科学和工程计算复习题与答案

科学和工程计算基础复习题
一、 填空题:
1. :
2. 计算机计费的主要依据有两项:一是使用要由
算数运算的次数决定;二是占据存储器的空间,3. 用计算机进行数值计算时,4. ,则称该算法是
5. 函数求值问题()x f y =的条件数定义为:)
()())(()(x f x f x x f cond x C '=
=
6. 单调减且有 下界 的数列一定存在极限; 单调增且有 上界 的数
列一定存在极限. 7. 方程实根的存在唯一性定理:设],[)(b a C x f ∈且0)()(<b f a f ,则至少存在一点
()b a ,∈ξ使()0=ξf .当()x f '在()b a ,,方程在[]b a ,内有唯一的实
根.
8. 函数()y x f ,在有界闭区域D 上对y 满足Lipschitz 条件,是指对于D 上的任意一对点
()1,y x 和()2,y x 成立不等式:
2121),(),(y y L y x f y x f -≤-.其中常数L 只依赖于区
域D .
9. 设n i R A i n n ,,2,1,, =∈⨯λ为其特征值,则称i n
i A λρ≤≤=1max )(为矩阵A 的谱半径.
10. 设1
-A 存在,则称数A A
A cond 1)(-=为矩阵A 的条件数,其中⋅是矩阵的算子范数. 11. 方程组f x
B x +=,对于任意的初始向量()0x 和右端项f ,迭代法()()f x B x k k
+=+1收
敛的充分必要条件是选代矩阵B 的 谱半径1)(<B ρ. 12. 设被插函数()x f 在闭区间[]b a ,上n 阶导数连续,()
()x f
n 1+在开区间()b a ,上存在.若
{}
n
i i x 0
=为[]b a ,上的1+n 个互异插值节点,并记()()∏=+-=
n
i i
n x x x 0
1ω,则插值多项式
()()
()()()∑=++'-=n
k k n k n k n x x x x x f x L 0
11ωω的余项为)()!1()()()()(1)1(x n f x L x f x R n x n n n +++=-=ωξ,其中),()(b a x x ∈=ξξ.
13. 若函数组
(){}[]b a C x n k k ,0
⊂=ϕ满足⎩
⎨⎧
=≠≠=l k l
k l k ,0,0),(ϕϕ k,l =0,1,2,…,n ,则称
(){}n
k k x 0=ϕ为正交函数序列. 14. 复化梯形求积公式
⎰
∑⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+++=≈-=b
a
n k n b f kh a f a f h f T dx x f 1
1)()(2)(2)()(,
其余项为),(),(12
)(2
b a f h a b R n
T
∈''--=ηη
15. 复化Simpson 求积公式
⎰
∑∑⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡++++++=≈-=-=b
a
n k n k n b f kh a f h k a f a f h f S dx x f 101
1)()2(2))12((4)(3)()(,其余项为),(),(180
)()
4(4b a f h a b R n
S
∈--=ηη
16. 选互异节点n x x x ,,,10 为Gauss 点,则Gauss 型求积公式的代数精度为
2n+1 .
17. 如果给定方法的局部截断误差是()
11++=p n h O T ,其中1≥p 为整数,则称该方法是 P 阶的或具有P 阶精度 .
18. 微分方程的刚性现象是指快瞬态解严重影响 数值解的稳定性和精度 ,给数值
计算造成很大的实质性困难的现象. 19. 迭代序列{}[]b a x k k ,0⊂∞
=终止准则通常采用
11k k k
x x x ε--<+，
其中的0>ε为 相对误差
20.
二、 选择题
1. 下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组()
,ij
n n
Ax b A a ⨯==的
充分条件? ( D )
A. 矩阵A 的各阶顺序主子式均不为零;
B. A 对称正定;
C. A 严格对角占优;
D. A 的行列式不为零.
2. 高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的? ( B ) A.
313n ; B. 323n ; C. 314n ; D. 334
n .
3. 对于任意的初始向是()
0x
和右端项f ,求解线性代数方程组的迭代法(
)
()1k k
x Bx f +=+收
敛的充分必要条件是( A ). A.
()1B ρ<; B. 1B <; C. ()det 0B ≠; D. B 严格对角占优.
4. 下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组()
,ij
n n
Ax b A a ⨯==的Gauss-Seidel 迭代法收
敛的充分条件? ( C )
A. A 为严格对角占优阵;
B. A 为不可约弱对角占优阵;
C. A 的行列式不为零;
D. A 为对称正定阵.
5. 设()[]2,f x C a b =，并记()2m a x a x
b
M f x ≤≤'
'=，则函数()f x 的过点
()()(
)(
),,,a f a b f b 的线性插值余项
()1R x ,[],x a b ∀∈满足( A ). A. ()()2218M R x b a ≤
-; B. ()()2
218M R x b a <-; C. ()()2216M R x b a ≤-; D. ()()2
216
M R x b a <-.
6. 设()n x ϕ是在区间[],a b 上带权()x ρ的首项系数非零的n 次正交多项式()1n ≥,则
()n x ϕ的n 个根( A ).
A. 都是单实根;
B. 都是正根;
C. 有非负的根;
D. 存在重根
7. Legendre 多项式是( )的正交多项式.( B )
A. 区间[]1,1-上带权()
x ρ=
B. 区间[]1,1-上带权()1x ρ=;
C. 区间[],-∞∞上带权()2
x x e ρ-=; D. 区间[]0,1上带权()1x ρ=
8. 离散数据的曲线拟合的线性最小二乘法的Gram 矩阵与( D )无关?
A. 基函数()
{}
n k k x ϕ=; B. 自变量序列{}0m
i i x =;
C. 权数{}0m
i i w =; D. 离散点的函数值{}0m
i i y =. 9. Simpson 求积公式的余项是( B ).
A. ()()()3,,12h R f f a b ηη''=-∈;
B. ()()
()()54,,90h R f f a b ηη=-∈; C. ()()
()()2,,12
h b a R f f a b ηη-''=-∈; D. ()()()()()44,,90h b a R f f a b ηη-=-
∈ 10. n 个互异节点的Gauss 型求积公式具有( D )次代数精确度.
A. n ;
B. 1n +;
C. 21n +;
D. 21n -.
11. 一阶导数的数值计算公式中,中心差商公式的精度为( B ).
A. ()O h ;
B. ()2O h ;
C. ()2
o h ; D. ()
32O h .
12. 对于用插值法建立的数值求导公式,通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的
精度( B ).
A. 高; B, 低; C. 相同; D. 不可比.
13. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 梯形公式是显式Euler 公式和隐式Euler 公式的
( A ).
A. 算术平均;
B. 几何平均;
C. 非等权平均;
D. 和. 14. 当( B )时,求解(),0y y λλ'=<的显式Euler 方法是绝对稳定的. A. 11h λ-≤≤; B. 20h λ-≤≤; C. 01h λ≤≤; D. 22h λ-≤≤ 15. 求解(),0y y λλ'=<的经典R-K 公式的绝对稳定条件是( C ): A ．20h λ-≤≤; B.
()2
112
h h λλ++
≤;
C.
()()()2
3
4
112
3!
4!
h h h h λλλλ++
+
+
≤; D.
()()2
2
121211212
h h h h λλλλ++≤-+.
16. 在非线性方程的数值解法中,只要()()**
*
1,()x x x ϕϕ
'≠=,那么不管原迭代法
()()1,0,1,2,
k k x x k ϕ+==是否收敛,由它构成的Steffensen 迭代法的局部收敛的阶是
( D )阶的.
A. 1;
B. 0;
C. 2<;
D. 2≥.
17. 在非线性方程的数值解法中,Newton 迭代法的局部收敛的阶是( D )阶的. A. 1; B. 0; C. 2<; D. 2≥.
18. 在非线性方程的数值解法中,离散Newton 迭代法的局部收敛的阶是( C )阶的.
A. 1;
B.
C.
; D. 2. 19. 在求解非线性方程时,迭代终止准则通常采用( A ),其中的0ε>为给定的相对误差
容限. A.
11k k k
x x x ε--<+; B.
1
k k k
x x x ε--<; C. 1k k x x ε--<; D.
11
1k k k x x x ε---<+.
20. 在求解非线性方程组时,加进阻尼项的目的,是使线性方程组的( C ).
A. 系数矩阵非奇异;
B. 系数矩阵的行列式不等于零;
C. 系数矩阵非奇异并良态;
D. 系数矩阵可逆.
三、 判断题
1. 在用计算机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题.( × )
2. 用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成算术运算;在作加减法时,应避免接
近的两个数相减;在所乘除法时,计算结果的精度不会比原始数据的高.( √ ) 3. 用计算机作加减法时,交换律和结合律成立.( × ) 4. 单调减且有下界的数列一定存在极限。

