【四校联考】2016年山西省临汾一中、康杰中学、忻州一中、长治二中四校高三第三次联考数学试卷

【四校联考】2016年山西省临汾一中、康杰中学、忻州一中、长治二中四校高三
第三次联考数学试卷
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
2. 复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是
A. B. C. D.
3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
4. 等比数列的前项和为，若，，，，则
A. B. C. D.
5. 设，其中实数，满足，若的最大值为，则的最小值为
A. B. C. D.
6. 有名优秀毕业生到母校的个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数
为
A. B. C. D.
7. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为
A. B. C. D.
8. 若的展开式中含有常数项，则的最小值等于
A. B. C. D.
9. 已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差
数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图象．关于函数，下列说法正确的是
A. 在上是增函数
B. 其图象关于直线对称
C. 函数是奇函数
D. 当时，函数的值域是
10. 函数的图象大致为
A. B.
C. D.
11. 在正三棱锥中，是的中点，且，底面边长，则正三棱锥
的外接球的表面积为
A. B. C. D.
12. 过曲线：的左焦点作曲线：的切线，设切点为
，延长交曲线：于点，其中、有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 已知，，则．
14. 设随机变量，若，则．
15. 函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值
范围是．
16. 设数列的前项和为，且，为等差数列，则的通项
公式．
三、解答题（共8小题；共104分）
17. 在中，角、、的对边分别为、、，面积为，已知
（1）求证：、、成等差数列；
（2）若，，求．
18. 甲、乙两袋中各装有大小相同的小球个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为，
，，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．
（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为随机变量，求的分布列和数学期望．
19. 直三棱柱中，，，分别是，的中点，，
为棱上的点．
（1）证明：；
（2）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为?若存在，说明点的位置；若不存在，请说明理由．
20. 椭圆的上顶点为，是上的一点，以为直径的圆经过椭
圆的右焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于?如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由．
21. 函数，若曲线在点处的切线与直线垂直（其中为
自然对数的底数）．
（1）若在上存在极值，求实数的取值范围；
（2）求证：当时，．
22. 如图，已知圆外有一点，过点作圆的切线，为切点，过的中点，作割线
，交圆于，两点，连接并延长，交圆于点，连接，交圆于点，若．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
23. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的正
半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆的极坐标方程；
（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，，与直线的交点为，求线段的长．
24. 设．
（1）求的解集；
（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
答案
第一部分
1. C 【解析】由中不等式解得：，即，由中不等式解得：，
，即，则．
2. A 【解析】依题意，复数对应的点的坐标是．
3. B 【解析】依题意，题中的几何体是从一个圆柱中挖去一个圆锥，其中该圆柱的底面半径与高均是，该圆锥的底面半径与高均是，因此该几何体的体积为．
4. A 【解析】依题意得
解得，，，
因此，，．
5. A
【解析】作出不等式对应的平面区域，
由，得，
平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，
此时最大为，即，经过点时，直线的截距最小，此时最小．
由得即
因为直线过，所以．
由，解得，即．
此时的最小值为．
6. A 【解析】先分组后分配，分组方法数为，故总的分派方法数为
．
7. B 【解析】依题意，在数列中，，，，，
，，数列是以为周期的数列．
，因此．
执行题中的程序框图，最后输出的的值等于．
8. C 【解析】的展开式的项为，由
得，，又为正整数，所以当时，的最小值为．
9. D 【解析】．
由题意知，
所以，
所以．
所以．
把函数的图象沿轴向左平移个单位长度，
得的图象．
如图所示．
由图可知，函数在上是减函数，A错误；
其图象的对称中心为，B错误；
函数为偶函数，C错误；
当时，函数的值域是，D正确．
10. D
【解析】依题意得，，因此函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除A选项；当时，，因此排除B选项；当时，．
11. B 【解析】依题意，在正三棱锥中，，，
又，，
因此平面，，
因此可将该正三棱锥补成一个正方体，
又，
因此，正三棱锥的外接球的半径是，该球的表面积为．12. D 【解析】，根据中点和，求出，代入抛物线，得到，，关系，求离心率即可．
第二部分
13.
【解析】依题意得，．
14.
【解析】因为，，
所以，，所以．
15.
16.
【解析】设．
因为数列的前项和为，且，
所以，，
所以，即，
所以．
当时，，
所以，即，
所以，
所以是以为公比，为首项的等比数列．
所以，所以．
第三部分
17. （1）由正弦定理得：，
即，
所以，
即，
因为，
所以，即．
所以、、成等差数列．
（2）因为，所以，
又，
由得：，所以，
所以，即．
18. （1）设事件为“两手所取的球不同色”，
则．
（2）依题意，的可能取值为，，．
左手所取的两球颜色相同的概率为．
右手所取的两球颜色相同的概率为．
；
；
．
所以的分布列为
．
19. （1）因为，，
所以，
又因为，，
所以平面，
又因为平面，
所以．
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．设，．
所以，
所以，
所以，
所以．
（2）假设点存在．
设平面的法向量为，则
因为，，
所以即
令，则．
由题可知平面的一个法向量为．
因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为，
所以，即，
所以或（舍）．
所以当点为的中点时，满足要求．
20. （1），，由题设可知，
所以
又点在椭圆上，
所以，
所以
又
联立，解得，，
故所求椭圆的方程为．
（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，
消去整理得
方程有且只有一个实根，又，
所以，得，
假设存在，满足题设，
则
对任意的实数恒成立，
所以解得或
当直线的斜率不存在时，经检验符合题意．
综上所述，存在两个定点，，使它们到直线的距离之积等于．21. （1）因为，在点处的切线斜率为，由切线与直线垂直，可得，即有，解得，
所以，．
当，，为增函数；
当时，，为减函数．
所以是函数的极大值点，又在上存在极值，
所以即，故实数的取值范围是；
（2）不等式即为，令，则，再令，则，
因为，
所以，在上是增函数，
所以，，
所以在上是增函数，
所以时，，故．
令，则，
因为，
所以，，即在上是减函数，
所以时，，
所以，即．
22. （1）因为是圆的切线，是圆的割线，是的中点，
所以，
所以．
又因为，
所以，
所以，即．
因为，
所以，
所以，
所以．
（2）因为，
所以，即，
所以，
因为，
所以，
因为是圆的切线，
所以，
所以，即，
所以，
所以四边形是平行四边形．
23. （1）圆的普通方程为，
又，，
所以圆的极坐标方程为．
（2）设，
则由解得，，
设，
则由解得，，
所以．
24. （1）由得：
或
或
解得，
所以的解集为．
（2）
当且仅当时，取等号．
由不等式对任意实数恒成立，
可得，
解得：或．
故实数的取值范围是．
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