2016-2017学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程单元检测(B)
2017-2018学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末综合测评 新人教B版选修2-1
(二) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线3x 2－y 2＝9的焦距为( ) A. 6 B ．2 6 C ．2 3D ．4 3【解析】 方程化为标准方程为x 23－y 29＝1，∴a 2＝3，b 2＝9.∴c 2＝a 2＋b 2＝12，∴c ＝23，∴2c ＝4 3. 【答案】 D2．对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( ) A ．开口向上，焦点为(0,1) B ．开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 C ．开口向右，焦点为(1,0) D ．开口向右，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 【解析】 抛物线可化为x 2＝14y ，故开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116.【答案】 B3．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )【导学号：15460057】A.12 B ．32C ．1D ． 3【解析】 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线3x －y ＝0的距离为|3×1－1×0|32＋12＝32，故选B. 【答案】 B4．已知抛物线C 1：y ＝2x 2的图象与抛物线C 2的图象关于直线y ＝－x 对称，则抛物线C 2的准线方程是( )A ．x ＝－18B ．x ＝12C ．x ＝18D ．x ＝－12【解析】 抛物线C 1：y ＝2x 2关于直线y ＝－x 对称的C 2的表达式为－x ＝2(－y )2，即y 2＝－12x ，其准线方程为x ＝18.【答案】 C5．已知点F ，A 分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ． 3 C.1＋32D ．1＋52【解析】 ∵FB →·AB →＝0，∴FB ⊥AB ，∴b 2＝ac ，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－1－e ＝0，∴e ＝1＋52.【答案】 D6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x【解析】 由e ＝52，得c a ＝52， ∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝12a . 而x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b ax ， ∴所求渐近线方程为y ＝±12x .【答案】 C7.如图1，已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，OP∥AB (O 为原点)，则该椭圆的离心率是( )图1A.22B ．24C ．12D ．32【解析】 因为PF ⊥x 轴，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 又OP ∥AB ，所以b a ＝b 2ac，即b ＝c .于是b 2＝c 2，即a 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22. 【答案】 A8．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞【解析】 因为双曲线左焦点的坐标为F (－2,0)，所以c ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋1， 即4＝a 2＋1，解得a ＝ 3.设P (x ，y )，则OP →·FP →＝x (x ＋2)＋y 2， 因为点P 在双曲线x 23－y 2＝1上，所以OP →·FP →＝43x 2＋2x －1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－34－1.又因为点P 在双曲线的右支上，所以x ≥ 3. 所以当x ＝3时，OP →·FP →最小，且为3＋23， 即OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)．【答案】 B9．已知定点A ，B 满足AB ＝4，动点P 满足PA －PB ＝3，则PA 的最小值是( ) A.12 B ．32 C ．72D ．5【解析】 已知定点A ，B 满足AB ＝4，动点P 满足PA －PB ＝3，则点P 的轨迹是以A ，B 为左、右焦点的双曲线的右支，且a ＝32，c ＝2.所以PA 的最小值是点A 到右顶点的距离，即为a ＋c ＝2＋32＝72，选C.【答案】 C10．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2n ＝1的离心率为12，则n ＝( )A. 3 B ．32 C ．23D ．83【解析】 依题意知，a ＝2，b ＝n ， ∴c 2＝a 2－b 2＝2－n ， 又e ＝12，∴c 2a 2＝2－n 2＝14，∴n ＝32. 【答案】 B11．已知直线y ＝k (x ＋2)与双曲线x 2m －y 28＝1，有如下信息：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 2m －y28＝1，消去y 后得到方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，分类讨论：(1)当A ＝0时，该方程恒有一解；(2)当A ≠0时，Δ＝B 2－4AC ≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1, 3]B ．[3，＋∞)C ．(1,2]D ．[2，＋∞)【解析】 依题意可知直线恒过定点(－2,0)，根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点，故需要定点(－2,0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边，即－2≤－m ，即0<m ≤4，又e ＝1＋b 2a2＝1＋8m，所以e ≥ 3.【答案】 B12．已知点P 为抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，直线l 过点P 且与x 轴平行，若同时与直线l 、直线PF 、x 轴相切且位于直线PF 左侧的圆与x 轴切于点Q ，则点Q ( )A ．位于原点的左侧B ．与原点重合C ．位于原点的右侧D ．以上均有可能【解析】 设抛物线的准线与x 轴、直线l 分别交于点D ，C ，圆与直线l 、直线PF 分别切于点A ，B .如图，由抛物线的定义知PC ＝PF ，由切线性质知PA ＝PB ，于是AC ＝BF .又AC ＝DO ，BF ＝FQ ，所以DO ＝FQ ，而DO ＝FO ，所以O ，Q 重合，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．(2013·江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．【解析】 由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3， 所以两条渐近线方程为y ＝±34x .【答案】 y ＝±34x14．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若F 2A＋F 2B ＝12，则AB ＝________.【导学号：15460058】【解析】 由题意，知(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)＝AB ＋AF 2＋BF 2＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得AB ＋(BF 2＋AF 2)＝20，即AB ＝8.【答案】 815.如图2所示，已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且在x 轴的上方，过点A 作AB ⊥l 于B ，AK ＝2AF ，则△AFK 的面积为________．图2【解析】 由题意知抛物线的焦点为F (2,0)，准线l 为x ＝－2，∴K (－2,0)，设A (x 0，y 0)(y 0＞0)，∵过点A 作AB ⊥l 于B ，∴B (－2，y 0)，∴AF ＝AB ＝x 0－(－2)＝x 0＋2，BK 2＝AK 2－AB 2，∴x 0＝2，∴y 0＝4，即A (2,4)，∴△AFK 的面积为12KF ·y 0＝12×4×4＝8.【答案】 816．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若FQ ＝2，则直线l 的斜率等于________．【解析】 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x ＋，联立得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝－k 2－k 2，∴x 1＋x 22＝－k 2－2k 2＝－1＋2k 2，y 1＋y 22＝2k， 即Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k2，2k .又FQ ＝2，F (1,0)，∴⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝4，解得k ＝±1.【答案】 ±1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3.求椭圆C 的方程．【解】 设椭圆的半焦距为c ，依题意，得a ＝3且e ＝c a ＝63， ∴a ＝3，c ＝2， 从而b 2＝a 2－c 2＝1，因此所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.18．