(√ ) 5. 设n n
B R ⨯∈, 则lim 0k
k B →∞
=的充要条件是B 的谱半径()1B ρ<.( √ )
6. 若n n
A R
⨯∈,则一定有()2
A
B ρ=.( × )
7. 求解线性代数方程组,当n 很大时,Cholesky 分解法的计算量比Gauss 消去法大约减少了
一半. (√ )
8. 在用迭代法求解线性代数方程组时,若Jacobi 迭代矩阵为非负矩阵,则Jacobi 方法和
Gauss-Seidel 方法同时收敛,或同时不收敛;若同时收敛,则Gauss-Seidel 方法比Jacobi 方法收敛快. (√ ) 9. 均差(或差商)与点列(){}
,n
i i i x f x =的次序有关. (× )
10. 线性最小二乘法问题的解与所选基函数有关. (× )
11. 复化梯形求积公式是2阶收敛的, 复化Simpson 求积公式是4阶收敛的. (√ ) 12. Gauss 求积系数都是正的. (√ )
13.
在常微分方程初值问题的数值解法中, 因为梯形公式是显式Euler 公式和隐式Euler 公式的算术平均,而Euler 公式和隐式Euler 公式是一阶方法,所以梯形公式也是一阶方法. (× )
14. 在Runge-Kutta 法中, 通常同级的隐式公式能获得比显式公式更高的阶. (√) 15. 求解(),0y y λλ'=<的梯形公式是无条件稳定的. (√ )
16. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 不论单步法还是多步法, 隐式公式比显式公式的
稳定性好. (√ )
17. 迭代法的基本问题是收敛性、收敛速度和计算效率. (√)
18. 在一元非线性方程的数值解法中,最有效的是Steffensen 迭代法和Newton 迭代法.前者不
需要求导数,但不宜推广到多元的情形;后者需要求导数,但可直接推广到多元方程组. (√ )
19. 常微分方程边值问题的差分法,就是将解空间和微分算子离散化、组成满足边值条件的
差分方程组,求解此方程组,得到边值问题在节点上函数的近似值. (√ )
20. 在求解非线性方程组时,在一定条件下映内性可保证不动点存在,因而也能保证唯一性.
(× )
四、 线性代数方程组的数值解法
1. 用高斯消去法求解方程组
b Ax =，即
123211413261225x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（1） 列出用增广矩阵
[]b A ,表示的计算过程及解向量x ；
（2） 列出由此得到的Doolittle 三角分解LU A =中的三角阵L 和U ；
（3） 由
U 计算A det 。

