人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？当 a = 0 时bx＋ Nhomakorabea = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时 ，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时 ，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
(1)若公园绿化带被划为四个同等矩形，长比宽多2，面积为100，求矩形边长x;
x2＝560 x2-15x+5＝0 x2-20x +20＝0以上三个式子是方程吗？有什么共同特点呢？
1、等号的两边都是整式2、只含有一个未知数3、未知数的最高次数是2次
2.同学们，结合一元一次方程、方程组的概念的学习，你知道上面的方程是什么吗？你能归纳出这类方程的概念吗？
常见形式
解(又叫做根)
概念
一般形式：ax2+bx+c=0 其他形式：ax2＋c = 0，ax2＋bx = 0 ，ax2 = 0注意：a,b,c为常数，且a ≠0
①等号左右两边都是整式②只含有一个未知数③未知数的最高次数是2次
使方程左右两边相等的未知数的值
一元二次方程
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-20x +20＝0.
任务3 建造观景亭在公园中心要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
4. 已知一矩形绿化带的长为 200 m，宽为 150 m.若在绿化带里要建造圆形凉亭，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三. 求圆形凉亭的半径 x m 应满足的方程(其中 π 取 3).
解：由于圆的半径为 x m，故其面积为 3x2 m2.
整理，得
根据题意，得
凉亭
5.如果2是关于方程 x2－c = 0的一个根，那么常数c是多少？求出这个方程的其他根.
例3.学习了方程的根的意义,请你解决：已知m是方程x2-x-1=0的一个根，(1)求代数式5m2-5m+1001的值；(2)求 的值
解：(1)将x=m代入方程x2-x-1=0可得：m2-m-1=0，即m2-m=1.原式=5(m2-m)+1001=1006.
1. 如图，公园花匠用一张长10 m，宽6 m的矩形塑料薄膜为公园花圃刚种下的花制作暖棚，若把暖棚看做一个长方体，花圃面积为32 m2，将塑料薄膜的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计)刚好能够完全覆盖花圃．设剪去的正方形边长为x cm，则所列方程为( )
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
解：将x=2代入方程x2－c = 0中，2²-c=0，∴c=4，方程为x2－4= 0∴x2 = 4，x=±2∴这个方程另外的根是-2
6.已知x＝1是关于x的方程x2＋2ax＋a2＝3的一个根，求代数式a(a－1)＋a2＋5a的值．
解：将x＝1代入方程x2＋2ax＋a2＝3，得a2＋2a＝2，∴a(a－1)＋a2＋5a＝a2－a＋a2＋5a＝2a2＋4a＝2(a2＋2a)＝2×2＝4.
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
(3)若一块矩形公园的面积为64平方米，它的长与宽共12米，求它的长x．
解：根据题意列方程为x(12-x)=64去括号化为一般式为-x2＋12x-64=0该方程是一元二次方程二次项系数为-1，一次项系数为12，常数项为-64
解：根据题意列方程为该方程不是一元二次方程
(4)要在公园里的矩形绿化带种植树木，小明用3天时间完成一半,后来小强帮助小明,两人合作用了1. 5天的时间完成剩余的种菜工作,设小强单独完成这项任务需x天，求小强单独完成这项任务需多长时间.
(5)要在公园上盖一个凉亭，凉亭顶部是一个四棱锥样式，已知凉亭长方体部分的长宽高的比为3：2：1，凉亭体积为168，凉亭最高处到地面的距离为4，求凉亭底部长方体的高度x.
判别方法总结：一化：先化简，去括号二移：将所有项移到等号左边，等号右边为0三合：合并同类型四看：看是否只含有一个未知数，未知数的最高次数是否为2
A. (10－2x)(6－2x)＝32B. (10－2x)(6－x)＝32C. (10－x)(6－2x)＝32D. (10－x)(6－x)＝32
A
2. 已知一个一元二次方程化为一般形式后,二次项系数是5,一次项系数是 ,常数项是 ,则这个一元二次方程可能是( )A. B. C. D.
解：设郁金香种植园的边长为x km，得x2＝10000
任务2 建造人行观赏道为了方便居民欣赏园林风景，在公园内一片长度约为20km，宽度10km的矩形草坪，计划修建三条宽度相等的小道，每条道路的两边互相平行(其中一条道路与矩形菜地的长平行)，剩余部分为绿化带，若使绿化带的面积为120平方千米，求小道的宽度应为多少米？
D
3.五个连续整数，前三个数的平方和等于后面两个数的平方和. 你能求出五个整数分别是多少吗？
解：设第一个数为 x，则可列出方程 x2 + (x+1)2 + (x+2)2 = (x+3)2 + (x+4)2.化简可得 x2 + x2 + 2x + 1 + x2 + 4x + 4 = x2 + 6x + 9 + x2 + 8x + 16，即 x2 - 8x - 20 = 0.
例2.学习了一元二次方程概念，一起来应用概念解决以下问题：（m-1）xl m l＋1＋2mx＋2=0是一元二次方程，求m的值为多少？ 解：由题意得：∴ m= -1
1、等号的两边都是整式2、只含有一个未知数3、未知数的最高次数是2次
结合一元一次方程的学习，你知道什么是一元二次方程的解吗？
定义：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做一元二次方程的根）.