图形的相似经典测试题附答案

图形的相似经典测试题附答案
一、选择题
1．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，在BC 上取一点E ，沿AE 将ABE ∆向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为( )
A ．2
B 3
C 15±
D ．152
【答案】D
【解析】
【分析】 可设AD=x ，由四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【详解】
解：∵1AB =，
设AD=x ，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似， ∴EF AD DF AB
，即111x x =-， 解得：1152x +=，2152
x -=（不合题意，舍去） 经检验15x +=
，是原方程的解． ∴15
2AD ．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC 与矩形ABCD 相似得到比例式．
2．如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转.若∠BOA 的两边分别与函数1y x
=-、2y x =的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 大小的变化趋势为（ ）
A ．逐渐变小
B ．逐渐变大
C ．时大时小
D ．保持不变
【答案】D
【解析】
【分析】 如图，作辅助线；首先证明△BEO ∽△OFA ，，得到BE OE OF AF =；设B 为（a ，1a
-），A 为（b ，2b ），得到OE=-a ，EB=1a
-，OF=b ，AF=2b ，进而得到222a b =，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan ∠OAB=
22为定值，即可解决问题． 【详解】
解：分别过B 和A 作BE ⊥x 轴于点E ，AF ⊥x 轴于点F ，
则△BEO ∽△OFA ， ∴BE OE OF AF
=， 设点B 为（a ，1a -
），A 为（b ，2b ）， 则OE=-a ，EB=1a
-，OF=b ，AF=2b ， 可代入比例式求得222a b =，即22
2a b =， 根据勾股定理可得：22221OE EB a a +=+2222
4OF AF b b +=+ ∴tan ∠OAB=2222222212244b a OB a b OA b b b b
++==++222214()24b b b b ++22 ∴∠OAB 大小是一个定值，因此∠OAB 的大小保持不变.
故选D
【点睛】
该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．
3．如图，已知////AB CD EF ，:3:5AD AF =，6BC =，CE 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．3
D ．5
【答案】B
【解析】
【分析】 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】
∵AD ：AF=3：5，
∴AD ：DF=3：2，
∵AB ∥CD ∥EF ， ∴
AD BC DF CE =，即362CE
=， 解得，CE=4，
故选B ．
【点睛】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2，D 是AB 边上一个动点（不与点A 、B 重合），E 是BC 边上一点，且∠CDE ＝30°．设AD ＝x ，BE ＝y ，则下列图象中，能表
示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
【分析】 根据题意可得出4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=然后判断△CDE ∽△CBD ，继而利用相似三角形的性质可得出y 与x 的关系式，结合选项即可得出答案．
【详解】
解：∵∠A ＝60°，AC ＝2， ∴4,3,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=
在△ACD 中，利用余弦定理可得CD 2＝AC 2+AD 2﹣2AC •AD cos ∠A ＝4+x 2﹣2x ， 故可得242CD x x =-+
又∵∠CDE ＝∠CBD ＝30°，∠ECD ＝∠DCB （同一个角），
∴△CDE ∽△CBD ，即可得,CE CD CD CB
= 2
223422342x x x x -+=-+ 故可得： 23343y x x =+ 即呈二次函数关系，且开口朝下． 故选C ．
【点睛】
考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.
