高三数学第二次10月调研试题理34

惠州市 2019 届高三第二次调研考试
理科数学
全卷满分 150 分， 考试时间 120 分钟． 注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题： 本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求.
（1） 已知集合 {
}
2
30A x x x =-<， {B x y ==，则 A ∩B （）．
A 、 [0,3)
B 、 (1,3)
C 、 (0,1]
D 、 (0,1) （2） 已知向量a 1, 1， b
2, x ，若a / /
a b ， 则实数 x 的
值为（）．
A 、 －2
B 、 0
C 、 1
D 、 2 （3）为了得到函数 y sin 2x 的图象，只需把函数 sin 26
y x π
=+（）
的图象（）． A 、向左平移
12π个单位长度 B 、 向右平移12π
个单位长度 C 、向左平移6π个单位长度 D 、 向右平移6
π
个单位长度
（4） 在 ABC 中， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，则 EB =（）．
A 、3144A
B A
C - B. 1344AB AC - C 、3144AB AC +
D.
1344AB AC +
（5） 函数()2sin 1
x
f x x =
+的图象大致为（）．
（6） 设向量 a 与 b 的夹角为120， | a | ＝| b | ＝4 ，则| | a +b ｜（ ）．
A 、
B 、 4
C 、 2、 2 （7） 下面命题正确的是（）． A 、“a 1” 是“1
a
1 ” 的充分必要条件.
B 、命题“ 若 x 2
1，则 x 1” 的否命题是“ 若 x 1，则 x 2
1” .
C 、设 x ,y R ，则“x 2 且 y
2”是“x
2
y 2
4 ” 的必要而不充分条
件. D 、“a
0” 是“ab
0 ” 的必要不充分条件.
（8） 曲线 f （x ln （2x －1
－x 在点1, －1
处的切线方程是（）．
A 、 x y 2＝0
B 、x y －2＝0
C 、x －y
2＝0 D 、x －y －2
＝0
（9）已知函数f （x 是定义在 R 上的偶函数，且在，0上单调递减，
若 a f log 25， f f log 24.1， c f 20.8，则 a ，b ，c 的大小关系是
（）．
A 、 a b c
B 、 c b a
C 、b a c
D 、c a b
（10）已知()f x 是定义在 R 上的奇函数， 且f （2－x ＝f （x ， 若 f (1)＝3 ，
则 f (1) +f (2) +f (3) +…+f (2018) （）．
A 、
3 B 、 0 C 、 3 D 、 2018
（11）函数()log 32a y x =-+ (a ＞0且 a 1)过定点 P ，且角的终边过点 P ，
则sin 2+cos2
的值为（）．
A 、
75 B 、6
5
C 、 4
D 、 5 （12）已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且
，
若函数 F ( x )＝f ( x ) m 有 6 个零点，则实数 m 的取值范围是（）．
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. (13)
dx x
x )1
(2
1
⎰
+＝________．
(14）已知为第一象限角，3
cos(
)25
π
α-=，则sin2＝________． (15
）函数()sin f x x x =+在[0, ] 上的单调递减区间为 ． (16） 已知函数()()f x x R ∈的导函数为()f x '， 且 ()()2,73<'=x f f ， 则()21f x x <+的解集为_______．
三．解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考 题，每个考生都必须作答。

第22、 23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

（17）（本小题满分 12 分）
在等差数列{ a n }中， Sn 为其前 n 项和( ) n N ，且 a 3 5 ， S 3 9．
（1）求数列{ a n }的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=，求数列{bn } 的前 n 项和Tn ．
（18）（本小题满分 12 分）
已知函数（0 ）的最小正周期为．
（1）求
的值；
（2）求函数 f ( x ) 在区间上的取值范围．
（19）（本小题满分 12 分） 在
ABC 中， A ，B ，
C , 所对边分别为 a ，b ，c 。

