北京市海淀区九年级(上)第一次月考数学试卷

九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）
1.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，
若AD=1，BD=2，则DEBC的值为（）
A. 12
B. 13
C. 14
D. 19
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则cos A的值为
（）
A. 35
B. 53
C. 45
D. 34
3.以下事件为必然事件的是（）
A. 掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是0
B. 多边形的内角和是360∘
C. 二次函数的图象必过原点
D. 半径为2的圆的周长是4π
4.某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图的
折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（）
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B. 袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个
球是黄球
C. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果
AC=3，AB=6，那么AD的值为（）
A. 32
B. 92
C. 332
D. 33
6.如图，平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AC与
BE交于点F．则△EFC与△BFA的面积比为（）
A. 1：2
B. 1：2
C. 1：4
D. 1：8
7.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）
A. 三棱柱
B. 三棱锥
C. 长方体
D. 正方体
8.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，6）、B（-9，-3），以原点O为位似
中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）
A. (−1,2)
B. (−9,18)
C. (−9,18)或(9,−18)
D. (−1,2)或(1,−2)
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9.若ab=34，则a+bb的值为______．
10.△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，则△DEF
的周长为______．
11.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan B的值为
______．
12.如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，
AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的
对应点为A，C，那么线段CE的长应等于______．
13.某农场引进一批新麦种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取800 粒麦种进行实
0.001
在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的麦种发芽的概率为．
14.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如
果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE=______．
15.如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A=30°，AB=20．点
D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件的
AD的长度值：AD=______．
16.如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图
中数据，计算这个密封纸盒的表面积为________
cm2．（结果可保留根号）．
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）
17.计算：4cos30°•tan60°-sin245°．
18.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：
△ACD∽△BCE．
19.如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点D为BC上一点，
BD=2．过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE=∠B．求
线段EC的长度．
20.已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，
求AC、AB的长．
21.已知：如图，△ABC中，AC⊥BD于C，BCCD=32，E是
AB的中点，tan D=2，CE=1，求sin∠ECB和AD的长．
22.如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，
其中顶点E，F，G分别在AB，BC，FD上．
（1）求证：△EBF∽△FCD；
（2）连接DH，如果BC=12，BF=3，求tan∠HDG的
值．
23.为了提高学生书写汉字的能力．增强保护汉字的意识，我区举办了“汉字听写大赛”，
经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
（4）第5组10名同学中，有4名男生，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，试用列表法或画树状图的方法求小宇和小强两名男同学能分在一组的概率．
24.如图，一艘渔船正自西向东航行追赶鱼群，在A处望见岛
C在船的北偏东60°方向，前进20海里到达B处，此时望
见岛C在船的北偏东30°方向，以岛C为中心的12海里
内为军事演习的危险区．请通过计算说明：如果这艘渔船
继续向东追赶鱼群是否有进入危险区的可能．（参考数据：
2≈1.4，3≈1.7）
