高考数学考点回归总复习示范课公开课一等奖课件省赛课获奖课件

7 (lnx) 1;
x
8 (logax) 1 .
xlna
4.导数运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)
f g
(x) (x)
'
f
'
(
x)
g
(x) f ( [ g ( x)]2
x)g
若 lim y 存在 x0 x
则函数y=f(x)在x=x0处就有导数,否则就没有导数.
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜率,过点P的切线方程为:yy0=f′(x0)(x-x0).
3.几个惯用函数的导数 (1)c′=0(c为常数); (2)(xn)′=nxn-1(n∈N); (3)(sinx)′=cosx; (4)(cosx)′=-sinx; (5)(ex)′=ex; (6)(ax)′=axlna;
[剖析]本错解“歪打正着”,即使未注意到复合函数的求导,但结 论居然也被“证”出来了,显然是一种巧合,也阐明了这种错 误的隐蔽性较好.
[正解]f′(x)=(x2+bx+c)′·e-x+(x2+bx+c)·(e-x)′ =(2x+b)e-x-(x2+bx+c)e-x =e-x[-x2+(-b+2)x+b-c]. 由f′(x)=0,即 e-x[-x2+(-b+2)x+b-c]=0, 得x2+(b-2)x-b+c=0. Δ=(b-2)2-4(-b+c)=b2-4c+4. 由于b2>4(c-1),因此Δ>0. 故方程f′(x)=0有两个不等的实数根.
技法二
先化简再求导,优化解题过程
【典例2】求函数y=cotx的导数.
[解题切入点]对此题,由于课本没有给出y=cotx的直接求导公 式,某些同窗不知怎么办了.其实,将原式化为用sinx与cosx 来表达的式子,然后再按照商的求导法则来求导即可求解.
[解]因为y cotx cosx , sinx
5.(2010·新课标全国)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为 ()
A.y=x-1B.y=-x+1 C.y=2x-2D.y=-2x+2 解析:由题可知,点(1,0)在曲线y=x3-2x+1上,求导可得y′=3x2-2,
因此在点(1,0)处的切线的斜率k=1,切线过点(1,0),根据直线 的点斜式可得切线方程为y=x-1,故选A. 答案:A
均速度为(
)
A.0.41B.3
C.4
D.4.1
解析 : s 3 2.12 (3 22 ) 4.1.
t
2.1 2
答案:D
3.设函数f(x)可导,则 lim f (1 x) f (1)
x0
x
等于( )
A.f′(1)
B.3f′(1)
C.f′(1)
答案:A
D.f′(3)
4.已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为( ) A.f(x)=(x-1)3+3(x-1) B.f(x)=2(x-1) C.f(x)=2(x-1)2 D.f(x)=x-1 解析:先求f(x)的导函数,再代入验证.当f(x)=(x-1)3+3(x-1)时, f′(x)=3(x-1)2+3且f′(1)=3(1-1)2+3=3. 答案:A
(2)切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线尚有其它 的公共点.
错源一
因无视解题次序而致错
【典例1】求函数f x 1 1 在x 4处的导数.
1 x 1 x
[错解]因为f 4 1 1 2 ,所以f 4 0.
3
3
[剖析]f(x)在点x0处的导数f′(x0),事实上是导函数f′(x)在x=x0 处的函数值,即f′(x0)=f′(x)|x=x0.故求f(x)在x0处的导数 f′(x0),应先求f(x)的导函数f′(x),再将x=x0代入f′(x)求值,次 序不能颠倒.
即4x y 4 0.
2设曲线y 1 x3 4
33
与过点P 2, 4的切线相切于点
A
x0
,
1 3
x03
4 3
,
则切线的斜率k
y
|x x 0
x
2 0
.
切线方程
y
1 3
x03
4 3
x
2 0
x
x0
,
即y
x
2 0
x
2 3
x03
4 3
.
点P
2,
4
在切线上,
4
2x
2 0
2 3
x03
4 3
,即x30
技法一
活用导数定义
【典例1】设f(x)=x(x-1)(x-2)•…•(x-2006),则 f′(0)=________.
[解析]
f x f 0 f x
f (0) lim
lim
x0 x 0
x0 x
lim x 1 x 2 x 2006 x0
=1×2×3×…×2006.
[答案]1×2×3×…×2006
式的函数表达再求导.
类型三
导数的几何意义及应用
解题准备:求曲线切线方程的环节是:
①求导数f′(x);
②求斜率k=f′(x0);
Hale Waihona Puke ③写出切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0).但是要注意,当函数 f(x)在x=x0处不可导时,曲线在该点处并不一定没有切 线,同时还必须明确P(x0,y0)为切点.
【典例3】已知曲线y 1 x3 4 . 33
,
y
2x x 8
lim x0 x
lim 4 x0
x2
x
x
2
x3 .
[反思感悟]运用定义法求导数,要先求出 y , x
然后分离出与Δx无关的量,再求解.
类型二
运用求导公式求导数
解题准备:1.运用可导函数求导法则和导数公式,求函数y=f(x) 在开区间(a,b)内的导数的基本环节:
(1)分析函数y=f(x)的构造和特性;
所以y (cosx)sinx cosx(sinx) sin2 x
sin2 x cos2x sin2 x
1 sin2 x
.