已知 (,2)n b c =，
(sin ,sin cos )m C B A =， 且 m
n ．
（1）求A 的值；
（2）若 a ， c
2， 求ABC 的面积．
（20）（本小题满分 12 分）
已知函数32
()f x x ax bx =++在 x －2与 x 1
2
处都取得极值． （1）求函数 ()f x 的解析式及单调区间； （2）求函数 ()f x 在区间3,2的最大值与最小值．
（21）（本小题满分 12 分） 设函数()(1)()x
f x ax e a R -=+∈ （1）当 a
0时，求函数 ()f x 的单调递增区间；
（2）对任意 x 0, +
， ()
f x x 1恒成立，求实数 a 的取值范围．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、 23题中任选一题作答。

答题时请写清题号并将相
应信息点涂黑。

（22） [选修 4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 l 的参数方程为：（t 为参数，
0 ）， 以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 曲线C 的极坐
标方程为
6sin ．
（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）若点 P 1,2
， 设曲线C 与直线l 交于点 A B , ， 求｜PA ｜+｜PB ｜的最小值．
（23） [选修 4-5：不等式选讲] 已知函数()
f x ｜x －1｜+｜x －5｜．
（1）解不等式 ()f x
6 ；
（2）记 ()f x 的最小值为 m ，已知实数 a ，b ，c , 都是正实数，且111234m a b c ++=
求证： 23a b c ++9 ．
2019届高三第二次调研考试 理科数学参考答案与评分标准
一、选择题：
（1）【解析】由题意得{
}{}
30032
<<=<-=x x x x x A ，{}{}
101≤=≥-=x x x x B ，
{}(]1,010=≤<=⋂∴x x B A .故选 C 、
（2）【解析】因为()x b a ---=-1,12 ，由()
b a a
-∥，得()111-⨯-=--x ，解得2-=x ，
故选A
（3）【解析】sin 2sin[2()]126
y x x ππ
==-
+故选B.
（4）【解析】根据向量的运算法则，可得
()
AC BA BA 4
14341412141
2141
212121+=++=++=+=+=
， 所以AC AB EB 4
1
43-=
，故选A. （5）【解析】因()()()()x f x x
x x x f -=+-=+--=
-1
sin 1sin 22，则函数是奇函数，排除答案C ，D 。

又012122
>+⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫
⎝⎛ππf ，应选答案C 。

（6）【详解】因为8120cos 44-=︒⨯⨯=⋅b a ,所以1682442
22=⨯-+=+b a ，
4=+b a。

（7）【解析】
11
<a
时,有可能是负数,故选项错误；对于B 项，不满足否命题的形式，故B 项错误；对于选项,2≥x 且2≥y 的范围比42
2
≥+y x 的范围要小,应为充分不必要条件,故选项错误.对与选项,然满足.综上所述选. （8）【解析】()1
223121221122--=
-+-=--=
'x x
x x x x f , 则切线的斜率是()11='f ，切线方程是 ()()111-⨯=--x y ，即02=--y x , 故选D.
（9）【解析】由于函数为偶函数且在y 轴左边递减，那么在右边则是递增，由于
5log 1.4log 4log 2222218.0<<=<，所以a b c <<.
（10）【解析】()x f 为()∞+∞-，
的奇函数，()()x f x f -=-∴且()00=f 又由()()2f x f x -=()()2[(4)](x 4)f x f x f x f ∴=--=---=-
()x f ∴是周期为4的函数，又()()()()1322200f f f f ==-==，
∴()()()()334113f f f f =-=-=-=-，()()004==f f
()()()()0
4321=+++∴f f f f ，
()()()()()()1232018123f f f f f f ++++=+=.
（11）【解析】因为函数()()1023log ≠>+-=a a x y a 且过定点()2,4P ，所以且角α的终
边过点()2,4P ，可得 552cos ,55sin ==
αα，所以5
4
cos sin 22sin ==ααα， 531cos 22cos 2=
-=αα，5
7
53542cos 2sin =+=+αα，故选. （12）【解析】画出函数的图像，当20<≤x 时，很容易画出抛物线段，利用导数研究函数
()22≥-=
x e
x
y x
的图像的走向，从而确定出其在[)3,2上单调减，在[)∞+，3上单调增，但是其一直落在x 轴下方，因为()x f 是定义在R 上的偶函数，所以函数
()()m x f x F -=有六个零点，等价于有三个正的零点，相当于函数()x f 的图像与直
线m y =在y 轴右侧有三个交点，观察图像可知m 的取值范围是⎪⎭
⎫
⎝⎛-0,13
e ，故选D.
二、填空题： （13）3ln 2+
2
（14）
2425 （15）⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡ππ，6 （16）()3+∞，
注意：15题的答案区间端点可开可闭，也可半开半闭。