(本小题满分12分)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2100＋y 2b2＝1(0＜b ＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．(1)求PF 1·PF 2的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．【解】 (1)PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝100(当且仅当PF 1＝PF 2时取等号)，∴PF 1·PF 2的最大值为100.(2)S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin 60°＝6433，∴PF 1·PF 2＝2563，①由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝4a 2，PF 21＋PF 22－4c 2＝2PF 1·PF 2cos 60°，∴3PF 1·PF 2＝400－4c 2.② 由①②得c ＝6，∴b ＝8.19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在x 轴上，半径为4的圆C 位于y 轴右侧，且与y 轴相切．(1)求圆C 的方程；(2)若椭圆x 225＋y 2b 2＝1的离心率为45，且左、右焦点为F 1，F 2.试探究在圆C 上是否存在点P ，使得△PF 1F 2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．【解】 (1)依题意，设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝16(a >0)． ∵圆与y 轴相切，∴a ＝4， ∴圆的方程为(x －4)2＋y 2＝16.(2)∵椭圆x 225＋y 2b 2＝1的离心率为45，∴e ＝c a ＝25－b 25＝45，解得b 2＝9.∴c ＝a 2－b 2＝4， ∴F 1(－4,0)，F 2(4,0)， ∴F 2(4,0)恰为圆心C ，(ⅰ)过F 2作x 轴的垂线，交圆于点P 1，P 2，则∠P 1F 2F 1＝∠P 2F 2F 1＝90°，符合题意； (ⅱ)过F 1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P 3，P 4， 连接CP 3，CP 4，则∠F 1P 3F 2＝∠F 1P 4F 2＝90°，符合题意． 综上，圆C 上存在4个点P ，使得△PF 1F 2为直角三角形．20．(本小题满分12分)(2016·江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积． 【解】 (1)∵e ＝2， ∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过点P (4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)法一 由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上， ∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2. ∴MF 1→·MF 2→＝0.法二 ∵MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底边|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝6.21．(本小题满分12分)(2013·北京高考)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 【解】 (1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.所以菱形OABC 的面积是 12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝ 3. (2)四边形OABC 不可能为菱形．理由如下： 假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则x 1＋x 22＝－4km1＋4k2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k2.所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1， 所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且k OA ·k OB ＝－b 2a2.求证：△AOB 的面积为定值．【解】 (1)由题意得，b ＝|0－0＋6|2＝3，c a ＝12，又b 2＋c 2＝a 2，联立解得a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 化简得，(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. ∴x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，由Δ>0得4k 2－m 2＋3>0，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 24m 2－123＋4k 2＋km ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 3＋4k 2＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2.∵k OA ·k OB ＝－34，y 1y 2x 1x 2＝－34，即y 1y 2＝－34x 1x 2，∴3m 2－12k 23＋4k 2＝－34·4m 2－123＋4k 2，即2m 2－4k 2＝3，∵|AB |＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝＋k2k 2－m 2＋＋4k22＝＋k 2＋4k 22·3＋4k22 ＝＋k 23＋4k2.又O 到直线y ＝kx ＋m 的距离d ＝|m |1＋k2.11 ∴S △AOB ＝12d |AB |＝12|m |1＋k 2＋k 23＋4k 2 ＝12m 21＋k 2·＋k 23＋4k 2 ＝123＋4k 22·243＋4k 2 ＝3，为定值．。
高二数学单元测试题《圆锥曲线与方程》
高二级数学单元测试题《圆锥曲线与方程》总分100分一、选择题（每小题5分；共50分）1. 抛物线22y x =-的焦点坐标是（ ）.A 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.B()0,1.C 10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭.D 10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭2. 设双曲线的焦点在x 轴上；两条渐近线方程为12y x =±；则该双曲线的离心率是（ ）.A 5 .B.C.D543. 14k <<是方程22141x y k k +=--表示椭圆的（ ） .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件.D 既不充分又不必要条件4. 已知定点,A B 且4AB =；动点P 满足3PA PB -=；则PA 的最小值是（ ）.A21 .B23 .C27 .D 55. 已知椭圆22153x y +=；双曲线22153x y -=和抛物线24y x =的离心率分别为123,,e e e ；则（ ） .A 123e e e >.B 123e e e =.C 123e e e <.D 123e e e ≥6. 若双曲线2214x y k +=的离心率(1,2)e ∈；则k 的取值范围是（ ） .A (,0)-∞.B (3,0)-.C (12,0)-.D (60,12)--7. 过双曲线221169x y -=的右焦点2F 有一条弦PQ ；6PQ =；1F 是左焦点；那么△1F PQ 的周长为（ ） .A 28.B 22.C 14.D 128. 设12,x x R ∈；常数0a >；定义运算""⊗为：12124x x x x ⊗=；等号右边是通常的乘法运算；如果在平面直角坐标系中；动点P 的坐标(),x y 满足关系式：22y ya x ⊗=⊗；则动点P 的轨迹方程为（ ） .A 212y ax =.B 2y ax = .C 22y ax =.D 24y ax =9. 设2226,a b z a b +==+则的最小值是（ ）.A 22- .B 335-.C 3- .D 27-10. 若椭圆221x y m p +=与双曲线()221,,0,x y m n p m p n p-=>≠有公共的焦点12,F F ；其交点为P ；则△12PF F 的面积是（ ）.A m n +.B2m n+ .C p.D2p 二、填空题（每小题4分；共20分）11. 椭圆的焦点是()()123,0,3,0F F -；P 为椭圆上一点；且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项；则椭圆的方程为____________．12. 已知点,A B 的坐标分别是(1,0),(1,0)-；直线,AM BM 相交于点M ；且它们的斜率之积为1；求点M的轨迹方程____________．13. 直线3y x =-与抛物线x y 42=交于A 、B 两点；过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线；垂足分别为P 、Q ；则梯形APQB 的面积为 ．14. 直线1y x =-与椭圆22142x y +=相交于,A B 两点；则AB =____________． 15. 已知直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支相交于不同的两点；则k 的取值范围是 ．三、解答题（第1题15分；第2题15分）16. 求标准方程：（1）若椭圆长轴长与短轴长之比为2；它的一个焦点是(215,0)； 求椭圆的标准方程； （2）若双曲线的渐近线方程为x y 3±=；它的一个焦点是(10,0)；求双曲线的标准方程。
第二章圆锥曲线与方程_单元练习题_文科(选修1-1)B卷