35
3
252det =⨯⨯=A P65 例3.2.1
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 2. 用高斯消去法求解方程组
b Ax =，即
123711324211132x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（1） 列出用增广矩阵
[]b A ,表示的计算过程及解向量x ；
（2） 列出由此得到的Doolittle 三角分解LU A =中的三角阵L 和U ；
（3） 由
U 计算A det 。

解：方程组的增广矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--231112423117 第一次消元：消元因子7
1
,723121-==
l l ，进行消元，得 ⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
-7177207807171672603117
第二次消元：消元因子13
4
32=
l ，进行消元，得
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢
⎢⎢⎣
⎡
-9121791196007171672603117
回代得28311962173==x ，14
9
2-=x ，28
191
=x 易知
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1134710172001L ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
-=912170
07167260
11
7U 6291
217
7267det =⨯⨯
=A ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 3. 用高斯消去法求解方程组
b Ax =，即
123133*********x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（1） 列出用增广矩阵
[]b A ,表示的计算过程及解向量x ；
（2） 列出由此得到的Doolittle 三角分解LU A =中的三角阵L 和U ；
（3） 由
U 计算A det 。

解：方程组增广矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡243221121331 第一次消元：消元因子2,23121==l l ，进行消元，得
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----023********
1 第二次消元：消元因子5
3
32=l ，进行消元，得
⎥⎥⎥⎦
⎢⎢⎢⎣--01000550 回代得03=x ，02=x ，11=x 易知
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=1532012
001L ，⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=10055033
1U 5151det -=⨯-⨯=A
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 4. 用高斯消去法求解方程组
b Ax =，即
12321143421132411x x x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（1） 列出用增广矩阵
[]b A ,表示的计算过程及解向量x ；
（2） 列出由此得到的Doolittle 三角分解LU A =中的三角阵L 和U ；
（3） 由
U 计算A det 。

