和运算相关的问题: (1)写出奇数a 用整数n 表示的式子;
(2)写出有理数b 用整数m 和整数n 表示的式子;
(3)函数的研究中,应关注y 随x 变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律).
下面对函数y =x 2
的某种数值变化规律进行初步研究:
x i 0 1 2 3 4 5 … y i 0 1 4 9 16 25 … y i +1-y i
1
3
5
7
9
11

由表看出,当x 的取值从0开始每增加1个单位时,y 的值依次增加1,3,5… 请回答:
当x 的 取值从0开始每增加1
2个单位时,y 的值变化规律是什么?
当x 的取值从0开始每增加1
n
个单位时,y 的值变化规律是什么?
分析 (1)n 是任意整数,偶数是能被2整除的数,则偶数可以表示为2n ,因为偶数与奇数相差1,所以奇数可以表示为2n +1或2n -1.
(2)根据有理数是整数与分数的统称,而所有的整数都可以写成分数的形式,据此可以得到答案. (3)根据图表计算出相应的数值后即可看出y 随着x 的变化而变化的规律. 解 (1)n 是任意整数,则表示任意一个奇数的式子是:2n +1或2n -1; (2)有理数b =m
n
(n ≠0); (3)①当x =0时,y =0,
当x =12时,y =1
4,当x =1时,y =1,
当x =32时,y =94

故当x 的取值从0开始每增加12个单位时,y 的值依次增加14、34、5
4…
②当x =0时y =0,当x =1n 时,y =1
n
2,
当x =2n 时,y =4n 2,当x =3n 时,y =9n
2,
故当x 的取值从0开始每增加1n 个单位时,y 的值依次增加1n 2、3n 2、5
n
2…。

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