（13）【解析】根据题意，由于
dx x x )1(2
1
⎰+=221113
ln |ln 22(0)ln 2222x x +=+-+=+ （14）【解析】根据题意，34sin ,cos 55αα==，所以，24
sin 225
α=
（15）【解析】由题得()⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
=3sin 2πx x f ， 由Z k k x k ∈+
≤+
≤+
,2323
2
2πππ
π
π，得Z k k x k ∈+≤≤+,6
7262ππππ，
令0=k 得
676
ππ
≤
≤x ，因为[]π,0∈x ，所以函数的单调减区间为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ππ，6． （16）【解析】设()()()12+-=x x f x g ，因为()()2,73<'=x f f ，所以
()()()013233=+⨯-=f g ，
()()02<-'='x f x g ，所以()x g 在R 上是减函数,且()03=g .
所以()12+<x x f 的解集即是()()30g x g =<的解集。

所以3>x . 三、解答题：
17．【解析】（Ⅰ）由已知条件得1125
(232)
392
a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩分 解得11
..............................................................................................................42a d =⎧⎨
=⎩
分， 所以通项公式为2 1.....................................................................................6n a n =-分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，12-=n a n ， ∴()()111111...................................8212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪-+-+⎝⎭
分 数列{}n b 的前n 项和
121111111...................................923352121111...............................................................................10221n n
S
b b b n n n n =+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪
⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎛⎫
=- ⎪+⎝⎭=分分 (1221)
n +分 18．解：（1）1cos 2()22x f x x ωω-=
+
112cos 222x x ωω=
-+π1sin 262x ω⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭．...........................4分 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以
2π
π2ω
=，解得1ω=．.........6分
（2）由（Ⅰ）得π1()sin 262
f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666
x --≤≤，...................................8分 所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭≤≤．..................................................10分
因此π130sin 2622x ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤
⎢⎥⎣⎦， (12)
分
19．【解析】（1）⊥ ， ()()02,cos sin ,sin =⋅∴c b A B C ．....................1分
0cos sin 2sin =+∴A B c C b .
.......................................2分
C
c
B b sin sin =
2cos 0..................................................................3bc cb A ∴+=分 0,0≠≠c b 0cos 21=+∴A , .2
1
cos -=∴A ........................4分
π<<A 0 ,.3
2π
=∴A ...........................................6分
（2）A bc c b a ABC cos 22
22-+=∆中，由余弦定理可知在
21244cos120......................................................................................8b b ο∴=+-分 .0822=-+∴b b
4() 2..............................................................................10b b ∴=-=舍去或分 .3sin 2
1
==
∆∴∆A bc S ABC ABC 的面积 ................................12分
20.【解析】（1）因为()3
2
f x x bx cx =++，所以()2
'32.................1f x x ax b =++分
由()'20
941'032f a f b -=⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫
= ⎪⎪⎪=-⎩⎝⎭
⎩
，.........................3分 32
9()34
f x x x x ∴=+
-..................................4分