解：方程组增广矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----11423112434112 第一次消元：消元因子2
3
,233121==
l l ，进行消元，得 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢
⎢⎢⎣
⎡
----52
11210521211041
12 第二次消元：消元因子11
1
32-=l ，进行消元，得
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎢⎢⎢
⎢
⎢⎢⎣
---116011600052121104112 回代得13=x ，12=x ，31=x 易知
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡
-=11112
30123001L ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡---=116000212110112U
6011
60
2112det =⨯⨯
=A ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 5. 用高斯消去法求解方程组
b Ax =，即
1234123
4214916101827644411681256190x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ （1） 列出用增广矩阵
[]b A ,表示的计算过程及解向量x ；
（2） 列出由此得到的Doolittle 三角分解LU A =中的三角阵L 和U ；
（3） 由
U 计算A det 。

解：方程组增广矩阵⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡19025681161446427811016941243
21 第一次消元：消元因子1,1,1413121===l l l ，进行消元，得
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1882527814042602460812620243
21 第二次消元：消元因子332=l ，742=l ，进行消元，得
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1321683600182460081262024321 第三次消元：消元因子643=l ，进行消元，得
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡242400
182460081262024321 回代得14=x ，13-=x ，12=x ，11-=x 易知
⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=16
71
013100110001L ， ⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=240002460012620432
1U 28824621det =⨯⨯⨯=A
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6. 用高斯消去法求解方程组
b Ax =，即
1234124
121286452310887941210
682x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ （1） 列出用增广矩阵
[]b A ,表示的计算过程及解向量x ；
（2） 列出由此得到的Doolittle 三角分解LU A =中的三角阵L 和U ；
（3） 由
U 计算A det 。

解：方程组增广矩阵⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡826
10
12479881035246
82211421 第一次消元：消元因子4,3,2413121===l l l ，进行消元，得
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----22640165440102240211421 第二次消元：消元因子132=l ，142=l ，进行消元，得
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----12040063200102240211421 第三次消元：消元因子243=l ，进行消元，得
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----24600063200102240211421 回代得44=x ，33=x ，22=x ，11=x 易知
⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=12
14
011300120001L ， ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=60003200224014
21U 486241det =-⨯-⨯⨯=A
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
7.
用追赶法求解三对角方程组f x A
=,其中
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=111,410141014f A
解：111-==c d ，122-==c d ，411==b u ，4112
2-==
u a l ，4
151222=-=c l b u ， 1542
3
3-
==
u a l ，15
56
2333=-=c l b u ，得 ⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡--
=115400141001L ，⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=15560014150014U
解得11=y ，452=y ，3
4
3=y ，
得1453=x ，732=x ，14
5
1=x
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
8.
用追赶法求解三对角方程组f x A =,其中
4101141,30142A f -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
111-==c d ，122-==c d ，411==b u ，41122-==u a
l ，4
151222=-=c l b u ，
154233-==u a
l ，15
562333=-=c l b u ，得
⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--
=115400141001L ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡--=15560014150014U
解得11=y ，25.32=y ，8668.23=y ， 得7679.03=x ，0714.12=x ，5179.01=x
Page77 例3.3.1
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
9.
用追赶法求解三对角方程组f x A
=,其中
2161321,2432351A f -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
解：111-==c d ，222-==c d ，333-==c d ，211==b u ，2
1
12
2-==
u a l ， 251222=-=c l b u ，54233-==u a
l ，5122333=-=c l b u ，4
5344-==u a l
4
5
3444=-=c l b u 得
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡---=1450
0015
4
00012100
01L ， ⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=450
0035120
0022
5000
12U 解得61=y ，42=y ，563=
y ，25
23
4=y 得125924=x 50713=x ，1253422=x ，125
546
1=x ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
五、 插值与拟合
1. 已知函数()f x 的三个点()()()0,1,1,52,1--和，写出Lagrange 插值基函数,并求2
次插值多项式()2L x .
Page117 例4.2.1
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 2. 已知()()()10,13,24f f f =-=-=,求函数()f x 过这三点的二项Lagrange 插值
多项式()2L x . 解：这里n=2
)2)(1(21
)21)(11()2)(1()()2(0-+-=-+-+=
x x x x x l
)2)(1(6
1
)21)(11()2)(1()()2(1--=------=
x x x x x l
)1)(1(3
1
)12)(12()1)(1()()2(2+-=+-+-=
x x x x x l
3
72365)(4)(3)(0)(2)
2(2)2(1)2(02-+=
⨯+⨯-⨯=x x x l x l x l x L ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 3. 求不超过3次的多项式()3p x ，使它满足插值条件：
()()()()12,01,10,00.p p p p '-=-=-==
Page 121 例4.2.4
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4. 求不超过4次的多项式()p x ，使它满足插值条件：
()()()()()000,111,2 1.p p p p p ''=====
解：构造21201100
1100)()()()()()()(x x x x a x p x p x p x p x p --+'+'++=ββαα 其中的插值基函数)(0x α，)(1x α，)(0x β，)(1x β为三次多项式，a 为待定常数。