第二章B 卷B1 椭圆 （课外提升训练）【理解整合】1. ★★椭圆2212x y +=上的一点P 到焦点1F 的距离等于1，则点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）A ．1B ．3C 1D ．12.★★焦点坐标为()()0,6,0,6-，10a =，则此椭圆的标准方程为（ ）A ．22110064x y +=B ．22110036x y +=C ．22110064y x +=D ．22110036y x += 3.★★若椭圆2214x y m +=的焦距为2，则m 的值为（ ） A ．5B ．8C ．53或D ．204.★★★下列方程所表示的曲线中，关于x 轴、y 轴都对称的是（ ）A ．2220x xy y ++=B ．2250x x y -+=C ．24981x y +=D ．224x y =5.★★椭圆221123x y +=的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么M 点的纵坐标是（ ）A ．±．．．34±6．★★若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．221259x y +=B ．()2210259y x y +=≠C ．()2210169x y y +=≠D ． ()2210259x y y +=≠ 7．★★★P 是长轴在x 轴上的椭圆22221x y a b+=上的点，12,F F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则12PF PF 的最大值与最小值之差一定是（ ）A ．1B ．2aC ．2bD ．2c8.★★★两焦点坐标分别为()0,2-，()0,2且经过点35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的椭圆的标准方程是 。
9.★★★如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围。
10.★★★如果椭圆22360ax y a +-=的一个焦点坐标为()0,2，求a 的值。
高二数学选修21第2章圆锥曲线与方程单元检测(含答案)-word文档资料
高二数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程单元检测（含答案）圆锥曲线与方程是高二数学最常考察的知识点，以下是第2章圆锥曲线与方程单元检测，希望对大家有帮助。
一、填空题1.已知A-12，0，B是圆F：x-122+y2=4 (F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹为________.2.方程5(x+2)2+(y-1)2=|3x+4y-12|所表示的曲线是________.3.F1、F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从焦点F2向△F1MF2顶点M的外角平分线引垂线，垂足为P，延长F2P 交F1M的延长线于G，则P点的轨迹为__________(写出所有正确的序号).①圆;②椭圆;③双曲线;④抛物线.4.已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP，则线段PP的中点M的轨迹是____________.5.一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O点的一定点，点A是圆周上一点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于P点.当点A运动时点P的轨迹是________.6.若点P到F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则点P的轨迹表示的曲线是________.7.已知两点F1(-5,0)，F2(5,0)，到它们的距离的差的绝对值是6的点M的轨迹是__________.8.一动圆与⊙C1：x2+y2=1外切，与⊙C2：x2+y2-8x+12=0内切，则动圆圆心的轨迹为______________.二、解答题9.已知圆A：(x+3)2+y2=100，圆A内一定点B(3,0)，动圆P 过B点且与圆A内切，求证：圆心P的轨迹是椭圆.10.已知△ABC中，BC=2，且sinB-sinC=12sinA，求△ABC的顶点A的轨迹.能力提升11.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是________(写出正确的所有序号).①直线;②圆;③双曲线;④抛物线.12.如图所示，已知点P为圆R：(x+c)2+y2=4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹.1.椭圆定义中，常数F1F2不可忽视，若常数2.双曲线定义中，若常数F1F2，则这样的点不存在;若常数=F1F2，则动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线.3.抛物线定义中Fl，若Fl，则点的轨迹是经过点F，且垂直于l的直线.第2章圆锥曲线与方程2.1 圆锥曲线知识梳理3.两个定点F1，F2的距离的和焦点焦距4.两个定点F1，F2距离的差的绝对值焦点焦距5.到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点定点F 定直线l6.圆锥曲线作业设计1.椭圆解析由已知，得PA=PB，PF+BP=2，PA+PF=2，且PA+PFAF，即动点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆.2.抛物线解析由题意知(x+2)2+(y-1)2=|3x+4y-12|5.左侧表示(x，y)到定点(-2,1)的距离，右侧表示(x，y)到定直线3x+4y-12=0的距离，故动点轨迹为抛物线.3.①解析∵F2MP=GMP，且F2PMP，F2P=GP，MG=MF2.取F1F2中点O，连结OP，则OP为△GF1F2的中位线.OP=12F1G=12(F1M+MG)=12(F1M+MF2).又M在椭圆上，MF1+MF2=常数，设常数为2a，则OP=a，即P在以F1F2的中点为圆心，a为半径的圆上.4.椭圆5.椭圆6.抛物线解析由题意知P到F的距离与到直线x=-4的距离相等，所以点P的轨迹是抛物线.7.双曲线8.双曲线的一支9.证明设PB=r.∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，两圆的圆心距PA=10-r，即PA+PB=10(大于AB).点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆.10.解由正弦定理得：sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R.代入sinB-sinC=12sinA得：b-c=12a，即b-c=1，即AC-AB=1 (A的轨迹是以B、C为焦点且靠近B的双曲线的一支，并去掉与BC的交点.11.④解析∵D1C1面BCC1B1，C1P平面BCC1B1，D1C1C1P，点P到直线C1D1的距离即为C1P的长度，由题意知，点P到点C1的距离与点P到直线BC的距离相等，这恰符合抛物线的定义.12.解由题意，得MP=MQ，RP=2a.MR-MQ=MR-MP=RP=2a点M的轨迹是以R、Q为两焦点，实轴长为2a的双曲线右支. 第2章圆锥曲线与方程单元检测的全部内容就是这些，查字典数学网预祝大家新学期可以取得更好的成绩。
数学选修2-1第二章 圆锤曲线 单元检测(B卷)
第二章圆锥曲线与方程(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )x2y2x2y2＝1 1 817281922xyx2y2＝1 ＝1 814581362．平面内有定点A、B及动点P，设命题甲是“|PA|＋|PB|是定值”，命题乙是“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设a≠0，a∈R，则抛物线y＝ax2的焦点坐标为( )a?10 B.?0，? A.??2??2a?a?10 D.?0，? C.??4??4a?4．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是( )A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2) 22xy5．已知椭圆1 (a>b>0)有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是ab( )A．3，0) B．(0，3)C．5，0) D．(0，5)x2y26．设椭圆＋＝1 (m>1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，mm－1则椭圆的离心率为( ) 2－1213 B. D.222422xy7－1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线ab的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为( )A．2a＋2m B．4a＋2mC．a＋m D．2a＋4m 8．已知抛物线y2＝4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x－4y＋9＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是( )1265 B. C．2 D. 55529．设点A为抛物线y＝4x上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A的横坐标的值为( )A．－2 B．0C．－2或0 D．－2或2。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程检测(含解析)新人教B版高二选修1-1数学试题