[办法与技巧]某些惯用求导的方略: (1)多项式相乘型的函数求导,往往把多项式展开后再运用公
式求导. (2)以根式或分式形式出现的函数求导问题,先化成指数的形
式再运用公式求导. (3)比较复杂的函数,往往需要先化简再求导. (4)对于某些没有给出求导公式的函数,能够先化为有求导公
'
(
x)
(g(x)
0).
注意:有关导数的加减法则,可推广到有限多个状况,如 [f(x)+g(x)+h(x)]′=f′(x)+g′(x)+h′(x)等.
5.复合函数的导数 设函数u=φ(x)在点x处有导数u′=φ′(x),函数y=f(u)在点x的对
应点u处有导数y′=f′(u),则复合函数y=f(φ(x))在点x处也有 导数,且y′x=y′u·u′x或写作fx(φ(x))=f′(u)·φ′(x).
考点陪练
1.在平均变化率的定义中,自变量的增量Δx满足()
A.Δx>0
B.Δx<0
C.Δx≠0
D.Δx=0
解析:当Δx>0时,是从右端趋近,Δx<0时,是从左端趋近,这就是 “附近”的意义.
答案:C
评析:本题运用平均变化率中的Δx的意义来解决问题.
2.一物体的运动方程是s=3+t2,则在时间段[2,2.1]内对应的平
(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导;
(3)整顿得成果.
2.对较复杂的函数求导时,应先化简再求导,特别是对数函数 真数是根式或分式时,可用对数的性质把真数转化为有理 式或整式求解更为方便.
【典例2】求下列函数的导数 : 1 y x2sinx; 2 y 3xex 2x e;
(3) y lnx ; x2 1
4 y sin3 2x.
[解](1)y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx; (2)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′ =(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′ =3xln3•ex+3xex-2xln2; =(ln3+1)•(3e)x-2xln2;
3
或
2,
4 3
,
切线方程为y 4 4x 2或y 4 4(x 2),
3 即4x y 4 0或12x 3y 20 0.
[反思感悟]运用导数研究曲线的切线问题,一定要纯熟掌握下 列条件:
(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐 标可求切线斜率,已知斜率可求切点的坐标.
类型一
运用导数定义求导数
解题准备:根据导数的定义求函数的导数是求导数的基本办 法,应纯熟掌握,核心是变形,找出分子与分母的对应关系.
【典例1】用定义法求函数y 4 的导数. x2
[解]y
4 (x x)2
4 x2
4x(2x x2(x
x) x) 2
,
y x
4
2x x x2 (x x)2
y
(lnx)( x 2
1) (x2
lnxo(x2 1)2
1)
1 (x2 1) lnx 2x x (x2 1)2
x2 1 2x2 lnx x(x2 1)2 ;
4 y 3sin2x2 ?sin2x 6sin2 2xcos2x.
[反思感悟]理解和掌握求导法则和公式的构造规律是灵活进 行求导运算的前提条件.运算过程出现失误,因素是不能对 的理解求导法则,特别是商的求导法则.求导过程中符号判 断不清,也是造成错误的因素,从本例能够看出:深刻理解和 掌握导数的运算法则,再结合给定函数本身的特点,才干精 确有效地进行求导运算,才干充足调动思维的主动性,在解 决新问题时才干举一反三,触类旁通,得心应手.
1求曲线在点P 2, 4处的切线方程; 2求曲线过点P 2, 4的切线方程; 3 求斜率为4的曲线的切线方程.
[分析]求曲线的切线方程的办法是通过切点坐标,求出切线的 斜率,再通过点斜式得切线方程.
[解]1 P 2, 4在曲线y 1 x3 4 上,
33
且y x2,在点P 2, 4处的切线的斜率k y |x2 4. 曲线在点P 2, 4处的切线方程为y 4 4x 2,
第三模块导数及其应用 第十四讲导数的概念及其运算
回归课本
1.导数的概念
(1)f(x)在x=x0处的导数
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
lim f (x0 x) f (x0 ) lim y ,
x0
x
x0 x
称其为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,
[正解]因为f (x) 1 x 1 x 2 ,? 1 x 1 x 1 x
所以f x
2 (1 x)2
,f4
2. 9
错源二
无视复合函数的求导
【典例2】已知函数f(x)=(x2+bx+c)e-x,其中b,c∈R且为常数 ,若b2>4(c-1),求证:方程f′(x)=0有两个不等的实数根.
[错解]f′(x)=(x2+bx+c)′·e-x+(x2+bx+c)·(e-x)′ =(2x+b)e-x+(x2+bx+c)e-x =e-x[x2+(b+2)x+b+c]. 由f′(x)=0 即e-x[x2+(b+2)x+b+c]=0, 得x2+(b+2)x+b+c=0. Δ=(b+2)2-4(b+c)=b2-4c+4. 由于b2>4(c-1),因此Δ>0. 故方程f′(x)=0有两个不等的实数根.
3x
2 0
4
0,
x30
x
2 0
4x
2 0
4
0,
x
2 0
x0
1
4
x0
1 x 0
1
0,
x0 1 x0 22 0, 解得x0 1或x0 2,
故所求的切线方程为4x y 4 0或x y 2 0.
3 设切点为 x 0 ,
y0
, 则切线的斜率k
x
2 0
4, x0
2.
切点为
2,
4
即f′(x0)
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
(2)导函数 当x变化时,f′(x)称为f(x)的导函数,则f′(x)=y′ =
lim f (x x) f (x) .
x0
x
注意:导数是研究在x=x0处及其附近函数的变化量Δy与自变 量的变化量Δx之比的极限,它是一种局部性的概念.