高一数学人教A版必修1单元测评五：第三章函数的应用含答案试卷分析详解

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1.若函数f(x)=
1
21
+x ,则该函数在(-∞,+∞)上是（ ） A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值 思路解析：利用函数的图象就可以判断推出函数f(x)=1
21
+x
在(-∞,+∞)上是单调递减无最小值，故选A. 答案：A 2.设3x =
7
1
,则（ ） A.-2<x<-1 B.-3<x<-2 C.-1<x<0 D.0<x<1 思路解析：利用对数函数将3x =71转化为x=log 37
1
，再根据对数函数性质进行判断推出-2=log 3
9
1
＜x=log 371＜log 331=-1，故选A.
答案：A
3.函数f(x)=
21
++x ax 在区间(-2，+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A.(0,21) B.(2
1
,+∞)
C.(-2,+∞)
D.(-∞,-1)∪（1，+∞）
思路解析：已知函数f(x)=2
1
++x ax 在区间(-2，+∞)上单调递增， 转化得f(x)=21++x ax =a+221+-x a 在区间(-2，+∞)上也单调递增，故1-2a ＜0⇒a ＞2
1
.
故选B.
答案：B 4.函数f(x)=
)
34(log 1
22-+-x x 的定义域为（ ）
A.(1,2)∪(2,3)
B.(-∞,1)∪(3,+∞)
C.(1,3)
D.［1,3］ 思路解析：f(x)=)
34(log 1
2
2-+-x x 根据对数函数性质我们可以得到-x 2+4x-3＞0，且-x 2+4x-3≠1
可得{x|1＜x ＜3且x ≠2}=，故选A.
答案：A
5.若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，在（-∞,0］上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)<0的x 的取值范围是（ ）
A.(-∞,2)
B.(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-2,2) 思路解析：f(x)是定义在R 上的偶函数，则f(-x)=f(x)，又f(x)在(-∞,0］上是减函数，且f(2)=0，则可以根据偶函数性质判断出使得f(x)＜0的x 的取值范围是(-2,2)，故选D. 答案：D
6.已知实数a 、b 满足等式(
21)a =(3
1)b
，下列五个关系式,其中不可能成立的关系式有（ ） ① 0<b<a ② a<b<0③ 0<a<b ④ b<a<0 ⑤ a=b
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 思路解析：已知实数a 、b 满足等式(
21)a =(3
1)b
，则根据幂函数性质可以判断出等式成立的条件，当a=b=0时等式可成立；当0＜b ＜a 时等式可成立；当a ＜b ＜0时等式也成立，故不
可能成立的关系式有两个，选B. 答案：B
7.设0<a<1，函数f(x)=log a (a 2x -2a x -2)，则使f(x)<0的x 的取值范围（ ） A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,log a 3) D.(log a 3,+∞)
思路解析：已知0＜a ＜1，函数f(x)=log a (a 2x-2a x -2)＜0，即求a 2x-2a x -2＞1，a 2x-2a x -3＞0⇒(a x -3)(a x +1)＞0⇒a x ＜-1（舍）或a x ＞3,a x ＞3⇒x ＜log a 3. 答案：C 8.设a=
22ln ,b=53ln ,c=5
5
ln ,则（ ） A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c
思路解析：通过对数函数性质即可得到结果. 答案：C
9.定义在(-∞,+∞)上的奇函数f(x)和偶函数g(x)在区间(-∞,0］上的图象关于x 轴对称，且f(x)为增函数，则下列各选项中能使不等式f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)成立的是（ ） A.a>b>0 B.a<b<0 C.ab>0 D.ab<0
思路解析：已知定义在(-∞,+∞)上的奇函数f(x)和偶函数g(x)在区间(-∞,0］上的图象关于x 轴对称，且f(x)为增函数，则根据图象性质及函数的奇偶性可以得到f(b)-f(-a)=f(b)+f(a)＞g(a)-g(-b)=g(a)-g(b)成立的条件为a ＞b ＞0，故选A. 答案：A
10.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L 1=5.06x-0.15x 2和L 2=2x ，其中x 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ）
A.45.606
B.45.6
C.45.56
D.45.51
思路解析：设在甲地销售汽车x 辆，则在乙地销售汽车(15-x)辆，得可获得的总利润为 L=L 1+L 2=5.06x-0.15x 2+2(15-x)=30+3.06x-0.15x 2，配方得到 L=-0.15(x+10.2)2+45.606≤45.606故选A. 答案：B
A.(
21,1) B.(21,+∞) C.(0,21)∪［1,+∞) D.(0, 2
1) 答案：A 12.函数f(x)=
x x x ---4lg 3
2
的定义域是_______________. 思路解析：⎪⎩
⎪
⎨⎧<≠≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-≥-4320403,02x x x x x x ⇒x ∈［2,3］∪(3,4).
