江西省2020届高三(6月份)高考数学(理科)模拟试卷及答案解析

江西省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题
1.已知集合}
2
40A x x x =-≤，(){}
2log 2B x y x ==-，则A B =（ ）
A.{}
02x x ≤< B.{}
2x x < C.{}04x x ≤≤
D.{}
4x x ≤
2.复数12i
1i
z +=
-，则z =（
）
C.
5
D.
2
3.已知1a =，3b =，且()()
7
22
a b a b +⋅-=-，则向量a 与b 的夹角为（ ） A.
π6
B.
π3
C.
2π3 D.
5π6
4.已知实数x ，y 满足不等式组4020250x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，则34z x y =+-的最小值为（ ）
A.0
B.2
C.6
D.30
5.用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是（ ） A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
6.在数列{}n a 中，23a =，35a =，且212n n n a a a ++=-，则6a =（ ） A.9
B.11
C.13
D.15
7.已知()2n
a b +的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则()21n
x -展开式中3x 的系数为（ ） A.80
B.40
C.40-
D.80-
8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线2x =对称，当
02x <<时，()2
2x x f x +=-，则()5f =（ ）
A.3
B.3-
C.7
D.7-
9.在四面体ABCD 中，2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，
BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为（ ）
A.
π6
B.
π4
C.
π3
D.
π2
10.已知函数()π4sin 36f x x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的定义域为[],n m ，值域为[]4,2-，则m n -的最大值是（ ） A.π
B.
2π3
C.4π9
D.
2π9
11.设双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，点()0,Q b .已知点P 在双曲线C 的左支上，且P ，Q ，F 不共线，若PQF △的周长的最小值是8a ，则双曲线C 的离
心率是（ ）
A.3
C.5
12.若对任意的x ∈R ，都存在[]0ln 2,2x ∈，使不等式02
002640x
e x x x x x m +--++≥成立，则整数m 的最小值为（ ）（提示：ln 20.693≈） A.3
B.4
C.5
D.6
第II 卷（非选择题）
二、填空题（题型注释）
13.已知函数2(1)3x ++，若(2)5f a +=，则a =___________．
14.辊子是客家传统农具，南方农民犁开田地后，仍有大的土块.农人便用六片叶齿组成辊轴，两侧装上木板，人跨开两脚站立，既能掌握平衡，又能增加重量，让牛拉动辊轴前进，压碎土块，以利于耕种.这六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施､持戒､忍辱､精进､禅定与般若.若甲从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，放回后，乙再从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，则这两人选的叶齿对应的“度”没有相同的概率为______.
15.在数列{}n a 中，11a =，且()131n
n n a a +=+-，则数列{}n a 的前2n 项和为______.(用
含n 的式子表示)
三、解答题（题型注释）
B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c .已知44cos c b a B =+. （1）求sin A ；
（2）若6c =，AD 为BAC ∠的角平分线，D 在BC 上，且AD =b .
17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>C 的右顶点到直线
0x y -的距离为3.
（1）求椭圆C 的方程； （2）过点()2,0P ，且斜率为1
2
的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB 的面积(O 为坐标原点).
18.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，E 为AC 的中点，且2AC BE =.
（1）证明：BC ⊥平面PAB ；
（2）若PA AB BE ==，求二面角--A PB E 的余弦值.
19.某公司为了丰富员工的业余文化生活，召开了一次趣味运动会.甲､乙两人参加“射击气球”这项比赛活动，他们依次轮流射击气球一次，每人射击n 次(射击次数由参与比赛的两人决定)，其中射击气球只有两种结果：“中”与“不中”.比赛规则如下：甲先射击，若结果是“中”，则本次射击得2分，否则得1分；再由乙第一次射击，若结果为“中”，其得分在甲第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第二次射击，若结果为“中”，其得分在乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由乙第二次射击，若结果为“中”，其得分在甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第三次射击，按此规则，直到比赛结束.已知甲､乙每次击中气球的概率均为
2
3
.记i X ，()1,2,3,,i Y i n =分别表示甲，乙第i 次射击的得分.
