大城县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

大城县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知向量与的夹角为60°，||=2，||=6，则2﹣在方向上的投影为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2． 下列命题正确的是（ ）
A ．很小的实数可以构成集合.
B ．集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合.
C ．自然数集 N 中最小的数是.
D ．空集是任何集合的子集.
3． 某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（ ）1111]
A ．10
B ．51
C ．20
D ．30
4． 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． =0.08x+1.23
5． 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为4cm ，高为10cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱 柱的侧面，绕行两周到达点1A 的最短路线的长为（ ）
A ．16cm
B ．123cm
C ．243cm
D ．26cm
6． 关于函数2
()ln f x x x
=
+，下列说法错误的是（ ） （A ）2x =是()f x 的极小值点
（ B ） 函数()y f x x =-有且只有1个零点 （C ）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立
（D ）对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>
7． 已知命题p ：2≤2，命题q ：∃x 0∈R ，使得x 02+2x 0+2=0，则下列命题是真命题的是（ ） A ．￢p B ．￢p ∨q C ．p ∧q D ．p ∨q
8． 已知集合A={0，m ，m 2﹣3m+2}，且2∈A ，则实数m 为（ ）
A ．2
B ．3
C ．0或3
D ．0，2，3均可
9． 已知函数2()2ln 2f x a x x x =+-（a R ∈）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（ ） A ．
14 B ．1
2
C ．
D ． 10．数列{a n }满足a 1=3，a n ﹣a n •a n+1=1，A n 表示{a n }前n 项之积，则A 2016的值为（ ）
A ．﹣
B ．
C ．﹣1
D ．1
11．设曲线y=ax 2在点（1，a ）处的切线与直线2x ﹣y ﹣6=0平行，则a=（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．﹣1
12．若函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =
-++-+-在02π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A ．117⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， B ．117⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦，
C.1
(][1)7
-∞-+∞，，
D ．[1)+∞，
二、填空题
13．S n =++…+
= ．
14．已知a=
（
cosx ﹣sinx ）dx ，则二项式（x 2﹣）6展开式中的常数项是 ．
15．在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1）和点B （﹣3，4），若点C 在∠AOB 的平分线上且||=2，则
= ．
16．已知函数2
1()sin cos sin 2f x a x x x =-+
的一条对称轴方程为6
x π
=，则函数()f x 的最大值为（ ）
A ．1
B ．±1
C
D ．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．
17．命题“对任意的x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是 ．
18．方程22x ﹣1=的解x= ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
已知直三棱柱111C B A ABC -中，上底面是斜边为AC 的直角三角形，F E 、分别是11AC B A 、的中点.
（1）求证：//EF 平面ABC ； （2）求证：平面⊥AEF 平面B B AA 11.
20．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知椭圆C 的极坐标方程为2
22
12
3cos 4sin ρθθ
=
+，点12,F F 为其左、右焦点，直线的参数方程为22222
x t y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（为参数，t R ∈）. （1）求直线和曲线C 的普通方程；
（2）求点12,F F 到直线的距离之和.
21．【泰州中学2018届高三10月月考】已知函数()(),,x
f x e
g x x m m R ==-∈.
（1）若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求实数m 的值； （2）记()()()h x f x g x =⋅，求()h x 在[]
0,1上的最大值； （3）当0m =时，试比较()
2f x e -与()g x 的大小.
22．如图，在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，且AD=2CD=2，AA 1=2，∠A 1AD=．若O
为AD 的中点，且CD ⊥A 1O （Ⅰ）求证：A 1O ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角D ﹣A 1A ﹣P 为？若存在，求出BP 的长；不存在，说明理
由．
23．已知命题p：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，命题q：f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
24．【徐州市2018届高三上学期期中】如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池及其矩形附属设施，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为，半径为，
矩形的一边在直径上，点、、、在圆周上，、在边上，且，设．
（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为，求的表达式；
（2）怎样设计才能符合园林局的要求？
大城县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：∵向量与的夹角为60°，||=2，||=6， ∴（2﹣）•=2
﹣
=2×22﹣6×2×cos60°=2，
∴2﹣在方向上的投影为=
．
故选：A ．
【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．
2． 【答案】D 【解析】
试题分析：根据子集概念可知，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以选项D 是正确，故选D.