25.阅读下面材料：
小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．
请回答：
（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；
（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．
请你帮小明计算：OC=______；tan∠AOD=______；
解决问题：
如图3，计算：tan∠AOD=______．
26.如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，
再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．
（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；
（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．
①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；
②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．
27.如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点
C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）
28.在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P（x1，
y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．若|x1-x2|的最大值为m，则图形W在x 轴上的投影长度l x=M；若|y1-y2|的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度l y=n．如图1，图形W在x轴上的投影长度l x=|3-1|=2；在y轴上的投影长度l y=|4-0|=4．
（1）已知点A（3，3），B（4，1）．如图2所示，若图形W为△OAB，则l x______，l y______．
（2）已知点C（4，0），点D在直线y=2x+6上，若图形W为△OCD．当l x=l y时，求点D的坐标．
（3）若图形W为函数y=x2（a≤x≤b）的图象，其中0≤a＜b．当该图形满足l x=l y≤1时，请直接写出a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：∵AD=1，DB=2，
∴AB=AD+BD=1+2=3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴==．
故选：B．
由AD=1，DB=2，即可求得AB的长，又由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得DE：BC=AD：AB，则可求得答案．
此题考查了相似三角形的判定和性质，此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．
2.【答案】A
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
由勾股定理，得
AB==5．
cosA==，
故选：A．
根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3.【答案】D
【解析】
解：A、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是0，是不可能事件，故此选项错误；
B、多边形的内角和是（n-2）×180°，故此选项错误；
C、二次函数的图象不一定过原点，故此选项错误；
D、半径为2的圆的周长是4π，正确．
故选：D．
分别利用多边形内角和定理以及二次函数的图象的性质以及圆的周长公式分别判断得出即可．
此题主要考查了多边形内角和定理以及二次函数的图象的性质以及圆的周长公式等知识，正确把握相关定义是解题关键．
4.【答案】D
【解析】
解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项错误；
B、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，故本选项错误；
C、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，故本选项错误；
D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为
≈0.17，故本选项正确．
故选：D．
根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率P≈0.16，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
5.【答案】A
【解析】
解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴AC2=AD•AB，
又∵AC=3，AB=6，
∴32=6AD，则AD=．
故选：A．
根据射影定理得到：AC2=AD•AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD 的长度．
本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，得出
△CEF∽△ABF是解题关键.利用平行四边形的性质得出AB∥DC，AB=DC，再利用相似三角形的判定与性质得出即可.
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴△CEF∽△ABF，
∴=，
∵E为DC的中点，
∴==，
∴=.
故选C.
7.【答案】A
【解析】
解：由题意三视图复原的几何体是三棱柱，
故选：A．
利用三视图复原的几何体的形状即可．
本题考查三视图与几何体的直观图的关系，判断三视图复原的几何体的形状是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】
解：∵点A（-3，6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标是（-1，2）或（1，-2），
故选：D．
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k解答．