第二章检测(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知平面内动点P到两定点F1,F2的距离的和等于常数2a,关于动点P的轨迹有以下说法:①点P 的轨迹一定是椭圆;②2a>|F1F2|时,点P的轨迹是椭圆;③2a=|F1F2|时,点P的轨迹是线段F1F2;④点P的轨迹一定存在;⑤点P的轨迹不一定存在.则上述说法中,正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案:C2.双曲线x29−x216=1的一个焦点到一条渐近线的距离等于()A.√3B.3C.4D.2 答案:C3.抛物线y=4ax2(a>0)的焦点坐标是()A.(14x ,0)B.(0,116x)C.(0,-116x)D.(116x,0)答案:B4.设抛物线的顶点在原点,焦点F在y轴上,若抛物线上的点(k,-2)与点F的距离为4,则k等于()A.4或-4B.5C.5或-3D.-5或3答案:A5.若椭圆x22+x2x=1的离心率为12,则实数m=()A.32或83B.32C.38D.32或38答案:A6.双曲线x2x2−x2x2=1(a>0,b>0),过焦点F1的直线交双曲线的一支上的弦长|AB|=m,另一焦点为F2,则△ABF2的周长为()A.4aB.4a-mC.4a+2mD.4a-2m解析:由双曲线的定义知,|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a.所以|AF2|+|BF2|-|AF1|-|BF1|=|AF2|+|BF2|-|AB|=|AF2|+|BF2|-m=4a,所以|AF2|+|BF2|=4a+m.故|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.答案:C7.设点P是椭圆x24+x23=1上的动点,F1,F2是焦点,设k=|PF1|·|PF2|,则k的最大值为()A.1B.2C.3D.4解析:因为点P在椭圆x24+x23=1上,所以|PF1|+|PF2|=2a=4.所以4=|PF1|+|PF2|≥2√xx1·xx2,故|PF1|·|PF2|≤4.答案:D8.P是椭圆x29+x25=1上的动点,过点P作椭圆长轴的垂线,垂足为点M,则PM的中点的轨迹方程为()A.4x29+x25=1B.x29+4x25=1C.x29+x220=1D.x236+x25=1解析:用代入法,设点P的坐标为(x1,y1),PM的中点的坐标为(x,y),则x1=x,y1=2y,代入椭圆方程即得PM的中点的轨迹方程.答案:B9.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为()A.√2B.√3C.√3+12D.√5+12解析:设双曲线方程为x2x2−x2x2=1(a>0,b>0),F(c,0),B(0,b),则k BF=−xx,双曲线的渐近线方程为y=±xxx,∴−xx ·xx=−1,即b2=ac,c2-a2=ac,∴e2-e-1=0,解得e=1±√52.又e>1,∴e=√5+12,故选D.答案:D10.双曲线的虚轴长为4,离心率e=√62,F1,F2分别是它的左,右焦点,若过点F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,且|AB|是|AF1|,|AF2|的等差中项,则|BF1|等于()A.8√2B.4√2C.2√2D.8解析:由题意,b=2,a=2√2,c=2√3,由|AB|是|AF1|,|AF2|的等差中项及双曲线的定义得|BF1|=a.答案:C二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.若双曲线x 24−x 2x 2=1(b>0)的渐近线方程为y=±12x ,则b= .解析:由双曲线渐近线方程知x 2=12,则b=1.答案:1 12.椭圆x 29+x 22=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上,若|PF 1|=4,则|PF 2|= ,∠F 1PF 2的大小为 .解析:由椭圆定义得|PF 2|=2a-|PF 1|=6-4=2.由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2=−12, 又∠F 1PF 2是三角形的内角,故∠F 1PF 2=2π3.答案:22π313.若抛物线y 2=2px (p>0)上一点到准线及对称轴的距离分别为10和6,则抛物线方程为 .解析:设该点坐标为(x ,y ).由题意知x=10−x 2,|y|=6.代入抛物线方程得36=2x (10-x2),解得p=2或p=18. 答案:y 2=4x 或y 2=36x 14.过点(√2,-2)且与双曲线x 22−x 2=1有公共渐近线的双曲线方程是 .解析:设双曲线方程为x 22−x 2=m (m ≠0),将已知点的坐标代入可得m=-3.故所求双曲线方程为x 23−x 26=1.答案:x 23−x 26=115.以下命题:①两直线平行的充要条件是它们的斜率相等.②过点(x 0,y 0)与圆x 2+y 2=r 2相切的直线方程是x 0x+y 0y=r 2. ③平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. ④抛物线上任意一点M 到焦点的距离等于点M 到其准线的距离.其中正确命题的序号是 .解析:①中斜率不一定存在;②点(x 0,y 0)不一定在圆上;③当2a=|F 1F 2|时,轨迹为线段. 答案:④三、解答题(本大题共3个小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知抛物线y 2=8x ,过点M (2,1)的直线交抛物线于A ,B 两点,如果点M 恰是线段AB 的中点,求直线AB 的方程.分析:利用“设而不求”和“点差法”解决.解:由题意知,直线斜率显然存在.设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),直线斜率为k ,则y 2+y 1=2.将A ,B 两点坐标代入抛物线方程得x 12=8x 1, ① x 22=8x 2,②②-①得(y 2-y 1)(y 2+y 1)=8(x 2-x 1)故k =x 2-x 1x 2-x 1=8x2+x 1=82=4.所以所求直线方程为y-1=4(x-2),即4x-y-7=0. 17.(8分)已知椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的离心率e =√32,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. (1)求椭圆的方程;(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ,B ,若点A 的坐标为(-a ,0),|AB|=4√25,求直线l 的倾斜角. 分析:(1)由离心率e =xx =√32和连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积2ab=4可求得a ,b 的值.(2)用“设而不求”的方法和“弦长公式”解题. 解:(1)由e =xx =√32,得3a 2=4c 2.再由c 2=a 2-b 2,解得a=2b.由题意可知12×2a ×2b=4,即ab=2. 解方程组{x =2x ,xx =2,得a=2,b=1.所以椭圆的方程为x 24+x 2=1.(2)由(1)可知点A 的坐标是(-2,0).设点B 的坐标为(x 1,y 1),直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为y=k (x+2).于是A ,B 两点的坐标满足方程组{x =x (x +2),x 24+x 2=1.消去y 并整理,得(1+4k 2)x 2+16k 2x+(16k 2-4)=0.由-2x 1=16x 2-41+4x 2,得x 1=2-8x 21+4x 2.从而y 1=4x1+4x 2.所以|AB|=√(-2-2-8x 21+4x 2)2+(4x 1+4x 2)2=4√1+x21+4x 2.由|AB|=4√25,得4√1+x 21+4x 2=4√25.整理得32k 4-9k 2-23=0,即(k 2-1)(32k 2+23)=0.解得k=±1.所以直线l 的倾斜角为π4或3π4.18.(9分)如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明动点D在定直线上;(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.(1)证明:依题意可设AB方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=-8,直线AO的方程为y=x1x1x;BD的方程为x=x2.解得交点D的坐标为{x=x2,x=x1x2x1,注意到x1x2=-8及x12=4y1,则有y=x1x1x2x12=-8x14x1=−2.因此D点在定直线y=-2上(x≠0).(2)解:依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a≠0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0,由Δ=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2.故切线l的方程可写为y=ax-a2.分别令y=2,y=-2得N1,N2的坐标为N1(2x +x,2),N2(-2x+x,-2).则|MN2|2-|MN1|2=(2x -x)2+42−(2x+x)2=8,即|MN2|2-|MN1|2为定值8.。
第二章圆锥曲线与方程_单元练习题_文科(选修1-1)B卷
第二章圆锥曲线与方程B 卷B1 椭圆 （课外提升训练） 1. 椭圆2212xy+=上的一点P 到焦点1F 的距离等于1，则点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）A ．1B ．3C ．21-D ．221-2.焦点坐标为()()0,6,0,6-，10a =，则此椭圆的标准方程为（ ）A ．22110064xy+= B ．22110036xy+= C ．22110064yx+= D ．22110036yx+=3.若椭圆2214xym+=的焦距为2，则m 的值为（ ） A ．5 B ．8 C ．53或 D ．204.下列方程所表示的曲线中，关于x 轴、y 轴都对称的是（ ） A ．2220x x y y ++=B ．2250x x y -+=C ．24981x y +=D ．224x y =5.椭圆221123xy+=的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上，如果线段1P F 的中点M 在y 轴上，那么M 点的纵坐标是（ ）A ．34±B ．32±C ．24±D ．34±6．若A B C ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，A B C ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．221259xy+=B ．()2210259yxy +=≠C ．()2210169xyy +=≠D ．()2210259xyy +=≠7．P 是长轴在x 轴上的椭圆22221x y ab+=上的点，12,F F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则12P F P F 的最大值与最小值之差一定是（ ） A ．1 B ．2a C ．2b D ．2c 8.两焦点坐标分别为()0,2-，()0,2且经过点35,22⎛⎫-⎪⎝⎭的椭圆的标准方程是 。