（1）若3n =，记乙的累计得分为Y ，求3Y >的概率. （2）①求数学期望()1E X ，()1E Y ，()2E X ；
②记()11a E X =，()21a E Y =，()32a E X =，….证明：数列{}3n a -为等比数列. 20.已知函数()()ln f x x x a a R =--∈. （1）讨论()f x 的零点个数； （2）若()()ln 1x a
g x e
x x a x -=-+-，(]1,1a e ∈-，求()g x 的极小值()h a 的值域.
21.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为213x t
y t =+⎧⎨
=+⎩
(t 为参数)，曲线2C 的参数方程为21
2x m y m
⎧=-⎨
=⎩ (m 为参数). （1）求曲线1C ，2C 的普通方程；
（2）已知点(2,1)M ，若曲线1C ，2C 交于A ，B 两点，求
||MA MB -‖‖的值. 22.已知函数()|2||21|f x x x =-+-. （1）求不等式()6f x <的解集；
（2）若函数()f x 的最小值为m ，且实数,a b 满足222a b m +=，求34a b +的最大值.
四、新添加的题型
23.已知抛物线():20C x py p =>的焦点为F ，直线():0l y kx b k =+≠与抛物线C 交于A ，B 两点，且6AF BF +=，线段AB 的垂直平分线过点()0,4M ，则抛物线C 的方程是______；若直线l 过点F ，则k =______.
参考答案
1.A
【解析】1.
解一元二次不等式得集合A ，求对数型复合函数的定义域得集合B ，然后由交集定义得结论．
因为{}{
}
2
4004A x x x x x =-≤=≤≤，{}{}
20}2B x x x x =->=<，
所以{
}
02A B x x ⋂=≤<. 故选：A ． 2.D
【解析】2.
根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义和复数模的计算公式进行求解即可.
因为()()()()
2121121221311122i i i i i i i
z i i i ++++++-+====--+，
所以1322i z =--，则2
z ==. 故选：D 3.A
【解析】3.
由数量积的运算律求出a b ⋅，再根据的定义求出夹角的余弦，从而得夹角大小．
因为()()
722a b a b +⋅-=-，所以22
722
a a
b b +⋅-=-.
因为1a =，3b =，所以3
2
a b ⋅=
， 3
2cos ,213
a b a b a b ⋅<>===
⨯，则向量a 与b 的夹角为π6. 故选：A ． 4.B
【解析】4.
画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值.
由401
203
x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨
⎨
-+==⎩⎩(1,3),A ∴同理(3,1),B (7,9),C 如图，直线34z x y =+-平移到B 点时，z 取最小值为33142+⨯-= 故选：B 5.C
【解析】5.
不难作出截面是正三角形和正方形的例子，正六边形的例子是由相应棱的中点连接而成，利用反证法，和平面平行的性质定理可以证明不可能是正五边形．
如图所示：截面的形状可能是正三角形（图1），正方形（图2），正六边形（图3）
图1 图2 图3
假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知
这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形． 故选：C ． 6.B
【解析】6.
由已知212n n n a a a ++=-可得数列为等差数列，从而通过23,a a 求出公差和首项后可得数列的第6项．
因为212n n n a a a ++=-，所以211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列. 因为23a =，35a =，即11325a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11
2
a d =⎧⎨=⎩，所以61511a a d =+=.
故选：B ． 7.A
【解析】7.
由两个二项式系数相等根据组合数的性质求出n ，写出展开式的通项公式，得出3x 所在项数，从而可得其系数．
由题意37
22n n C C =，所以372n +=，解得5n =，
则()5
21x -的展开式的通项为555155(2)(1)(1)2r r r r r r r
r T C x C x ---+=-=-⋅，
由53r -=得2r ，所以3x 的系数为()2352
2801C ⋅⋅=-.
故选：A ． 8.D
【解析】8.