考点：集合的概念；子集的概念. 3． 【答案】D 【解析】
试题分析：分段间隔为5030
1500
，故选D. 考点：系统抽样 4． 【答案】C
【解析】解：法一：
由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D 由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5）， 将x=4分别代入A 、B 、C ，其值依次为8.92、9.92、5，排除A 、B
法二：
因为回归直线方程一定过样本中心点，
将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C 满足，
故选C
【点评】本题提供的两种方法，其实原理都是一样的，都是运用了样本中心点的坐标满足回归直线方程．
5． 【答案】D
【解析】
考
点：多面体的表面上最短距离问题．
【方法点晴】本题主要考查了多面体和旋转体的表面上的最短距离问题，其中解答中涉及到多面体与旋转体的侧面展开图的应用、直角三角形的勾股定理的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，学生的空间想象能力、以及转化与化归思想的应用，试题属于基础题． 6． 【答案】 C
【解析】
22212
'()x f x x x x
-=-
+=，'(2)0f =，且当02x <<时，'()0f x <，函数递减，当2x >时，'()0f x >，函数递增，因此2x =是()f x 的极小值点，A 正确；()()g x f x x =-，221'()1g x x x =-+-2217()24x x
-+
=-，所以当0x >时，'()0g x <恒成立，即()g x 单调递减，又11()210g e e e =+->，2222
()20g e e e
=+-<，
所以()g x 有零点且只有一个零点，B 正确；设2()2ln ()f x x
h x x x x
==+，易知当2x >时，222ln 21112()x h x x x x x x x x =+<+<+=，对任意的正实数k ，显然当2x k >时，2k x <，即()
f x k x
<，
()f x kx <，所以()f x kx >不成立，C 错误；作为选择题这时可得结论，选C ，下面对D 研究，画出函数草
图
可看出（0，2）的时候递减的更快，所以
124
x x
+>
7．【答案】D
【解析】解：命题p：2≤2是真命题，
方程x2+2x+2=0无实根，
故命题q：∃x0∈R，使得x02+2x0+2=0是假命题，
故命题￢p，￢p∨q，p∧q是假命题，
命题p∨q是真命题，
故选：D
8．【答案】B
【解析】解：∵A={0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A，
∴m=2或m2﹣3m+2=2，
解得m=2或m=0或m=3．
当m=0时，集合A={0，0，2}不成立．
当m=2时，集合A={0，0，2}不成立．
当m=3时，集合A={0，3，2}成立．
故m=3．
故选：B．
【点评】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意求解之后要进行验证．
9．【答案】A
【解析】
试题分析：由题意知函数定义域为),0(+∞，2'
222()x x a f x x
++=，因为函数2
()2ln 2f x a x x x
=+-（a R ∈）在定义域上为单调递增函数0)('≥x f 在定义域上恒成立，转化为2()222h x x x a =++在),0(+∞恒
成立，1
0,4
a ∴∆≤∴≥，故选A. 1
考点：导数与函数的单调性． 10．【答案】D
【解析】解：∵a 1=3，a n ﹣a n •a n+1=1，
∴，得，，a 4=3，
…
∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，且a 1a 2a 3=﹣1， ∵2016=3×672，
∴A 2016 =（﹣1）672
=1．
故选：D ．
11．【答案】A
【解析】解：y'=2ax ， 于是切线的斜率k=y'|x=1=2a ，∵切线与直线2x ﹣y ﹣6=0平行
∴有2a=2 ∴a=1 故选：A
【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率．
12．【答案】D 【
解
析
】
考点：1、导数；2、单调性；3、函数与不等式.
二、填空题
13．【答案】
【解析】解：∵==（﹣），
∴S n=++…+
=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣）
=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．
14．【答案】240．
【解析】解：a=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）=﹣1﹣1=﹣2，
则二项式（x2﹣）6=（x2+）6展开始的通项公式为T r+1=•2r•x12﹣3r，
令12﹣3r=0，求得r=4，可得二项式（x2﹣）6展开式中的常数项是•24=240，
故答案为：240．
【点评】本题主要考查求定积分，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
15．【答案】（﹣，）．
【解析】解：∵，，
设OC与AB交于D（x，y）点
则：AD：BD=1：5
即D分有向线段AB所成的比为
则
解得：
∴
又∵||=2
∴=（﹣，）
故答案为：（﹣，）
【点评】如果已知，有向线段A（x1，y1），B（x2，y2）．及点C分线段AB所成的比，求分点C的坐标，
可将A，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式进行求解．
16．【答案】A
【解析】
17．【答案】 存在x ∈R ，x 3﹣x 2+1＞0 ．
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意的x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是：存在x ∈R ，x 3﹣x 2+1＞0． 故答案为：存在x ∈R ，x 3﹣x 2+1＞0．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．
18．【答案】 ﹣ ．
【解析】解：22x ﹣1
=
=2﹣2，
∴2x ﹣1=﹣2，
解得x=﹣，
故答案为：﹣
【点评】本题考查了指数方程的解法，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【
解
析
】
试
题解析：证明：（1）连接C A 1，∵直三棱柱111C B A ABC -中，四边形C C AA 11是矩形， 故点F 在C A 1上，且F 为C A 1的中点，
在BC A 1∆中，∵F E 、分别是11AC B A 、的中点，∴BC EF //. 又⊄EF 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，∴//EF 平面ABC .
考点：1.线面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理.
20．【答案】（1）直线的普通方程为2y x =-，曲线C 的普通方程为22
143
x y +=；（2）22． 【解析】
试题分析：（1）由公式cos sin x
y
ρθρθ=⎧⎨
=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程，利用消参法可化参数方程为普通方程；
考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式．
21．【答案】（1）1m =-；（2）当1e m e <
-时，()()max 1h x m e =-；当1
e m e ≥-时，()max h x m =-；（3）()()2
f x e
g x ->.