()()()293
'33212 (522)
f x x x x x =+
-=-+分 令()1'02f x x >⇒>或2x <-，()1
'022f x x <⇒-<<，
所以单调增区间是()1,2,,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 减区间是12,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭；...................7分
（2）由（1）可知，
x
()3,2--
2-
12,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭ 1
2
1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
()'f x
+ 0 - 0 + ()f x
递增
极大
递减
极小
递增
.... .... .... .... ...........8分
极小值113
216
f ⎛⎫=
⎪⎝⎭ ，极大值()27,f -=.......9分 而()()9
3,2114
f f -==.......10分 可得()()max min 13
11,16
f x f x ==........................12分
21．【解析】：（1）1
()(1)()..........................................2x x a f x ae ax e x a
---'=-+-分
由
0,0
x e a ->>，令
()0
f x '>得：
1
................................................................3a x a
-<
分， 所以当0a >时，单调递增区间是1,a a -⎛⎤
-∞ ⎥⎝⎦
；..................................4分 （2）令()()11x
h x ax e
x -=+--，则()1f x x ≤+成立等价于()0h x ≤，
①若0a ≤，当0x ≥，则()11,011x
ax e
f x -+≤<≤⇒≤，
而11x +≥，即()1f x x ≤+恒成立；..........................................6分 ②若02a <≤时，则()()11x
h x e
a ax -'=---，
当0x ≥，由()1t x a ax =--是减函数， ()max
11t x a ⎡⎤=-≤⎣⎦
，
又1x e -≤，所以()()0,h x h x '<在[
)0,+∞上是减函数，
此时当0x ≥， ()()00..........................................................................8h x h ≤=分
③若2a >时， ()()001?0120h e a a a -'=---=->， ()()1111110h e a a e --=--'-=--<，
所以()0h x '=在()0,1有零点.............................................9分 在区间()0,1x ∈，设()()()()()1210x x g x h x g x e ax a e a --'=⇒=+-<-<'，
所以()h x '在()0,1x ∈上是减函数..........................................10分 即()0h x '=在()0,1有唯一零点()h x 0x ，且在()00,x 上， ()0h x '>，
在()00,x 为增函数，即()h x 在()00,x 上()()00h x h >=，
所以()1f x x >+，不合题意，...................................................11分
综上可得，符合题意的a 的取值范围是(],2...................................................................12-∞分
22．【解析】（1）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=…………1分
化为直角坐标方程为226x y y +=,…………3分
即()2
239x y +-=.…………4分
（2）解法一:将直线l 的参数方程代入圆的直角坐标方程,
得()22cos sin 70t t αα+--=,…………5分 因为()2
4cos sin 470αα∆=-+⨯>故可设12,t t 是方程的两根, 所以()121227t t cos sin t t αα⎧+=--⎨=-⎩
，…………7分 又直线l 过点1,2P （）,结合t 的几何意义得
1212PA PB t t t t +=+=-==≥=
所以原式的最小值为.…………10分
解法二：由直线过点P （1,2），且点P 在圆C 内部，…………5分
故PA PB AB +=,所以当直线与线段CP 垂直时，弦AB 最短，…………7分
此时P 为AB 的中点，且CP =所以原式的最小值为…………10分
23．【解析】（1）()150f x x x =-+>-
1516x x x ⎧⎨-+-<>⎩或61515x x x ≤≤⎧⎨-+>-⎩或5561x x x -+->>⎧⎨⎩
...........................3分
解得06x x <>或..............................................................4分
综上所述，不等式()6f x >的解集为 ()
(),06,-∞+∞ ............................5分
（2）由()151(5)4f x x x x x =-+-≥---=（3x =时取等号） min ()4f x ∴=.即4m =，从而1111
23a b c ++= (7)
分
11123()(23)23a b c a b c a b c ++=++⋅++......................................8分
23233()()()92332a b a c b c b a c a c b =++++++≥...................................9分 =2=3=3a b c 时（当且仅当取等号）..........................................10分。