2
2
010112
0101011101002
1010100)()(21)()()(21)(⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡---=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡---=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x βαβα
计算得20)1)(21()(-+=x x x α，2
1)23()(x x x -=α，20)1()(-=x x x β
21)1()(x x x -=β
2222)1()1()23()(-+-+-=x ax x x x x x p
由于1)2(=p ，得a =41，所以2222)1(4
1)1()23()(-+-+-=x x x x x x x p =)4
9234
1
(2
2
+-
x x x ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(1) 作函数()x f 的均差表;
(2) 用牛顿插值公式求三次插值多项式()x N 3.
2）+--+-+=))(](,,[)](,[)()(1021001003x x x x x x x f x x x x f x f x N
))()(](,,,[2103210x x x x x x x x x x f ---
=1.25+2.5)1(-x +1.5)5.1)(1(--x x +x x x )5.1)(1(--
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6. 求不超过3次的多项式()H x ，使它满足插值条件:
()()()()19,115,11,1 1.H H H H ''-=--===-
解：构造)()()()()(1100
1100x y x y x y x y x H ββαα'+'++= 其中的插值基函数)(0x α，)(1x α，)(0x β，)(1x β为三次多项式，a 为待定常数。

2
2
010112
010101110
1002
1010100)()(21)()()(21)(⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡---=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡---=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x βαβα
计算得20)1)(2(41)(-+=
x x x α，21)1)(2(41)(+-=x x x α，20)1)(1(41
)(-+=x x x β 2
1)1)(1(4
1)(+-=x x x β
++-+-+-=22)1)(2(41
)1)(2(49)(x x x x x H
22)1)(1(4
1
)1)(1(415+---+x x x x ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
7. 己知函数
()x f 的三个点处的值为：
()()()11,00,11===-f f f
在区间[-1, 1]上,求()x f 在自然边界条件下的三次样条插值多项式.
P129 例4.4.1
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
8. 已知
()x f 为定义在区间[]0,3上的函数,且有
()()()()()()00,
10.5,
2 2.0,
3 1.5,
00.2,
3 1.f f f f f f ''======-
试求区间[]0,3上满足上述条件的三次样条插值函数. 解：11≡-=+i i i x x h ，2,1,0=i
2
1
11≡+=
--i i i i h h h μ，2,1=i ；211≡-=i i μλ，2,1=i
均差表
35.061=⨯=d ，6)1(62-=-⨯=d
8.1)2.05.0(6))(],[(6
0100
0=-⨯='-=
x f x x f h d 3)5.01(6]),[)((6
12
3-=+-⨯=-'=
-n n n x x f x f h d 利用固支条件，得矩阵
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3638.121005.025.0005.025.00012
3210M M M M 用追赶法求解方程组：
111==c d ，5.022==c d ，5.033==c d ，211==b u ，25.01
22==u a
l ，
75.11222=-=c l b u ，722
3
3=
=
u a l ，7
132333=-=c l b u ，13734
4==u a l 26
453444=
-=c l b u 得 ⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡=11370
00172
00014100
01
L ， ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=26450
02171300
021470
001
2U 解得591=
y ，20512=y ，704713-=y ，13081
4=y 得2593=M 25932-=M ，25631=M ，25
90-=M 所以
+--+-+-=+++i i i i i i i i i i i h x
x h M x f h x x M h x x M x s 123131]6)([6)(6)()(
i
i
i i i h x x h M x f --++]
6)([211],[1+∈i i x x x ，i=0,1,2 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
9. 己知点列和权数{}{}{}{}5.1,1,1,1,5.0,
2,1,0,1,2404
0=--===i i i i w x ,试用三项
递推公式构造对应的正交多项式()()()x x x 210,,ϕϕϕ. 解：1)(0
0==x x ϕ，
01)(a x x -=ϕ，200
00000)]([),(),(i i m
i i x x w x a ϕϕϕϕϕ∑===
=2 于是2)(1-=x x ϕ
T
i i x )0,1,2,3,4()}({40
11----===ϕϕ，∑==4
2111)]([),(i i i x w ϕϕϕ=22
∑==4
2111)]([),(i i i i x x w x ϕϕϕ=24-
11
12
),(),(11111-==
ϕϕϕϕx a ，522),(),(00111=
=ϕϕϕϕb 于是)(522)()1112()(012x x x x ϕϕϕ-+
==5
22
)2)(1112(--+x x ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
求运动方程,并作图.
解：选择多项式子空间Φ的基函数为1)(0=t ϕ,t t =)(1ϕ,它们在自变量序列m i i x 0}{=处的函数值向量为T )1,1,1,1,1,1(0=ϕ，T )0.5,9.3,0.3,9.1,9.0,0.0(1=ϕ，数据中没有给出权数，表示默认它们都是1，即1≡i w 。