9.如果方程222x k y +=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围。
10.如果椭圆22360a x y a +-=的一个焦点坐标为()0,2，求a 的值。
高二数学选修21第2章圆锥曲线与方程单元检测(含答案)题型归纳
高二数学选修21第2章圆锥曲线与方程单元检测（含答案）题型归纳圆锥曲线与方程是高二数学最常考察的知识点，以下是第2章圆锥曲线与方程单元检测，希望对大家有帮助。
一、填空题1.已知A-12，0，B是圆F：_-122+y2=4 (F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹为________.2.方程5(_+2)2+(y-1)2=|3_+4y-12|所表示的曲线是________.3.F1、F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从焦点F2向△F1MF2顶点M 的外角平分线引垂线，垂足为P，延长F2P交F1M的延长线于G，则P点的轨迹为__________(写出所有正确的序号).①圆;②椭圆;③双曲线;④抛物线.4.已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向_轴作垂线段PP，则线段PP的中点M的轨迹是____________.5.一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O点的一定点，点A是圆周上一点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于P点.当点A运动时点P的轨迹是________.6.若点P到F(4,0)的距离比它到直线_+5=0的距离小1，则点P的轨迹表示的曲线是________.7.已知两点F1(-5,0)，F2(5,0)，到它们的距离的差的绝对值是6的点M的轨迹是__________.8.一动圆与⊙C1：_2+y2=1外切，与⊙C2：_2+y2-8_+12=0内切，则动圆圆心的轨迹为______________.二、解答题9.已知圆A：(_+3)2+y2=100，圆A内一定点B(3,0)，动圆P过B点且与圆A内切，求证：圆心P的轨迹是椭圆.10.已知△ABC中，BC=2，且sinB-sinC=12sinA，求△ABC的顶点A的轨迹.能力提升11.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是________(写出正确的所有序号).①直线;②圆;③双曲线;④抛物线.12.如图所示，已知点P为圆R：(_+c)2+y2=4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹.1.椭圆定义中，常数F1F2不可忽视，若常数2.双曲线定义中，若常数F1F2，则这样的点不存在;若常数=F1F2，则动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线.3.抛物线定义中Fl，若Fl，则点的轨迹是经过点F，且垂直于l的直线.第2章圆锥曲线与方程2.1 圆锥曲线知识梳理3.两个定点F1，F2的距离的和焦点焦距4.两个定点F1，F2距离的差的绝对值焦点焦距5.到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点定点F 定直线l6.圆锥曲线作业设计1.椭圆解析由已知，得PA=PB，PF+BP=2，PA+PF=2，且PA+PFAF，即动点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆.2.抛物线解析由题意知(_+2)2+(y-1)2=|3_+4y-12|5.左侧表示(_，y)到定点(-2,1)的距离，右侧表示(_，y)到定直线3_+4y-12=0的距离，故动点轨迹为抛物线.3.①解析∵F2MP=GMP，且F2PMP，F2P=GP，MG=MF2.取F1F2中点O，连结OP，则OP为△GF1F2的中位线.OP=12F1G=12(F1M+MG)=12(F1M+MF2).又M在椭圆上，MF1+MF2=常数，设常数为2a，则OP=a，即P在以F1F2的中点为圆心，a为半径的圆上.4.椭圆5.椭圆6.抛物线解析由题意知P到F的距离与到直线_=-4的距离相等，所以点P的轨迹是抛物线.7.双曲线8.双曲线的一支9.证明设PB=r.∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，两圆的圆心距PA=10-r，即PA+PB=10(大于AB).点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆.10.解由正弦定理得：sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R.代入sinB-sinC=12sinA得：b-c=12a，即b-c=1，即AC-AB=1 (A的轨迹是以B、C为焦点且靠近B的双曲线的一支，并去掉与BC的交点.11.④解析∵D1C1面BCC1B1，C1P平面BCC1B1，D1C1C1P，点P到直线C1D1的距离即为C1P的长度，由题意知，点P到点C1的距离与点P到直线BC的距离相等，这恰符合抛物线的定义.12.解由题意，得MP=MQ，RP=2a.MR-MQ=MR-MP=RP=2a点M的轨迹是以R、Q为两焦点，实轴长为2a的双曲线右支.第2章圆锥曲线与方程单元检测的全部内容就是这些，预祝大家新学期可以取得更好的成绩。
高中数学第二章圆锥曲线与方程综合检测新人教B版选修
第二章 圆锥曲线与方程(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2013·西安高二检测)双曲线3x 2－y 2＝9的焦距为( ) A. 6 B ．2 6 C ．2 3D ．4 3【解析】 方程化为标准方程为x 23－y 29＝1，∴a 2＝3，b 2＝9.∴c 2＝a 2＋b 2＝12，∴c ＝23，∴2c ＝4 3. 【答案】 D2．(2013·荆州高二检测)对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( ) A ．开口向上，焦点为(0,1) B ．开口向上，焦点为(0，116)C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为(0，116)【解析】 抛物线可化为x 2＝14y ，故开口向上，焦点为(0，116)．【答案】 B3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2n ＝1的离心率为12，则n ＝( )A. 3B.32C.23D.83【解析】 依题意，a ＝2，b ＝n ， ∴c 2＝a 2－b 2＝2－n ， 又e ＝12，∴c 2a 2＝2－n 2＝14，∴n ＝32. 【答案】 B4．(2013·石家庄高二检测)设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a ＞0)，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．椭圆或线段D ．不存在【解析】 ∵a ＋9a≥2a ·9a＝6，故当|PF 1|＋|PF 2|＝6时，动点P 表示线段F 1F 2，当|PF 1|＋|PF 2|＞6时，动点P 表示以F 1、F 2为焦点的椭圆．【答案】 C5．(2013·长沙高二检测)已知抛物线C 1：y ＝2x 2的图象与抛物线C 2的图象关于直线y ＝－x 对称，则抛物线C 2的准线方程是( )A ．x ＝－18B ．x ＝12C ．x ＝18D ．x ＝－12【解析】 抛物线C 1：y ＝2x 2关于直线y ＝－x 对称的C 2的表达式为－x ＝2(－y )2，即y 2＝－12x ，其准线方程为x ＝18.【答案】 C6．已知点F ，A 分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.1＋32D.1＋52【解析】 ∵FB →·AB →＝0，∴FB ⊥AB ，∴b 2＝ac ，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2得，e 2－1－e ＝0，∴e ＝1＋52.【答案】 D7．已知直线y ＝kx ＋1和椭圆x 2＋2y 2＝1有公共点，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜－22或k ＞22 B ．－22＜k ＜22 C ．k ≤－22或k ≥22D ．－22≤k ≤22【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＋2y 2＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kx ＋1＝0，因为直线与椭圆有公共点，故Δ＝16k 2－4(2k 2＋1)≥0，∴k ≥22或k ≤－22. 【答案】 C8．若AB 为过椭圆x 225＋y 216＝1中心的弦，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为( )A ．6B ．12C ．24D ．48【解析】 如图S △F 1AB ＝12|OF 1|·|y A －y B |≤12c ·2b＝12×3×2×4＝12. 【答案】 B9．(2013·临沂高二检测)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8【解析】 设椭圆上任意一点P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－34x 20，O (0,0)，F (－1,0)，则OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵|x 0|≤2，∴当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值为6. 