由题意可得()()22f x f x +=-+，再将()5f 化成()1f -，即可得到答案； 由题意可得()()22f x f x +=-+，
所以()()()()()()
3
5323211217f f f f f =+=-+=-=-=--=-.
故选：D. 9.B
【解析】9.
把四面体ABCD ，1的长方体，取AB 的中点G ，连接GE ，GF ，运用条件可得GEF △是等腰直角三角形，然后可得出答案.
如图，把四面体ABCD ，1的长方体， 取AB 的中点G ，连接GE ，GF .
因为G ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以//GF AC ，1
12
GF AC ==， 同理//GE BD ，1
12
GE BD =
=. 因为AC BD ⊥，所以GE GF ⊥， 所以GEF △是等腰直角三角形，则π4
EFG ∠=， 即异面直线EF 与AC 所成的角为π4
. 故选：B 10.C
【解析】10.
解不等式π44sin 326x ⎛⎫
-≤-
≤ ⎪⎝
⎭
，找解集中的最大区间即可． 因为π44sin 326x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以π11sin 362x ⎛
⎫-≤-≤ ⎪⎝
⎭，
则满足条件的π36x -
的最大范围是()7πππ
2π32π666
k x k k -
≤-≤+∈Z ， 解得
()2ππ2ππ
3339
k k x k -≤≤+∈Z ， 故m n -的最大值是ππ4π
939
+=. 故选：C ． 11.D
【解析】11.
由双曲线的定义可得2PF PF a '=+，结合图示，可得当'P Q F 、、共线时，PQF △的周长最小，进而可得a 与c 的关系，代入公式，即可求出离心率。

如图，设F '为C 的左焦点，连接PF '，QF '，
则QF QF '=，2PF PF a '=+，
所以PQF △的周长2l PQ PF QF PQ PF QF a '=++=+++.
因为PQ PF QF ''+≥=PQF △的周长2l a ≥.
因为PQF △的周长的最小值是8a ，所以28a a =，
所以225c a =，所以双曲线C 的离心率是c
a
=故选D 12.B
【解析】12.
设()()02
00426x f x x x x e x m =+-+-+，由题意可知()0f x ≥对x ∈R 恒成立，由0∆≤可得出02
00240x x x e m +--+≤在[]0ln 2,2x ∈上有解，令
()224x g x x x e m =+--+，可得()min 0g x ≥，利用导数求得函数()y g x =在区间
[]ln 2,2上的最小值，由此可求得整数m 的最小值.
设()()02
00426x f x x x x e x m =+-+-+，由题意可知()0f x ≥对x ∈R 恒成立，
则()()
02
0042460x
x e x m ∆=---+≤在[]0ln 2,2x ∈上有解，
即02
00240x
x x e m +--+≤在[]0ln 2,2x ∈上有解.
设()2
24x
g x x x e m =+--+，则()22x
g x x e '=-+，
设()()h x g x '=，则()2'=-x h x e ，则函数()y h x '=在区间[]ln 2,2上单调递减，
因为[]ln 2,2x ∈，所以()()ln2
ln 220h x h e ''≤=-=，则()y g x '=在[]ln 2,2上单调递
减.
因为()ln 22ln 20g '=>，()2
260g e '=-<，所以()1ln 2,2x ∃∈，()10g x '=，
则()y g x =在[)1ln 2,x 上单调递增，在(]1,2x 上单调递减. 因为()()2
ln 2ln 22ln 22g m =++-，()2
212g e m =--，
所以()()()2
22ln 210ln 22ln 20g g e -=--->，
则()ln 20g ≤，即()2
ln 22ln 220m ++-≤，故()2
ln 22ln 22m ≥++，
因为m ∈Z ，所以m 的最小值是4. 故选：B. 13.1
【解析】13.
将2a +代入函数()f x 的解析式，解方程即可求出a 的值． 由题意可得2()()2log 335f a a +=++=， 所以2log (3)2a +=， 所以2324a +==， 解得1a =． 故答案为：1 14.25
【解析】14.