格兰姆矩阵G=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡),(),(,),(11100100ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡63.537.147.146 右端向量d=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛),(),(10ϕϕy y =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1078280 解正规方程组，得到⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=2538.228550.7*
a
得8550.72538.22-=t s
图形如下：
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
解：n=2，子空间Φ的基函数为1)(0=x ϕ，x x =)(1ϕ，22)(x x =ϕ。

数据中没有给出权数，表示默认它们都是1，即1≡i w 。

⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3828.15625.1875.15625.1875.15.2875.15.25
),(),(),(),(),(),(),(),(),(222120121110020100ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕG
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4015.44514.5768.8),(),(),(210ϕϕϕy y y d
解正规方程组，得到T
a )8432.0,8647.0,0051.1(*
=
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
13. 用自己的语言叙述最小二乘原理，并求参数
α和β，使积分值
()
2
2
sin x x dx π
αβ--⎰最小.
解：最小二乘原理：Page146 定义4.6.1，对于连续函数的情况可以用函数范数代替向量范数。

令x y sin =，x x βαϕ+=)(，选择多项式子空间Φ的基函数为1)(0=x ϕ,x x =)(1ϕ, 权函数1)(=x w 。

格兰姆矩阵G=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡),(),(,),(111
00100ϕϕϕϕϕϕϕϕ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰202202
020ππ
π
π
dx x xdx xdx dx
=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡248
8232
2ππππ
右端向量d=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛),(),(10ϕϕy y =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎰⎰202
0sin sin π
πxdx x xdx =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡11 解正规方程组，得到⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡==-6644.01148.01*d G α 1148.0=α，6644.0=β
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
六、 数值积分和数值微分
1. 求积公式
()()()()
0100
1
1
f B f A f A dx x f '++≈⎰
已知其余项的表达式为()()()1,0,∈'''=ξξf k f R
,试确定系数010,,B A A 使该求积公式具
有尽可能高的代数精确度,并给出该求积公式的余项和代数精确度的次数. 解：P165 例5.2.1
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2. 确定下列求积公式的待定参数,使该求积公式的代数精确度尽量高,并指出其代数精
确度的次数.
(1)
()()101121
1122f x dx A f A f x A f -⎛⎫
⎛⎫
≈-++ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎰ 解：题中有4个待定参数，至少要建立4个方程。

按代数精确度，分别令3
2
,,,1)(x x x x f =，带入上式，有
1)(=x f ，2210=++A A A x x f =)(，021
212110=++-
A A x A 2)(x x f =，3
2
414121210=++A A x A
3)(x x f =，08
1
8121310=++-A A x A
由第一式可知，1202A A A -=+，代入第三式可得2)312(12
1=-A x ， 4乘以第四式减去第二式得，0)14(1121=-A x x ，由题目和上面的结论知2
1
1±
≠x ，01≠A 得=1x 0，321-=A ，3
420==A A 于是得求积公式
)2
1
(34)0(32)21(34)(1
1
f f f dx x f +--≈
⎰
- 它至少有3次代数精度。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(2)
()()()()0120h
h
f x dx A f h A f A f h -≈-++⎰
解：题中有4个待定参数，至少要建立4个方程。

按代数精确度，分别令32,,,1)(x x x x f =，带入上式，有
1)(=x f ，h A A A 2210=++ x x f =)(，020=+-hA hA
2)(x x f =，3
22023
2h A h A h =
+ 3)(x x f =，02303=+-A h A h
由0≠h 和第二式可知20A A =，再由第三式可知h A A 3120==，再由第一式知h A 3
41=, 于是得求积公式
)(3
)0(34)(3)(h f h
f h h f h dx x f h
h
++-≈
⎰
- 它至少有3次代数精度。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(3)
()()()()1
1
2
010f x dx A f A f A f '≈++⎰
解：P165 例5.2.1，本题有三个未知量，至少有2次代数精度，和例5.2.1类似。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3. 确定下列求积公式的待定参数, 使该求积公式的代数精确度尽量高,指出其代数精
确度的次数, 并求出余项中的常数k .
(1)
()()()()()()1
1
2
011,
0,1f x dx A f A f A f kf ξξ''''=+++∈⎰
解：余项为三阶导数，可知求积公式至少有2次代数精度
题中有3个待定参数，至少要建立3个方程。