本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
9.【答案】74
【解析】
解：根据比例的合比性质，已知=，
则=．
已知的比值，根据比例的合比性质即可求得．
熟练应用比例的合比性质．
10.【答案】90
【解析】
解：∵△ABC的三边长分别为5，12，13，
∴△ABC的周长为：5+12+13=30，
∵与它相似的△DEF的最小边长为15，
∴△DEF的周长：△ABC的周长=15：5=3：1，
∴△DEF的周长为：3×30=90．
故答案为90．
由△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，即可求得△ABC的周长以及相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题关键．
11.【答案】34
【解析】
解：如图所示：tanB==．
故答案为：．
利用锐角三角函数关系直接得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．
12.【答案】154
【解析】
解：∵∠AEC=∠BED，
∴当=时，△BDE∽△ACE，
即=，
∴CE=．
故答案为．
根据对顶角相等得到∠AEC=∠BED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当=时，△BDE∽△ACE，然后利用比例性质
计算CE的长．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或对顶角．
13.【答案】0.98
【解析】
解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多时，发芽的频率越来越稳定在0.98左右，所以可估计这种大蒜发芽的机会大约是0.98．
故答案为0.98；
利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.98左右，由此可估计发芽的机会大约是0.98．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固
定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可
以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；
用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
14.【答案】83或32
【解析】
解：第一种情况：要使△ABC∽△ADE，∠A为公共角，AB：AD=AC：AE，即8：
2=6：AE，∴AE=；
第二种情况：要使△ABC∽△AED，∠A为公共角，AB：AE=AC：AD，即8：AE=6：2，∴AE=．
故答案为：或．
两三角形有一公共角，再求夹此公共角的两边对应成比例即可．点E位置未确定，所以应分别讨论，△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED．
考查相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．需注意的是边的对应关系．
15.【答案】10
【解析】
解：过B作BE⊥AC于E，
∵∠A=30°，AB=20，
∴AE=10，
∵∠ADB是钝角，
∴∠ADB＞∠AEB，
∴0＜AD＜10，
∴AD=10，
故答案为：10．
过B作BE⊥AC于E，由∠A=30°，AB=20，得到AE=10，推出∠ADB＞
∠AEB，即可得到结论．
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记直角三角形的性质是解题的关键．
16.【答案】（753+360）
【解析】
解：根据该几何体的三视图知道其是一个正六棱柱，
∵其高为12cm，
根据正六边形的性质易知：底面边长为5cm，
∴其侧面积为6×5×12=360cm2
密封纸盒的底面积为：×5××6=cm2
∴其全面积为：（75+360）cm2．
故答案为：（75+360）．
根据该几何体的三视图知道其是一个正六棱柱，其表面积是六个面的面积加上两个底的面积．
本题考查了由三视图判断几何体及解直角三角形的知识，解题的关键是正确的判定几何体．
17.【答案】解：原式=4×32×3-（22）2
=6-12
=112．
【解析】
根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
18.【答案】证明：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠ADC=∠BEC，
而∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE．
【解析】
根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得
∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质．
19.【答案】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC是△ABD的一个外角，
∴∠ACD=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，
又∵∠B=∠ADE，
∴∠BAD=∠EDC，
∴△ABD∽△DCE，
∴ABDC=BDEC，
∵BC=6，BD=2，
∴CD=4，
∴84=2EC，
解得EC=1．
【解析】
由条件可得到∠BAD=∠EDC，可证明△ABD∽△DCE，由相似三角形的性质可得到=，代入可求得EC．
本题主要考查相似三角形的判定和性质，由条件得到∠BAD=∠DCE证得
△ABD∽△DCE是解题的关键．
20.【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC交CB的延长线
于D，
在△ABC中，∵S△ABC=3，BC=2，
∴AD=2S△ABCBC=2×32=3，
∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=180°-135°=45°，
∴AB=2AD=32，
BD=AD=3，
在Rt△ADC中，CD=2+3=5，
由勾股定理得，AC=AD2+CD2=32+52=34．
【解析】
过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，利用△ABC的面积求出AD，再求出∠ABD=45°，然后利用等腰直角三角形的性质求出AB、BD，再求出CD，利用勾股定理列式求解即可得到AC．