5．如图，点E 是ABCD 的边AD 上一点，2DE AE =，连接BE ，交AC 边于点F ，下列结论中错误的是（ ）
A ．3BC AE =
B ．4A
C AF = C ．3BF EF =
D ．2BC D
E =
【答案】D
【解析】
【分析】 由平行四边形的性质和相似三角形的性质分别判断即可．
【详解】
解：∵在ABCD 中，//AD BC ，AD BC =，
∴AEF CBF , ∴AE AF EF CB CF
BF , ∵2DE AE = ∴332BC
DE AE ，选项A 正确，选项D 错误， ∴133
AF
AE AE CF CB AE ，即：3CF AF =， ∴4AC AF =，
∴选项B 正确， ∴133
EF
AE AE BF CB AE ，即：3BF EF =， ∴选项C 正确，
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，能熟练利用相似三角形对应边成比例是解题关键．
6．如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ．下列结论：①EO ⊥AC ；②S △AOD ＝4S △OCF ；③AC ：BD 217；④FB 2＝OF •DF ．其中正确的是（ ）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①③
【答案】B
【解析】
【分析】
①正确．只要证明EC=EA=BC，推出∠ACB=90°，再利用三角形中位线定理即可判断．
②错误．想办法证明BF=2OF，推出S△BOC=3S△OCF即可判断．
③正确．设BC=BE=EC=a，求出AC，BD即可判断．
④正确．求出BF，OF，DF（用a表示），通过计算证明即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，OD=OB，OA=OC，
∴∠DCB+∠ABC=180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠DCB=120°，
∵EC平分∠DCB，
∴∠ECB=1
2
∠DCB=60°，
∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°，∴△ECB是等边三角形，
∴EB=BC，
∵AB=2BC，
∴EA=EB=EC，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OC，EA=EB，
∴OE∥BC，
∴∠AOE=∠ACB=90°，
∴EO⊥AC，故①正确，
∵OE∥BC，
∴△OEF∽△BCF，
∴
1
2 OE OF
BC FB
==，
∴OF=13OB ， ∴S △AOD =S △BOC =3S △OCF ，故②错误，
设BC=BE=EC=a ，则AB=2a ，AC=3a ，OD=OB=223(722
)a a +=a ， ∴BD=7a ，
∴AC ：BD=3a ：7a=21：7，故③正确，
∵OF=13OB=76
a ， ∴BF=
73a ， ∴BF 2
=79a 2，OF•DF=76a•777269a a ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭ a 2， ∴BF 2=OF•DF ，故④正确，
故选：B ．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
7．如图，点A 在双曲线y ═
k x （x ＞0）上，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，分别以点O 和点A 为圆心，大于12
OA 的长为半径作弧，两弧相交于D ，E 两点，作直线DE 交x 轴于点C ，交y 轴于点F （0，2），连接AC ．若AC=1，则k 的值为（ ）
A ．2
B ．3225
C 43
D 252+【答案】B
【解析】 分析：如图，设OA 交CF 于K ．利用面积法求出OA 的长，再利用相似三角形的性质求出AB 、OB 即可解决问题；
详解：如图，设OA 交CF 于K ．
由作图可知，CF垂直平分线段OA，
∴OC=CA=1，OK=AK，
在Rt△OFC中，CF=22=5
OF OC
+，
∴AK=OK=1225
=
5
5
⨯
，
∴OA=45
5
，
由△FOC∽△OBA，可得OF OC CF
OB AB OA
==，
∴
215
45
5 OB AB
==
，
∴OB=8
5
，AB=
4
5
，
∴A（8
5
，
4
5
），
∴k=32 25
．
故选B．
点睛：本题考查作图-复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，交BD于M，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】
由平行四边形的性质可得AD//BC，AB//CD，根据相似三角形的判定方法进行分析，即可得到图中的相似三角形的对数．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴△ADM∽△EBM，△ADF∽△ECF，△DFM∽△BAM，△EFC∽△EAB，
∵∠AFD=∠BAE，∠DAE=∠E，
∴△ADF∽△EBA，
∴图中共有相似三角形5对，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
9．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（）
A．1：2 B．1：5 C．1：100 D．1：10
【答案】C
【解析】
根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100．
故选：C．
点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
10．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，
使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则BQ
AQ
的值为（）
A B C D
【答案】A
【解析】
【分析】
根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出∠C、∠B的度
数，求出其他角的度数，可得AQ＝AC，将BQ
AQ
转化为
BQ
AC
，再由相似三角形和等腰直角
三角形的边角关系得出答案．
解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ADC＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝
2
2
AD，
在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，
∴AD＝CD＝BD，
由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，
∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，
∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，∴AC′＝AQ＝AC，
由△AEC∽△BDQ得：BQ
AC
＝
BD
AE
，
∴BQ
AQ
＝
BQ
AC
＝
AD
AE
＝
2AE
AE
＝2．
故选：A．
【点睛】
考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键．
11．若△ABC的每条边长增加各自的50%得△A'B'C'，若△ABC的面积为4，则△A'B'C'的面积是（）
A．9 B．6 C．5 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵△ABC的每条边长增加各自的50%得△A′B′C′，
∴△ABC 与△A ′B ′C ′的三边对应成比例，
∴△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴214()150%9
ABC A B C S S '''==+， ∵△ABC 的面积为4，则△A'B'C'的面积是9．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
12．如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别为S 、1S 、2S ，若S=2，则1S +2S =（ ）.