按代数精确度，分别令2,,1)(x x x f =，带入上式，有
1)(=x f ，110=+A A
x x f =)(，2121=
+A A 2)(x x f =，3
1
221=+A A
解得310=A ，321=A ，612-=A ，则有)1(6
1
)1(32)0(31)(10f f f dx x f '-+≈⎰
令3
)(x x f =，分别代入求积公式的左右两边，左边=41，右边=6
1，左边不等于右边，不
能使求积公式准确成立，所以该求积公式只有2次代数精度。

考虑余项，当3
)(x x f =时，代入求积公式，得
k 66141+=，72
1=k ，所以余项为： )(72
1
)(ξf f R '''=
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(2)
()()()()()1
1
1
1
1,
1,1f x dx A f A f x kf ξξ-'''=-++∈-⎰
解：余项为三阶导数，可知求积公式至少有2次代数精度
题中有3个待定参数，至少要建立3个方程。

按代数精确度，分别令2
,,1)(x x x f =，带入上式，有
1)(=x f ，210=+A A x x f =)(，0110=+-A x A
2)(x x f =，3
21210=
+A x A 解得210=A ，231=A ，3
11=x ，则有)31
(23)1(21)(11f f dx x f +-≈⎰-
令3
)(x x f =，分别代入求积公式的左右两边，左边=0，右边=9
4，左边不等于右边，不能
使求积公式准确成立，所以该求积公式只有2次代数精度。

考虑余项，当3
)(x x f =时，代入求积公式，得k 6940+=
，27
2
-=k ，所以余项为： )(27
2
)(ξf f R '''-
= ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
分别用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算()⎰
6
.28
.1dx x f 的近似值.
解：2.0=h ，4=n
复化梯形公式：
⎰
∑-=+++=≈b
a
n k n b f kh a f a f h
f T dx x f ])()(2)([2)()(1
1
，
=)]6.2()4.2(2)2.2(2)0.2(2)8.1([1.0f f f f f +⨯+⨯+⨯+⨯≈5.058337
2.0=h ，2=n
复化Simpson 公式:
⎰
∑∑-=-=++++++=≈b
a
n k n k n b f kh a f h k a f a f h
f S dx x f ])()2(2))12((4)([3)(
)(101
1
=
)]6.2()2.2
(2)4.2(4)0.2(4)8.1([15
1
f f f f f +⨯+⨯+⨯+⨯≈5.033002 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5. 分别用4段梯形公式和2段Simpson 公式计算下列积分,运算时取5位有效数字。

(1)
1
⎰
(2)
32
⎰
解：（1
）n=4,h=(9-1)/4=2 复化梯形公式：
⎰
∑-=+++=≈b
a
n k n b f kh a f a f h
f T dx x f ])()(2)([2)()(1
1
，
=)]9()7(2)5(2)3(2)1([1f f f f f +⨯+⨯+⨯+⨯≈17.228
2=h ，2=n
复化Simpson 公式:
⎰
∑∑-=-=++++++=≈b
a
n k n k n b f kh a f h k a f a f h
f S dx x f ])()2(2))12((4)([3)()(101
1
=
)]9()5(2)7(4)3(4)1([3
2
f f f f f +⨯+⨯+⨯+⨯≈17.322 精确解：17.333，复化Simpson 精确度更高些。