用分步计数原理求出基本事件的总数，再求出事件“两人选的叶齿对应的“度”没有相同”所含基本事件的个数，根据公式计算概率．
由题意可知所求概率2264226662
155
C C P C C ==
=. 故答案为：
25
． 15.()3918
n -
【解析】15.
对递推公式进行变形，可以证明数列()114n n a ⎧⎫+
-⎨⎬⎩⎭
是等比数列，然后利用等比数列的通项公式求出数列{}n a 的通项公式，最后根据数列{}n a 的通项公式特点，结合等比数列的前
n 项和公式进行求解即可.
因为()131n
n n a a +=+-，所以()()111113144n n n n a a ++⎡⎤
+-=+-⎢⎥⎣⎦
， 所以数列()114n n a ⎧
⎫+
-⎨⎬⎩⎭
是首项为34，公比为3的等比数列， 所以()31144
n n
n a =--，
则()()2122122121231311134444
n n n n
n n n a a ----+=--+--=，
故()()()()()1234
21231939119
8
n n n n n S a a a a a a ---=++++++=
=
-.
故答案为：
()3918
n -
16.（1
.（2）3
【解析】16.
（1）通过正弦定理将边化为角，结合三角形内角和定理和以及两角和的正弦公式可得
cos A ，最后由恒等式可得结果；
（2）设2A θ=，首先求出sin θ，然后根据ABC
ABD
ACD
S
S
S
=+列式即可求出b 的值.
（1）因为44cos c b a B =+，所以4sin sin 4sin cos C B A B =+， 所以()4sin sin 4sin cos A B B A B +=+，所以4cos sin sin A B B =. 因为sin 0B ≠，所以1cos 4
A =
，故sin A .
（2）设2A θ=，则π0,
2θ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭
. 因为AD 为BAC ∠的角平分线，所以BAD CAD θ∠=∠=， 因为2
1cos cos 22cos 14A θθ==-=
，所以cos 4θ=
，则sin 4
θ=. 因为ABC
ABD
ACD
S
S
S
=+，
所以
()
11
6sin 6sin sin 22
b A b θθ⨯⋅⋅=⨯+，
即1422⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，解得3b =. 17.（1）22
182
x y +=.（2
【解析】17.
（1）由右顶点到直线的距离得a ，再由离心率得c ，从而可得b 值，得出椭圆方程； （2）写出直线方程，直线方程与椭圆方程联立方程组消元得一元二次方程，设()11,A x y ，
()22,B x y ，得1212,y y y y +，而OAB 的面积可表示为
121
2
OP y y -，由此可得所求面积．
（1）因为椭圆C
的右顶点到直线0x y -+=的距离为3，
3=
，解得a =因为椭圆C
c a =
所以c =
b =故椭圆C 的方程为22
182
x y +=.
（2）由题意可知直线l 的方程为22x y =+， 设()11,A x y ，()22,B x y ，
联立2222
18
2x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2
2210y y +-=，
则121y y +=-，121
2
y y =-
， 从而
12y y -=
=
=故OAB
的面积12121111
22222
S OP y OP y OP y y =
+=⨯⨯-=⨯.
18.（1）证明见解析；（2）7
.
【解析】18.
（1）证明出BC AB ⊥，由PA ⊥平面ABC 得出BC PA ⊥，再由线面垂直的判定定理可证得BC ⊥平面PAB ；
（2）由（1）可知AB 、BC 、PA 两两垂直，以B 为原点，BC 、BA 的方向分别为x ，
y 轴的正方向，过点P 作平行于PA 的直线为z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，利用空间
向量法可求得二面角--A PB E 的余弦值.
（1）因为E 为AC 的中点，且2AC BE =，所以AE BE CE ==， 所以BAE ABE ∠=∠，BCE CBE ∠=∠， 所以BAE BCE ABE CBE ABC ∠+∠=∠+∠=∠.