A ．4
B ．6
C ．8
D ．不能确定 【答案】C
【解析】 试题分析：过P 作PQ ∥DC 交BC 于点Q ，由DC ∥AB ，得到PQ ∥AB ，可得出四边形PQCD 与ABQP 都为平行四边形，所以△PDC ≌△CQP ，△ABP ≌△QPB ，进而确定出△PDC 与△PCQ 面积相等，△PQB 与△ABP 面积相等，再由EF 为△BPC 的中位线，利用中位线定理得到EF ∥BC ，EF=12
BC ，得出△PEF 与△PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，所以PBC CQP QPB PDC ABP S S S S S =+=+=1S +2S =8.
故选C ．
考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．
13．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与111A B C ∆相似的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】 根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】
解：因为111A B C ∆中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B ，且满足两边成比例夹角相等，
故选：B ．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
14．如图，点E 为ABC ∆的内心，过点E 作MN BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ，若7AB =，5AC =，6BC =，则MN 的长为（ ）
A ．3．5
B ．4
C ．5
D ．5．5
【答案】B
【解析】
【分析】 连接EB 、EC ，如图，利用三角形内心的性质得到∠1=∠2，利用平行线的性质得∠2=∠3，所以∠1=∠3，则BM=ME ，同理可得NC=NE ，接着证明△AMN ∽△ABC ，所以
767MN BM -=，则BM=7-76MN①，同理可得CN=5-56
MN②，把两式相加得到MN 的方程，然后解方程即可．
【详解】
连接EB 、EC ，如图，
∵点E 为△ABC 的内心，
∴EB 平分∠ABC ，EC 平分∠ACB ，
∴∠1=∠2，
∵MN ∥BC ，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴BM=ME ，
同理可得NC=NE ，
∵MN ∥BC ，
∴△AMN ∽△ABC ， ∴MN AM BC AB = ，即767MN BM -=，则BM=7-76
MN①， 同理可得CN=5-
56MN②， ①+②得MN=12-2MN ，
∴MN=4．
故选：B ．
【点睛】
此题考查三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
15．如图，在ABC 中，//,,30DE BC AF BC ADE ⊥∠=︒，2,33,DE BC BF ==则DF 的长为（）
A ．4
B ．23
C ．33
D ．3
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用相似三角形的相似比证明点D 是AB 的中点，再解直角三角形求得AB ，最后利用直
角三角形斜边中线性质求出DF ．
【详解】
解：∵//DE BC ，
∴ADE ~ABC ，
∵2DE BC =，
∴点D 是AB 的中点，
∵,30AF BC ADE ⊥∠=︒，33BF =，
∴∠B ＝30°，
∴AB 6cos30BF ==︒
， ∴DF=3，
故选：D ． 【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键．
16．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，△AOB 的两边分别与函数12,y y x x
=-=的图象交于B 、A 两点，则等于（ ）
A 2
B ．12
C ．14
D 3【答案】A
【解析】
【分析】
过点A,B 作AC ⊥x 轴,BD ⊥x 轴,垂足分别为C,D.根据条件得到△ACO ∽△ODB.根据反比例函
数比例系数k 的几何意义得出2()S OBD OB S AOC OA ∆=∆＝121
＝12利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出
2OB OA =【详解】 ∵∠AOB ＝90°，
∴∠AOC +∠BOD ＝∠AOC +∠CAO ＝90°，
∠CAO ＝∠BOD ，
∴△ACO ∽△BDO ， ∴2()S OBD OB S AOC OA ∆=∆ , ∵S △AOC ＝12 ×2＝1，S △BOD ＝12×1＝12
， ∴2()OB OA ＝121
＝12 ， ∴22
OB OA =， 故选A ．
【点睛】
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定与性质，解题关键在于做辅助线，然后得到相似三角形再进行求解
17．如图，Rt ABO ∆中，90AOB ∠=︒，3AO BO =，点B 在反比例函数2y x =
的图象上，OA 交反比例函数()0k y k x
=≠的图象于点C ，且2OC CA =，则k 的值为（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
【答案】D
【解析】
【分析】
过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴，利用AA 定理和平行证得