答案：［2,3)∪(3,4) 13.若函数f(x)=log a (222a x x ++
)是奇函数，则a=________________.
思路解析：函数f(x)=log a (x+2
2
2a x +）是奇函数，即f(-x)=-f(x)，代入可以得到log a (-x+
222)(a x +-)=-log a (x+222a x +),化简得到a=
2
2
为所求. 答案：
2
2 14.已知函数y=f(x)与y=f -1(x)互为反函数，又y=f -1(x+1)与y=g(x)的图象关于直线y=x 对称，若f(x)=2
1log (x 2+2)(x>0)；f -1(x)=___________;g(6)=______________.
思路解析：利用反函数的性质和图象性质可以直接得到结果. 答案：)1(2)2
1(-<-x x
;-4
15.已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是_____________________. 思路解析：如右图所示，利用勾股定理可以得到所求即为PM=PN ，而四边形CNPM 为矩形，所求即四边形面积，当四边形为正方形时可取得最大面积.利用三角形相似可以得到一些量化关系，观察易得到△ACB ∶△PBM ∶△ANP ，利用量化关系可以得到，当PM=PN=3时可以取得最大值，最大值为3.
答案：3
16.已知函数f(x)=b
ax x +2
（a ，b 为常数）且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.
求函
数f(x)的解析式.
思路解析：利用函数根的性质作出判断，将x 1=3,x 2=4分别代入方程，分别解出a,b 的值即可得到所求结果.
答案：将x 1=3,x 2=4分别代入方程b ax x +2
-x+12=0得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=+-=+,
8416,939
b
a b
a 解得⎩⎨⎧=-=.2,1
b a 所以f(x)=x x -22 (x ≠2). 17.已知函数f(x)=x 3+x,x ∈R
（1）指出f(x)在定义域R 上的奇偶性与单调性（只须写出结论，无需证明）； （2）若a 、b 、c ∈R ，且a+b>0,b+c>0,c+a>0，试证明：f(a)+f(b)+f(c)>0.
思路解析：利用函数单调性和奇偶性判断；根据已知条件a+b ＞0,b+c ＞0,c+a ＞0，可以判断出f(a),f(b),f(c)之间的大小关系. 答案：（1）f(x)是定义域R 上的奇函数且为增函数． （2）由a+b ＞0得a ＞-b.由增函数， 得f(a)＞f(-b),
由奇函数，得f(-b)=-f(b)， ∴f(a)+f(b)＞0,
同理可得f(b)+f(c)＞0,f(c)+f(a)＞0,
将以上三式相加后，得f(a)+f(b)+f(c)＞0.
18.20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花、水稻.这些作物每亩地所需劳力和预计产值如下表.应怎样计划才能使每亩地都能种上作物（水稻必种），所有劳力都有工作且作物预计总产值达最高？
劳动力得到使用以及获得最大产值.
答案：设种x 亩水稻（0＜x ≤50＝，y 亩棉花（0＜x ≤50＝时，总产值为h 且每个劳力都有工作.
h=0.3x+0.5y+0.6［50-(x+y)］且x 、y 满足4x +31y+2
1
［50-(x+y)］=20. 即h=-
20
3
x+27,4≤x ≤50,x ∈N 欲使h 为最大，则x 应为最小，故当x=4（亩）时，h max =26.4万元，此时y=24（亩）． 故安排1人种4亩水稻，8人种24亩棉花，11人种22亩蔬菜时农作物总产值最高且每个劳力都有工作.
19.某公司生产的A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售.第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A 型商品定价为每件70元，年销售量为11.8万件.第二年，商场开始对该商品征收比率为p%的管理费（即销售100元要征收p 元），于是该商品的定价
上升为每件
%
170
p -元，预计年销售量将减少p 万件.