本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟记定理并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
21.【答案】解：∵AC⊥BD，
∴∠ACB=∠ACD=90°．
∵E是AB的中点，CE=1，
∴AB=2CE=2，BE=CE．
∵BCCD=32，
∴设BC=3x，CD=2x，
∵在Rt△ACD中，tan D=2，
∴ACCD=2，
∴AC=2CD=4x．
在Rt△ABC中由勾股定理，得AB=5x，
∵BE=CE，
∴∠ECB=∠B，
∴sin∠ECB=sin B=ACAB=4x5x=45．
∵AB=5x=2，
∴x=25，
∴AD=AC2+CD2=(4x)2+(2x)2=25x=25×25=455．
【解析】
先由AC⊥BD，E是AB的中点，CE=1，得出AB=2CE=2，BE=CE．由=，可设BC=3x，CD=2x，在Rt△ACD中，由tanD==2，得出AC=2CD=4x．在Rt△ABC中由勾股定理求得AB=5x，由BE=CE，得出∠ECB=∠B，于是利用正弦函数的定义得出sin∠ECB=sinB===．由AB=5x=2，得出x=，那么由勾股定理得出AD==2x，将x=代入计算即可．
本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，难度适中．设BC=3x后利用勾股定理求得AB=5x是解题的关键．22.【答案】（1）证明：∵在正方形ABCD，正方形EFGH中，∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，
∴BC=CD，GH=EF=FG．
又∵点F在BC上，点G在FD上，
∴∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°，
∴∠EFB=∠FDC，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△EBF∽△FCD；
（2）解：∵BF=3，BC=CD=12，
∴CF=9，DF=CF2+CD2=92+122=15，
∵△EBF∽△FCD，
∴BEBF=CFCD，
∴BE=BF⋅CFCD=3×912=94，
∴GH=FG=EF=BE2+BF2=154，
∴DG=DF-FG=15-154=454，
∴tan∠HDG=GHDG=154454=13．
【解析】
（1）根据正方形的性质可得∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，BC=CD，GH=EF=FG，然后求出∠EFB=∠FDC，再根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明；（2）先求出CF，再利用勾股定理列式求出DF，然后根据相似三角形对应边成比例求出BE，再根据锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质以及相似三角形的判定方法是解题的关键．
23.【答案】解：（1）a=50-4-6-14-10=16．
（2）频数分布直方图如图所示：
（3）优秀率=16+1050×100%=52%．
（4）用A表示小宇、B表示小强，C、D表示其他两名同学，
根据题意画树状图如下：
从上图可知共有12种等可能情况，小宇与小强两名男同学分在同一组的情况有4种，则小宇与小强两名男同学分在同一组的概率是P=412=13．
【解析】
（1）利用总数50减去其它项的频数即可求得；根据计算结果即可补全直方图；（2）根据第三组，第四组的人数，画出直方图即可；
（3）根据优秀率=×100%计算即可；
（4）利用树状图方表示出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
24.【答案】解：过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D．由
题意可知，
在△ABC中，∠CAB=30°，∠ABC=90°+30°=120°，
∴∠ACB=30°，BC=AB=20．
在Rt△CBD中，∠CBD=60°，
∴CD=CB•sin∠CBD=103（海里）．
∵103＞12，
∴这艘渔船继续向东航行追赶鱼群不会进入危险区．
【解析】
过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，根据题意求出CD的长，再和岛C 的半径12海里比较大小即可得到问题答案．
此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
25.【答案】425 5 74
【解析】
解：（1）如图所示：
线段CD即为所求．
（2）如图2所示连接AC、DB、AD．
∵AD=DE=2，
∴AE=2．
∵CD⊥AE，
∴DF=AF=．
∵AC∥BD，
∴△ACO∽△DBO．
∴CO：DO=2：3．
∴CO=．
∴DO=．
∴OF=．
tan∠AOD=．
（3）如图3所示：
根据图形可知：BF=2，AE=5．
由勾股定理可知：AF==，AB==．
∵FB∥AE，
∴△AOE∽△BOF．
∴AO：OB=AE：FB=5：2．
∴AO=．
在Rt△AOF中，OF==．
∴tan∠AOD=．
（1）用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；
（2）连接AC、DB、AD、DE．由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；
（3）如图，连接AE、BF，则AF=，AB=，由△AOE∽△BOF，可以求出AO=，在Rt△AOF中，可以求出OF=，故可求得tan∠AOD．
本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键．
26.【答案】解：（1）AD+DE=4，
理由是：如图1，
∵∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，
∴AD+DE=BC=4；
（2）①补全图形，如图2，
设DE与BC相交于点H，连接AE，
交BC于点G，
∵∠ADB=∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠BDC，
在△ADE与△BDC中，
AD=BD∠ADE=∠BDCDE=DC，
∴△ADE≌△BDC，
∴AE=BC，∠AED=∠BCD．
∵DE与BC相交于点H，
∴∠GHE=∠DHC，