【答案】 C10．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与双曲线交于M ，N 两点，且MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程为( )A.x 23－y 24＝1B.x 24－y 23＝1C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1 【解析】 由c ＝7，得a 2＋b 2＝7. ∵焦点为F (7，0)，∴可设双曲线方程为x 2a 2－y 27－a 2＝1， ①并设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)． 将y ＝x －1代入①并整理得 (7－2a 2)x 2＋2a 2x －a 2(8－a 2)＝0， ∴x 1＋x 2＝－2a27－2a2，由已知得－2a 27－2a 2＝－43，解得a 2＝2，得双曲线方程为x 22－y 25＝1.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)11．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的轨迹方程是________．【解析】 设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝xy 1＝2y ，将x 1，y 1代入到x 21＋y 21＝1，有x2＋4y 2＝1.【答案】 x 2＋4y 2＝112．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点F 1，F 2，过点F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，其中一个交点为P ，则|PF 2|＝________.【解析】 不妨设F 1(－3，0)，则|PF 1|＝|y P |＝12.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，∴|PF 2|＝4－12＝72.【答案】 7213．(2013·安徽高考)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．【解析】 设C (x ，x 2)，由题意可取A (－a ，a )，B (a ，a )， 则CA →＝(－a －x ，a －x 2)，CB →＝(a －x ，a －x 2)，由于∠ACB ＝π2，所以CA →·CB →＝(－a －x )(a －x )＋(a －x 2)2＝0，整理得x 4＋(1－2a )x 2＋a 2－a ＝0， 即y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1－2a ≥0，a 2－a ≥0，1－2a 2－4a 2－a ＞0，解得a ≥1.【答案】 [1，＋∞)14．给出如下四个命题：①方程x 2＋y 2－2x ＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆x 23＋y 22＝1的离心率e ＝53；③抛物线x ＝2y 2的准线方程是x ＝－18；④双曲线y 249－x 225＝－1的渐近线方程是y ＝±57x .其中不正确的是________．(填序号)【解析】 ①表示的图形是一个点(1,0)，②e ＝33，④渐近线方程为y ＝±75x ，③正确． 【答案】 ①②④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3.求椭圆C 的方程．【解】 设椭圆的半焦距为c ，依题意， 得a ＝3且e ＝c a ＝63， ∴a ＝3，c ＝ 2. 从而b 2＝a 2－c 2＝1.因此所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.16．(本小题满分12分)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2100＋y 2b2＝1(0＜b ＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．【解】 (1)|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝100(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)，∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为100.(2)S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433，∴|PF 1|·|PF 2|＝2563，①由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，∴3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2.②由①②得c ＝6，∴b ＝8.17．(本小题满分12分)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解】 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)，从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4，又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝32x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t x 216＋y 212＝1得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0，因为直线l 与椭圆有公共点，所以有Δ＝(3t )2－4×3(t 2－12)≥0， 解得－43≤t ≤43，另一方面，由直线OA 与l 的距离为4可得：|t |94＋1＝4，从而t ＝±213， 由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．18．(本小题满分14分)(2012·江西高考)已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )，满足|MA →＋MB →|＝OM →·(OA →＋OB →)＋2.(1)求曲线C 的方程；(2)点Q (x 0，y 0)(－2＜x 0＜2)是曲线C 上的动点，曲线C 在点Q 处的切线为l ，点P 的坐标是(0，－1)，l 与PA ，PB 分别交于点D ，E ，求△QAB 与△PDE 的面积之比．【解】 (1)由MA →＝(－2－x,1－y )， MB →＝(2－x,1－y )，得|MA →＋MB →|＝－2x2＋2－2y2，OM →·(OA →＋OB →)＝(x ，y )·(0,2)＝2y .由已知得－2x2＋2－2y2＝2y ＋2，化简得曲线C 的方程是x 2＝4y .(2)直线PA ，PB 的方程分别是y ＝－x －1，y ＝x －1，曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y ＝x 02x －x 204，且与y 轴的交点为F (0，－x 204)， 分别联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －1，y ＝x 02x －x 204，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝x 02x －x 204，解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 0－22，x E ＝x 0＋22，则x E －x D ＝2，|FP |＝1－x 204，故S △PDE ＝12|FP |·|x E －x D |＝12×(1－x 204)×2＝4－x 204，而S △QAB ＝12×4×(1－x 204)＝4－x 22.则S △QABS △PDE＝2，即△QAB 与△PDE 的面积之比为2.。
高中数学选修2-1第二章第13课时同步练习 第二章 圆锥曲线与方程(复习)(B)
第二章 圆锥曲线与方程（复习）（B ）1、已知抛物线x y 42=，过焦点F 的弦AB 被焦点分成长为m 与n 的两部分，求n m 11+ 等于（ ）A 、1B 、2C 、3D 、42、直线2-=kx y 交抛物线x y 82=于A 、B 两点，若AB 的中点横坐标为2，则AB 为（ ）A 、 15B 、 154C 、 152D 、 423、过双曲线068222=+--x y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若4=AB ，则这样的直线有（ ）A 、4条B 、3条C 、2条D 、1条、4、抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的倾斜角为α，则弦长AB 为（ ）A 、α2sin 2pB 、α2cos 2p C 、αsin p D 、αcos p 5、曲线122--=x x y 与x 轴相交，则两交点间的距离为（ ）A 、8B 、0C 、7D 、16、过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2（c,0）,则△ABF 2的最大面积为（ ）A 、b 2B 、abC 、acD 、bc7、双曲线1322=-y x 的左右焦点分别为F 1、F 2，过F 2作倾斜角为1500的直线交双曲线于A 、B 两点，则△ABF 1的周长为（ ）A 、6B 、5C 、333+D 、3+233 8、已知抛物线)0(22>=p px y 的动弦AB 长为a(a ≥2p)，则弦AB 中点M 到y 轴的最短距离为 .9、过双曲线116922=-y x 的右焦点F 作倾斜角为4π的弦，则|AB|=10、抛物线y 2=x 上到直线x-2y+4=0的距离最小的点是11、已知双曲线的中心在原点，右顶点为A （1，0）点P 、Q 在双曲线的右支上，点M （m,0）到直线AP 的距离为1.