（1）将第二年商场对该商品征收的管理费y(万元)表示成p 的函数,并指出这个函数的定义域； （2）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p%的范围是多少？
（3）第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p 应为多少？
思路解析：根据题目分析可以得到第二年该商品年销售量为（11.8-p ）万件，年销售收入 为
%170p -(11.8-p)万元，则商场该年对该商品征收的总管理费为%
170
p -(11.8-p)p%（万元），
可以得到所求函数，利用函数关系式的自变量和因变量取值范围便可解决后面的问题. 答案：（1）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8-p ）万件，年销售收入为
%
170
p -(11.8-p)万元，则商场该年对该商品征收的总管理费为
%
170
p -(11.8-p)p%（万元）.
故所求函数为:y=
p -10070(118-10p)p.由 11.8-p ＞0及p ＞0得定义域为0＜p ＜559
.
（2）由y ≥14，得
p
-1007
(118-10p)p ≥14.化简得p 2-12p+20≤0，即(p-2)(p-10)≤0，
解得2≤p ≤10.故当比率在［2%，10%］内时，商场收取的管理费将不少于14万元. （3）第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时，厂家的销售收入为g(p)=%
170
p -(11.8-p)（2≤p ≤10）.
∵g(p)=%
170
p -(11.8-p)=700(10-p -100882)为减函数，
∴g(p)max =g(2)=700（万元）.
故当比率为2%时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于14万元.
20.已知二次函数f(x)=ax 2+bx （a ，b 为常数，且a ≠0）满足条件：f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x 有等根.
（1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在实数m,n(m ＜n)，使f(x)的定义域和值域分别为［m,n ］和［4m,4n ］，如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由.
思路解析：利用等根可得判别式Δ=0即可得到b 的值，同时根据f(x-1)=f(3-x)知此函数图ax 2+bx-2x=0象的对称轴方程为x=-
a
b
2=1，得a 的值.
解：(1)∵方程有等根，Δ=(b-2)2=0，得b=2.
由f(x-1)=f(3-x)知此函数图ax 2+bx-2x=0象的对称轴方程为x=-a
b
2=1，得a=-1，故f(x)=-x 2+2x.
(2)∵f(x)=-(x-1)2+1≤1， ∴4n ≤1，即n ≤4
1
.而抛物线y=-x 2+2x 的对称轴为x=1， ∴当n ≤
4
1
时，f(x)在［m,n ］上为增函数． 若满足题设条件的m,n 存在，则⎩⎨
⎧==.
4)(,
4)(n n f m m f
即⎩⎨⎧-==-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-.20,2042422
2
n n m m n
n n n m m 或或 又m ＜n ≤
4
1
， ∴m=-2,n=0,
这时，定义域为［-2,0］，值域为［-8,0］.由以上知满足条件的m,n 存在, m=-2,n=0. 21.设函数f(x)表示实数，x 在与x 的给定区间内整数之差绝对值的最小值. （1）当x ∈［-
21,21］时，求出f(x)的解析式，当x ∈［k-21,k+2
1
］(k ∈Z ）时，写出用绝对值符号表示的f(x)的解析式，并说明理由；
（2）用偶函数定义证明函数f （x ）是偶函数（x ∈R ）. 思路解析：当x ∈［-
21,21］时，由定义知：x 与0距离最近，故当x ∈［k-21,k+2
1
］(k ∈Z ）时，由定义知：k 为与x 最近的一个整数，可以得到第一问的解答；利用偶函数的定义
证明第二问，需要注意使用第一问的结论，可以简化证明过程. 答案：（1）当x ∈［-21,21］时，由定义知：x 与0距离最近，f(x) =|x|，x ∈［-21,2
1
］， 当x ∈［k-
21,k+2
1
］(k ∈Z )时，由定义知：k 为与x 最近的一个整数，故 f(x)=|x-k|，x ∈［k-21,k+2
1
］(k ∈Z ).
（2）对任何x ∈R ，函数f(x)都存在，且存在k ∈Z ，满足k-21≤x ≤k+2
1
，f(x)=|x-k|.由k-21≤x ≤k+21可以得出-k-21≤-x ≤-k+2
1
(k ∈Z ), 即-x ∈［-k-21,-k+2
1
］(-k ∈Z ）.
由（1）的结论，f(-x)=|1-x-(-k)|=|k-x|=|x-k|=f(x),
即f(x)是偶函数.。