∴∠EGH=∠EDC=90°，
∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，
∴EF=CB=4，EF∥CB，
∴AE=EF，
∵CB∥EF，
∴∠AEF=∠EGH=90°，
∵AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AFE=45°，
∴AF=EFcos45∘=42；
②如图2，过E作EM⊥AF于M，
∵由①知：AE=EF=BC，
∴∠AEM=∠FEM=α2，AM=FM，
∴AF=2FM=EF×sinα2=8sinα2．
【解析】
（1）根据等腰直角三角形的性质得出即可；
（2）①设DE与BC相交于点H，连接 AE，交BC于点G，根据SAS推出
△ADE≌△BDC，根据全等三角形的性质得出AE=BC，∠AED=∠BCD．求出
∠AFE=45°，解直角三角形求出即可；
②过E作EM⊥AF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM=∠FEM=，
AM=FM，解直角三角形求出FM即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，
平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难
度偏大．
27.【答案】解：（1）把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=-x2+bx+c得，
−32+3b+c=1c=4解得b=2c=4
∴二次函数解析式为y=-x2+2x+4，
配方得y=-（x-1）2+5，
∴点M的坐标为（1，5）；
（2）设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得，
3k+b=1b=4解得k=−1b=4
∴直线AC的解析式为y=-x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F
把x=1代入直线AC解析式y=-x+4解得y=3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1）
∴1＜5-m＜3，解得2＜m＜4；
（3）连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，5）
∵MG=1，GC=5-4=1
∴MC=MG2+CG2=12+12=2，
把y=5代入y=-x+4解得x=-1，则点N坐标为（-1，5），
∵NG=GC，GM=GC，
∴∠NCG=∠GCM=45°，
∴∠NCM=90°，
由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点
①若有△PCM∽△BDC，则有MCCP=CDBD
∵BD=1，CD=3，
∴CP=MC⋅BDCD=2×13=23，
∵CD=DA=3，
∴∠DCA=45°，
若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，
∵∠PCH=45°，CP=23
∴PH=23÷2=13
把x=13代入y=-x+4，解得y=113，
∴P1（13，113）；
同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=-13代入y=-x+4，解得y=133
∴P2（−13，133）；
②若有△PCM∽△CDB，则有MCCP=BDCD
∴CP=2×31=32
∴PH=32÷2=3，
若点P在y轴右侧，把x=3代入y=-x+4，解得y=1；
若点P在y轴左侧，把x=-3代入y=-x+4，解得y=7
∴P3（3，1）；P4（-3，7）．
∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1（13，113），P2（−13，133），P3（3，1），P4（-3，7）．
【解析】
（1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，通过配方法得到点M的坐标；
（2）点M是沿着对称轴直线x=1向下平移的，可先求出直线AC的解析式，将
x=1代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；
（3）由题意分析可得∠MCP=90°，则若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．
本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数解析式及相似三角形性质，解题的关键是分类讨论三角形相似的不同情况，结合特殊角的使用来求出点P 的坐标．
28.【答案】4 3
【解析】
解：（1）∵A（3，3），
∴点A在y轴上的正投影的坐标为（0，3）．
∴△OAB在y轴上的投影长度l y=3．
∵B（4，1），
∴点B在x轴上的正投影的坐标为（4，0）．
∴△OAB在x轴上的投影长度l x=4．
故答案为：4；3．
（2）如图1所示；过点P作PD⊥x轴，垂足为P．
设D（x，2x+6），则PD=2x+6．
∵PD⊥x轴，
∴P（x，0）．
∴PC=4-x．
∵l x=l y，
∴2x+6=4-x，解得；x=-．
∴D（-，）．
如图2所示：过点D作DP⊥x轴，垂足为P．
设D（x，2x+6），则PD=-2x-6．
∵PD⊥x轴，
∴P（x，0）．
∴PC=4-x．
∵l x=l y，
∴-2x-6=4-x，解得；x=-10．
∴D（-10，-14）．
综上所述，点D的坐标为（-，）或（-10，-14）．
（3）如图3所示：
设A（a，a2）、B（b，b2）．则CE=b-a，DF=b2-a2=（b+a）（b-a）．∵l x=l y，
∴（b+a）（b-a）=b-a，即（b+a-1）（b-a）=0．
∵b≠a，
∴b+a=1．
又∵0≤a＜b，
∴a+a＜1，
∴0≤a＜．
（1）确定出点A在y轴的投影的坐标、点B在x轴上投影的坐标，于是可求得问题的答案；
（2）过点P作PD⊥x轴，垂足为P．设D（x，2x+6），则PD=|2x+6|．PC=|3-x|，然后依据l x=l y，列方程求解即可；
（3）设A（a，a2）、B（b，b2）．分别求得图形在y轴和x轴上的投影，由l x=l y可得到b+a=1，然后根据0≤a＜b可求得a的取值范围．
本题主要考查的是二次函数的综合应用、解答本题主要应用了图形W在坐标轴上的投影长度定义、一次函数、二次函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，依据l x=l y列出关于x的方程和不等式是解题的关键．。