（Ⅰ）若直线AP 的斜率为k ，且]3,33[∈k ，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当12+=m 时，ΔAPQ 的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程.12、 设椭圆1122=++y m x 的两个焦点是)0,(1c F -与)0)(0,(2>c c F ，且椭圆上存在点P ，使得直线PF 1与直线PF 2垂直.（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）设L 是相应于焦点F 2的准线，直线PF 2与L 相交于点Q. 若32||||22-=PF QF ，求直线PF 2的方程.参考答案1、A （利用特值法）2、C （根据韦达定理和弦长公式）3、B （利用数形结合法）4、A （利用焦点弦长公式和韦达定理）5、A （利用数形结合）6、D7、C 6、2p a - 9、7192 10、（1，1） 11、 解: (Ⅰ)由条件得直线AP 的方程),1(-=x k y 即.0=--k y kx 因为点M 到直线AP 的距离为1,∵,112=+-k kmk 即221111k k k m +=+=-.∵],3,33[∈k ∴,21332≤-≤m 解得332+1≤m ≤3或--1≤m ≤1--332. ∴m 的取值范围是].3,3321[]3321,1[+-- (Ⅱ)可设双曲线方程为),0(1222≠=-b b y x 由),0,1(),0,12(A M +得2=AM .又因为M 是ΔAPQ 的内心,M 到AP 的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM 是∠PAQ 的角平分线,且M 到AQ 、PQ 的距离均为1。
【整理】第二章圆锥曲线与方程单元测试卷
x2 15．已知椭圆 C：
y2 1，斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点，且 AB
32 ，则直
3
2
线 l 的方程为 ___________.
16．已知抛物线 y2 4x ，过其焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A, B 两点， M 为抛物线的准线与 x 轴
的交点， tan AMB 4 ，则 AB _____. 3
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
17．（本小题满分 10 分）
已 知 p : 方 程 x2
y2 1 表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 ， q : 双 曲 线 x2 y2 1 的 离 心 率
9 m 2m
5m
e
6 ,
2
.
2
（ 1）若椭圆 x2
y2 1 的焦点和双曲线 x2 y2 1 的顶点重合，求实数 m 的值；
第二章圆锥曲线与方程单元测试卷
一、选择题：
x2 1．双曲线
y2
1的实轴长为（
）
4
A． 3
B． 4
C． 5
2．抛物线 y 2x2 的准线方程为（ ）
D． 1 2
A． y 1 4
3．已知椭圆 x2 10 m
B． y 1 8
C． x 1 2
D． x 1 4
y2 1 ，长轴在 y 轴上．若焦距为 4，则 m 等于（ ） m2
A. 17 2
9
B.3
C. 5
D.
2
11．已知椭圆
x2 E : a2
y2 b2
1(a
b
0) 的右焦点为 F ．短轴的一个端点为 M ，直线 l :3 x 4 y
2016-2017学年北师大版高中数学选修1-1检测：第二章
第二章 §2 2.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－18C ．8D ．－8解析： 由y ＝ax 2，得x 2＝1a y ，14a ＝－2，a ＝－18.答案： B2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值等于( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析： 椭圆右焦点为(2,0)，所以p2＝2，p ＝4.答案： D3．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D ．74解析： 根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54. 答案： C4．若抛物线y 2＝2px 上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则焦点到准线的距离为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析： 利用抛物线的定义，由y 2＝2px 可知准线方程x ＝－p2，横坐标为4的点到准线的距离为4＋p 2，所以4＋p2＝5，得p ＝2.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．抛物线y 2＝2px ，过点M (2,2)，则点M 到抛物线准线的距离为________． 解析： y 2＝2px 过点M (2,2)，于是p ＝1，所以点M 到抛物线准线的距离为2＋p 2＝52.答案： 526．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上一点( －5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程是________．解析： 因为点(－5,25)在第二象限，且以原点为顶点，x 轴为对称轴，故抛物线开口向左，设其方程为y 2＝－2px ，把(－5,25)代入得p ＝2，故所求方程为y 2＝－4x . 答案： y 2＝－4x三、解答题(每小题10分，共20分)7．在平面直角坐标系xOy 中，拋物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上．(1)求拋物线C 的标准方程；(2)求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程．解析： (1)由题意，可设拋物线C 的标准方程为y 2＝2px ， 因为点A (2,2)在拋物线C 上，所以p ＝1. 因此，拋物线C 的标准方程为y 2＝2x .(2)由(1)可得焦点F 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1.因此，所求直线的方程是x ＋y －12＝0.8．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．解析： 方法一：设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 则焦点F ⎝⎛⎭⎫－p2，0， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎫3－p 22＝5，解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26 或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6.抛物线的焦点为(－2,0)，准线方程为x ＝2. 方法二：设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 则焦点F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0，准线方程为x ＝p 2， 根据抛物线的定义，点M 到焦点的距离等于5， 也就是点M 到准线的距离为5，则3＋p2＝5，∴p ＝4，因此，抛物线方程为y 2＝－8x ，又点M (－3，m )在抛物线上，于是m 2＝24， ∴m ＝±2 6.故抛物线的焦点为(－2,0)，准线方程为x ＝2. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形 ，宽度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此桥孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部分中央船体高5米，宽16米，且该货船在现在状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？解析： 如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为y ＝ax 2(a ＜0)，则点A (10，－2)在抛物线上， ∴－2＝a ·102，∴a ＝－150.∴抛物线方程为y ＝－150x 2(－10≤x ≤10)．让货船沿正中央航行，船宽16米， 而当x ＝8时，y ＝－150×82＝－1.28(米)，即B (8，－1.28)．此时B 点离水面高度为6＋(－1.28)＝4.72(米)，而船体水面高度为5米，所以该货船无法直接通过桥孔；又5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，而150×7＝1 050(吨)＞1 000吨，∴用多装货物的方法，该货船也无法通过桥孔，只好等待水位下降．。
高中数学第二章圆锥曲线与方程单元检测新人教B版选修2_1