【解析】试题分析：（1）研究函数的切线主要是利用切点作为突破口求解；（2）通过讨论函数在定义域内的单调性确定最值，要注意对字母m 的讨论；（3）比较两个函数的大小主要是转化为判断两个函数的差函数的符号，然后转化为研究差函数的单调性研究其最值．
试题解析：（1）设曲线()x
f x e =与()
g x x m =-相切于点()00,P x y ， 由()x
f x e '=，知0
1x e
=，解得00x =，
又可求得点P 为()0,1，所以代入()g x x m =-，得1m =-.
（2）因为()()x
h x x m e =-，所以()()()()
[]1,0,1x x x
h x e x m e x m e x =+-=∈'--.
①当10m -≤，即1m ≤时，()0h x '≥，此时()h x 在[]
0,1上单调递增， 所以()()()max 11h x h m e ==-；
②当011m <-<即12m <<，当()0,1x m ∈-时，()()0,h x h x '<单调递减， 当()1,1x m ∈-时，()()0,h x h x '>单调递增，()()()0,11h m h m e =-=-.
（i ）当()1m m e -≥-，即21
e
m e ≤<-时，()()max 0h x h m ==-； （ii ）当()1m m e -<-，即11
e
m e <<-时，()()()max 11h x h m e ==-；
③当11m -≥，即2m ≥时，()0h x '≤，此时()h x 在[]0,1上单调递减，
所以()()min 0h x h m ==-. 综上，当1
e
m e <-时，()()max 1h x m e =-； 当1
e
m e ≥
-时，()max h x m =-. （3）当0m =时，()
()2
2,x f x e e
e g x x --==， ①当0x ≤时，显然()
()2f x e g x ->；
②当0x >时，()
()2
22ln ln ,ln ln x f x e
x e e e g x x ---===，
记函数()2
21
ln ln x x x e
x e x e
φ-=-=
⨯-， 则()2
2111x x x e e e x x
φ-=⨯-=-'，可知()x φ'在()0,+∞上单调递增，又由()()10,20φφ''知，()x φ'在
()0,+∞上有唯一实根0x ，且012x <<，则()020010x x e x φ--'==，即020
1
x e x -=（*），
当()00,x x ∈时，()()0,x x φφ'<单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()()0,x x φφ'>单调递增， 所以()()02
00ln x x x e x φφ-≥=-，
结合（*）式020
1
x e x -=
，知002ln x x -=-， 所以()()()2
200000000
1211
20x x x x x x x x x φφ--+≥=+-==>， 则()2
ln 0x x e
x φ-=->，即2
ln x e
x ->，所以2
x e e
x ->.
综上，()()2
f x e
g x ->.
试题点睛：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、最值基本思路，当比较两个函数大小的时候，就转化为两个函数的差的单调性，进一步确定最值确定符号比较大小． 22．【答案】
【解析】满分（13分）． （Ⅰ）证明：∵∠A 1
AD=，且AA 1=2，AO=1，
∴A 1
O=
=
，…（2分）
∴
+AD 2=AA 12，
∴A 1O ⊥AD ．…（3分） 又A 1O ⊥CD ，且CD ∩AD=D ， ∴A 1O ⊥平面ABCD ．…（5分）
（Ⅱ）解：过O 作Ox ∥AB ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O ﹣xyz （如图）， 则A （0，﹣1，0），A 1（0，0
，），…（6分）
设P （1，m ，0）m ∈[﹣1，1]，平面A 1AP
的法向量为
=（x ，y ，z ），
∵
=
，
=（1，m+1，0），
且
取z=1
，得
=
．…（8分）
又A 1O ⊥平面ABCD ，A 1O ⊂平面A 1ADD 1 ∴平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ．
又CD ⊥AD ，且平面A 1ADD 1∩平面ABCD=AD ， ∴CD ⊥平面A 1ADD 1． 不妨设平面A 1ADD 1
的法向量为
=（1，0，0）．…（10分）
由题意得==，…（12分）
解得m=1或m=﹣3（舍去）．
∴当BP的长为2时，二面角D﹣A1A﹣P的值为．…（13分）
【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想．
23．【答案】
【解析】解：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，
等价于a≥x2﹣x在x∈[2，4]恒成立，
而函数g（x）=x2﹣x在x∈[2，4]递增，
其最大值是g（4）=4，
∴a≥4，
若p为真命题，则a≥4；
f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数，
对称轴x=≤，∴a≤1，
若q为真命题，则a≤1；
由题意知p、q一真一假，
当p真q假时，a≥4；当p假q真时，a≤1，
所以a的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）．
24．【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）根据直角三角形求两个矩形的长与宽，再根据矩形面积公式可得函数解析式，最后根据实际意义确定定义域（2）利用导数求函数最值，求导解得零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函
数单调性，进而得函数最值
（2）要符合园林局的要求，只要最小，
由（1）知，
令，即，
解得或（舍去），
令，
当时，是单调减函数，
当时，是单调增函数，所以当时，取得最小值.
答：当满足时，符合园林局要求.。