因为180BAE BCE ABC ∠+∠+∠=，所以90ABC ∠=，即AB BC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥. 因为PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，且PA
AB A =，
所以BC ⊥平面PAB .
（2）由（1）可知AB 、BC 、PA 两两垂直，则可以以B 为原点，BC 、BA 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过点B 作平行于PA 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.
设2PA =，则()0,0,0B 、)
E
、()0,2,2P ，故(
)
3,1,0BE =
，()0,2,2BP =.
设平面PBE 的法向量(),,n x y z =，则30
220
n BE x y n BP y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，
不妨设1x =，则(1,3,n =-.
因为BC ⊥平面PAB ，所以平面PAB 的一个法向量为()1,0,0m =，
所以cos ,77
m n m n m n
⋅<>=
=
=⋅.
设二面角--A PB E 为θ，由图可知θ为锐角，则cos θ19.（1）26
27
.（2）①()153E X =
，()1199E Y =，()265
27
E X =.②证明见解析
【解析】19.
（1）根据乙每次射击得分为1分的概率得出()3P Y =的值，再由对立事件的性质，即可得出3Y >的概率；
（2）①分别得出1X ，1Y ，2X 的可能取值，求出相应的概率，列出分布列，即可得出数学期望()1E X ，()1E Y ，()2E X ； ②先由题意得出()121
1133
n n a a +=++⨯，结合等比数列的定义，即可证明数列{}3n a -为等比数列.
（1）由题意可知3Y ≥，且乙每次射击得分为1分的概率均为
1
3
则()3
113327
P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
故()()12631312727
P Y P Y >=-==-
= （2）①由题意可得1X 的可能取值为1，2.
()1113P X ==，()12
23
P X ==.
则甲第一次得分1X 的分布列为
故()112333
E X =⨯
+⨯=.
由题意可得1Y 的可能取值为1，2，3.
()113P Y ==
；()1222339P Y ==⨯=；()2243339
P Y ==⨯=. 则乙第一次得分1Y 的分布列为
故()11233999
E Y =⨯+⨯
+⨯=. 由题意可得2X 的可能取值为1，2，3，4.
()2113P X ==
；()21222339
P X ==⨯=； ()222439327P X ==⨯=；()2428
49327
P X ==⨯=.
则甲第二次得分2X 的分布列为
故()2123439272727
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ②由题意可知()1212
111333
n n n a a a +=
++⨯=+. 则()12333
n n a a +-=-，即
13233n n a a +-=-. 因为()114333
a E X -=-=-
所以数列{}3n a -是首项为43-
，公比为2
3
的等比数列. 20.（1）答案见解析.（2）)
2
2,1e e ⎡-⎣
【解析】20.
（1）对函数()f x 进行求导，根据导函数的正负性判断出函数()f x 的单调性，然后利用
函数()f x 的单调性，结合函数的最值、零点存在原理，分类讨论进行求解即可； （2）对()g x 进行求导，根据（1）中的结论，结合函数极值定义，求出()g x 的极小值
()h a 的表达式，然后利用二次函数的性质进行求解即可.
（1）因为()ln f x x x a =--，所以()111x f x x x
-'=-
=， 则当()0,1x ∈时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>. 故()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()min 11f x f a ==-. ①当1a <时，()f x 无零点； ②当1a =时，()f x 有一个零点；
③当1a >时，因为()20a a
f e e a =->，11
0a a f e e
⎛⎫=> ⎪⎝⎭， ()110f a =-<，所以()f x 有两个零点.
（2）因为()()ln 1x a
g x e x x a x -=-+-，
所以()ln ln x a
x a g x e
x a e x x x a --'=--=-+--.
由（1）可知当(]1,1a e ∈-时，()f x 有两个零点1x ，2x (不妨设1
21x x )，
()()111222ln 0,ln 0f x x x a f x x x a =--==--=, ()11ln 1110x a x F x e x e x -=-=-=，同理2()0F x =，
所以1x ，2x 也是()x a
F x e
x -=-的两个零点，
且在定义域内()f x 与()F x 的符号完全相同，
所以()g x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减， 所以()g x 的极小值为()()()22222ln 1x a
h a g x e x x a x -==-+-.