△COE ∽△OBF ∽△AOD ，然后根据相似三角形的性质求得21()9BOF OAD S OB S OA ==，24()9COE AOD S
OC S
OA ==，根据反比例函数比例系数的几何意义求得212BOF S ==，从而求得4COE S =，从而求得k 的值．
【详解】
解：过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴
∴CE ∥AD ，∠CEO=∠BFO=90°
∵90AOB ∠=︒
∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°
∴∠ECO=∠FOB
∴△COE ∽△OBF ∽△AOD
又∵3AO BO =，2OC CA = ∴
13OB OA =，23OC OA = ∴21()9BOF OAD S OB S OA ==，24()9COE AOD S OC S OA == ∴4COE
BOF S S =
∵点B 在反比例函数2y x =
的图象上 ∴212BOF S
== ∴4COE S
= ∴42
k =，解得k=±8 又∵反比例函数位于第二象限，
∴k=-8
故选：D ．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．
18．如图，已知△ABC，D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB 的是（）
A．∠AED＝∠B B．∠BDE+∠C＝180°
C．AD•BC＝AC•DE D．AD•AB＝AE•AC
【答案】C
【解析】
【分析】
A、根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
B：根据题意可得到∠ADE=∠C，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
C、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
D、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可．
【详解】
解：A、由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
B、由∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，得∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
C、由A D•BC=AC•DE，得不能判断△ADE∽△ACB,必须两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.
D、由AD•AB=AE•AC得，∠A=∠A，故能确定△ADE∽△ACB，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：
两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似（注意，一定是夹角）； 有两组角对应相等的两个三角形相似．
19．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且 1.5AB =，2BC =， 1.8DE =，则EF =（ ）
A ．4.4
B ．4
C ．3.4
D ．2.4
【答案】D
【解析】
【分析】 根据平行线等分线段定理列出比例式，然后代入求解即可．
【详解】
解：∵////a b c ∴AB DE BC EF = 即1.5 1.82EF
= 解得：EF=2.4
故答案为D ．
【点睛】 本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，利用定理正确列出比例式是解答本题的关键．
20．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D 是AB 的中点，点P 是直线BC 上一点，将△BDP 沿DP 所在的直线翻折后，点B 落在B 1处，若B 1D ⊥BC ，则点P 与点B 之间的距离为（ ）
A．1 B．5
4
C．1或 3 D．
5
4
或5
【答案】D
【解析】
【分析】
分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB=5，由平行线分线段
成比例可得
1
2
BD BE DE
AB BC AC
===，可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长．
【详解】
解：如图，若点B1在BC左侧，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴225
AC BC
+
∵点D是AB的中点，
∴BD=1
2
BA=
5
2
∵B1D⊥BC，∠C=90°∴B1D∥AC
∴
1
2 BD BE DE
AB BC AC
===
∴BE=EC=1
2
BC=2，DE=
1
2
AC=
3
2
∵折叠
∴B1D=BD=5
2
，B1P=BP
∴B1E=B1D-DE=1
∴在Rt△B1PE中，B1P2=B1E2+PE2，∴BP2=1+（2-BP）2，
∴BP=5 4
如图，若点B1在BC右侧，
∵B1E=DE+B1D=3
2
+
5
2
，
∴B1E=4
在Rt△EB1P中，B1P2=B1E2+EP2，
∴BP2=16+（BP-2）2，
∴BP=5
故选：D．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．。