************************************************************************** （2）（1）n=4,h=(3-2)/4=4
1
复化梯形公式：
⎰
∑-=+++=≈b
a
n k n b f kh a f a f h
f T dx x f ])()(2)([2)()(1
1
，
=
)]3()75.2(2)5.2(2)25.2(2)2([8
1
f f f f f +⨯+⨯+⨯+⨯≈6.8245 4
1
=h ，2=n
复化Simpson 公式:
⎰
∑∑-=-=++++++=≈b
a
n k n k n b f kh a f h k a f a f h
f S dx x f ])()2(2))12((4)([3)()(101
1
=
)]3()5.2(2)75.2(4)25.2(4)2([12
1
f f f f f +⨯+⨯+⨯+⨯≈6.8141 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6. 己知求积公式:
()()()()[]120123
4
2
2
f f f dx x f +--≈
⎰
- 试利用此公式导出计算()⎰8
dx x f 的2段复化求积公式.
解：作变量置换t a
b b a x 4
2-++=
，],[b a x ∈时，]2,2[-∈t )]
3(2)2()1(2[3
4
)]1(2)0()1(2[34)()2()(2
2
224
f f f
g g g dt t g dt t f dx x f +-=+--≈=+=⎰
⎰⎰
--)]7(2)6()5(2[3
4
)]1(2)0()1(2[34)()6()(2
22
28
4
f f f
g g g dt t g dt t f dx x f +-=+--≈=+=⎰⎰⎰
--
则
()⎰
80
dx x f =)]7(2)6()5(2)3(2)2()1(2[3
4f f f f f f +-++-
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
7. 用两种不同的方法确定1212,,,x x A A ，使下面公式为Gauss 求积公式:
()()()1
1
1
2
2
f x dx A f x A f x ≈+⎰
解：（1）作变量置换t a
b b a x 2
2-++=
，],[b a x ∈时，]1,1[-∈t ，则有 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-≈+=
⎰⎰
-)32121()32121(21)2121(21)(111
f f dt t f dx x f （2）题中有4个待定参数，至少要建立4个方程。

按代数精确度，分别令32,,,1)(x x x x f =，带入上式，有
1)(=x f ，121=+A A x x f =)(，21
2211=
+A x A x 2)(x x f =，3122
2
121=+A x A x 3)(x x f =，4
123
2
131=+A x A x 解得321211-=
x ，3
21
212+=x ，2121==A A
于是得求积公式
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-≈⎰)32121()32121(21)(1
f f dx x f 它至少有3次代数精度。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
七、 常微分方程的数值解法
1. 取步长
1.0=h ，试用显式Euler 法求解初值问题：
()2,010 1.x y y x y y ⎧'
=-≤≤⎪⎨⎪=⎩
并将计算解和精确解(要求求出)比较.
解：原方程等价于x y y y 22-=' 令u y =2，得x u u 42-='，解得122++=x ce u x
，利
用初始条件，解得0=c ，得12+=x u ，方程精确解为=)(x y 12+x
显式Euler 公式：),(1n n n n y x hf y y +=+，计算结果见下表：
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2. 取
1.0=h ，试用显式Euler 法、隐式Euler 法和梯形公式求解初值问题：
()42,00.50 2.y
x y x y '=--≤≤⎧⎪⎨=⎪⎩
并将计算解和精确解(要求求出)比较.
解：Page206 例6.2.1
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3. 考虑常微分方程初值问题:
()⎩⎨
⎧=-+-='-0
11
y e x y y 分别取1,2h =,用经典R-K 方法计算到13x =.
解：Page211 经典R-K 公式，结果略（很麻烦，应该不会考！）
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
八、 非线性代数方程和方程组的解法
1. 对于方程
()032=-=x e x x f ，选择适当的初始值，分别用牛顿法和割线
法求它的全部根。

牛顿迭代公式：)
()
(1k k k k x f x f x x '-
=+， 2,1,0=k 迭代终止准则采用
ε<+-+k
k k x x x 11
迭代结果如下：1x =-0.4590，2x =0.9100，3x =3.7331 割线法公式：)()
()(11
1k k k k k k k x f x f x f x x x x --+---
=， 2,1,0=k
迭代终止准则采用ε<+-+k
k k x x x 11
迭代结果如下：1x =-0.4590，2x =0.9100，3x =3.7331
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 2. 利用Steffensen 迭代法,求方程
()01=-=x xe x f 的根.
解：迭代函数为x e x x -==)(ϕ，Steffensen 迭代函数如下：
x
x x x x x x +---
=)(2))((])([)(2
ϕϕϕϕψ Page 286 例7.2.6
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 3. 设*
x 是方程()0=x f 的m 重根()2≥m ,试证:
(1) 牛顿迭代函数()()()
x f x f x x '-
=ϕ满足()m x 11*
-='ϕ;
(2) 迭代法()()()
k k k k k x f x f m
x x x '-==+ψ1的迭代函数满足()
.0*
='x ψ 证明：由题意不妨设)()()(*x g x x x f m
-=，对)(x ϕ和)(x ψ求导即可得证。

（证明略） ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 4. 试确定常数
q p ,和r ,使迭代法
,2,1,0,52
21=++=+k x ra x qa px x k
k k k 局部收敛于
3
a ，并使收敛阶尽量高。

是几阶方法？。