因为2x 满足222ln ,1a x x x =->， 设1
()ln ,1,()10x x x x x x
ϕϕ=->'=-
>在(1,)+∞恒成立， ()ln x x x ϕ=-在(1,)+∞单调递增，又(]1,1a e ∈-，所以(]21,x e ∈，
则()()()2
2
2222222222ln 1ln 2(1)1h a g x x x x x x x x x x ==-+-+=-=--+.
所以()())
2
22,1h a g x e e ⎡=∈-⎣.
21.（1）1C ：35y x =-，2C ：244y x =+；（2
）9
.
【解析】21.
（1）消去参数t 可得曲线1C 普通方程；将y 平方消去2m 可得曲线2C 的普通方程； （2）将直线1C 改写成过(2,1)M 的标准直线参数方程，再联立曲线2C 的普通方程化简可
得关于t 的一元二次方程，根据t 的几何意义，结合韦达定理，即可求出
||MA MB -‖‖的值.
（1）由曲线1C 的参数方程为213x t
y t
=+⎧⎨
=+⎩ (t 为参数)，消去t 得35y x =-. 由曲线2C 的参数方程为21
2x m y m
⎧=-⎨
=⎩ (m 为参数)，消去m 得244y x =+. （2）曲线1C
的标准参数方程为210
1x t y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
(t 为参数). 代入2
44y x =+
，整理得
29110105
t t +-=，
所以12t t +=，121109t t =-，
因为120t t +<，120t t <
，所以12||||9
MA MB t t -=+=‖. 22.（1）(1,3)-；（2
）.
【解析】22.
（1）首先将()f x 写成分段函数的形式，然后解出即可； （2）首先求出min 13
()22
f x f ⎛⎫==
⎪⎝⎭，然后利用柯西不等式求解即可.
（1）133,21()2211,2233,2x x f x x x x x x x ⎧
-+≤⎪⎪
⎪
=-+-=+<<⎨⎪
-≥⎪⎪⎩
，
()6f x <等价于12
336x x ⎧≤⎪⎨⎪-+<⎩，或1
2
216
x x ⎧<<⎪⎨⎪+<⎩，或2336x x ≥⎧⎨-<⎩， 解得112x -<≤
，或1
22
x <<，或23x ≤<. 故不等式()6f x <的解集为(1,3)-. （2）由（1）知()f x 在1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭上单调递减，在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增， 所以min 13
()22
f x f ⎛⎫==
⎪⎝⎭， 则223a b +=，故
34a b +≤=
(当且仅当
a =
b =)， 即34
a b +的最大值为23.24
x y = 2
±
【解析】23.
根据焦半径公式可得126y y p +=-，再根据MA MB =可得1282y y p +=-，联立即可求出p ，得到抛物线C 的方程；再联立直线l 和抛物线C 的方程，可解得
21242y y k +=+，再根据1264y y p +=-=，即可解出k ．
设()11,A x y ，()22,B x y ，
由抛物线的焦半径公式可得，12p AF y =+
，22
p BF y =+， 则126AF BF y y p +=++=，即126y y p +=-.
因为点()0,4M 在线段AB 的垂直平分线上，所以MA MB =，
则()()22
22112244x y x y +-=+-.
因为2112x py =，2
222x py =，所以()()1212280y y y y p -++-=，
因为12y y ≠，所以1282y y p +=-，则826p p -=-，解得2p =， 故抛物线C 的方程是2
4x y =.
因为直线l 过点F ，所以直线l 的方程是1y kx =+，
联立241
x y y kx ⎧=⎨=+⎩，整理得2440x kx --=，则124x x k +=，
从而()2
1212242y y k x x k +=++=+，
因为1264y y p +=-=，所以2424k +=，解得2
k =±
.
故答案为：2
4x y =；2
±
．。