第二章圆锥曲线与方程单元检测(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知椭圆的两个焦点为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为( )A．10 B．20C． D．2．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m等于( )A．B．C．D．3．已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的( )A．焦距为10B．实轴与虚轴分别为8和6C．离心率是或D．离心率不确定4．下列曲线中离心率为的是( )A．B．C．D．5．已知P为双曲线上一点，F1，F2为焦点，若∠F1PF2＝60°，则等于( )A．B．C．D．6．抛物线y＝ax2的准线方程是y－2＝0，则a的值是( )A． B． C．8 D．－87．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为( )A．x2－y2＝2 B．C．x2－y2＝1 D．8．已知双曲线的离心率为e，抛物线x＝2py2的焦点为(e,0)，则p的值为( )A．2 B．1C．D．9．双曲线的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离心率的取值范围为( )A．(1,3) B．(1,3]C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)10．已知抛物线C的方程为，过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．C．D．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线的标准方程为__________．12．直线l：x－y＋1＝0和椭圆相交于A，B两点，则弦|AB|＝__________.13．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝__________.14．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝__________.。
2017-2018学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程阶段质量检测B卷(含解析)新人教A版选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分)1．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选D 由双曲线的渐近线y ＝b a x 过点(2，3)，可得3＝b a×2.①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得 a 2＋b 2＝7.②由①②解得a ＝2，b ＝3， 所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1.2．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( ) A.π6或5π6 B.π4或3π4 C.π3或2π3D.π2解析：选B 由焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2θ得6sin 2θ＝12，∴sin θ＝22，∴θ＝π4或3π4. 3．平面内点P (x ，y )的坐标满足方程 x －2＋y －2＝|x ＋y ＋2|2，则动点P的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线解析：选C 方程x －2＋y －2＝|x ＋y ＋2|2的几何意义为动点P (x ，y )到定点(1,1)的距离与到定直线x ＋y ＋2＝0的距离相等，由抛物线的定义知动点P 的轨迹是抛物线．4．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则点P 的轨迹方程是( ) A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0 B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0 C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0 D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0解析：选A 设点P 的坐标为(x ，y )，则x －2＋y ＋2＝3x 2＋y 2，整理得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0.5．已知m 是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率是( )A.32或52 B.32C. 5D.32或 5 解析：选D 由题意知m 2＝16，m ＝±4，当m ＝4时，x 2＋y 24＝1表示椭圆，其离心率为e ＝c a ＝1－b 2a 2＝1－14＝32；当m ＝－4时，x 2－y 24＝1表示双曲线，其离心率为e ＝c a＝1＋b 2a2＝1＋4＝ 5. 6．方程mx ＋ny 2＝0与mx 2＋ny 2＝1(mn ≠0)在同一坐标系中的大致图象可能是( )A B C D解析：选A 把两个方程都化为标准形式得y 2＝－m n x ，x 21m ＋y 21n＝1，由选项C 、D 知方程mx 2＋ny 2＝1表示椭圆，则m >0，n >0，则y 2＝－mnx 是焦点在x 轴上，开口向左的抛物线，故排除C 和D ；由选项A 和B 知，方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则n >0，m <0，则y 2＝－m nx 是焦点在x 轴上，开口向右的抛物线，排除B ，选A.7．若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，且PF 1―→·PF 2―→＝0，tan∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )A.53B.23C.13D.12解析：选A 在Rt △PF 1F 2中，设|PF 2|＝1， 则|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝5，∴e ＝2c 2a ＝53.8．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长是焦距的12，则该双曲线的渐近线方程是( )A ．y ＝±32x B ．y ＝±2x C ．y ＝±3xD ．y ＝±22x解析：选C 由题可知2a ＝12×2c ＝c ，则4a 2＝c 2＝a 2＋b 2，解得b 2a 2＝3，所以b a ＝3，故该双曲线的渐近线方程是y ＝±3x ，选C.9．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为( )A ．5B ．10C ．20 D.15解析：选B 由抛物线方程y 2＝4x 易得抛物线的准线l 的方程为x ＝－1.又由|PM |＝5可得点P 的横坐标为4，代入y 2＝4x ，可求得其纵坐标为±4，故S △MPF ＝12×5×4＝10，选B.10．已知P (x ，y )为椭圆C ：x 225＋y 216＝1上一点，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足|MF―→|＝1且MP ―→·MF ―→＝0，则|PM ―→|的最小值为( )A. 3 B ．3 C.125D ．1解析：选A 因为|MF ―→ |＝1且MP ―→·MF ―→＝0，所以点M 在以F (3，0)为圆心，1为半径的圆上，PM 为圆的切线，所以当PF 最小时，切线长PM 最小，由图知，当点P 为右顶点(5,0)时，|PF |最小，最小值为5－3＝2，此时|PM |＝22－12＝ 3.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析：如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． 答案：212．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点作直线交抛物线于P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝3p ，则|PQ |＝________.解析：由抛物线定义知|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝4p . 答案：4p13．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.解析：设MN 交椭圆于点P ，连接F 1P 和F 2P (其中F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN |＋|BN |＝2|F 1P |＋2|F 2P |＝2×2a ＝4a ＝12.答案：1214．方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端点，若3DF 1―→＝DA ―→＋2DF 2―→，则该椭圆的离心率为________．解析：设点D (0，b )，则DF 1―→＝(－c ，－b )，DA ―→＝(－a ，－b )，DF 2―→＝(c ，－b )， 由3DF 1―→＝DA ―→＋2DF 2―→得－3c ＝－a ＋2c ，即a ＝5c ，故e ＝15.答案：15三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆x 249＋y 224＝1共焦点，且以y ＝±43x 为渐近线．(1)求双曲线方程．(2)求过双曲线右焦点且倾斜角为π3的直线方程．解：(1)椭圆的焦点坐标为(±5,0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则渐近线方程为x a ±y b ＝0，即y ＝±b ax ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝25，b a ＝43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，则双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)∵直线的倾斜角为π3，∴直线的斜率为3， 故直线方程为y ＝3(x －5)， 即3x －y －53＝0.16．(本小题满分12分)已知椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列且它们有一个公共的焦点(4,0)，其中双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ，求三条曲线的标准方程．解：因为双曲线的焦点在x 轴上，故其方程可设为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，又因为它的一条渐近线方程为y ＝3x ，所以ba ＝3，即b 2a 2＝c 2－a 2a2＝e 2－1＝ 3. 解得e ＝2，因为c ＝4，所以a ＝2，b ＝3a ＝23， 所以双曲线方程为x 24－y 212＝1.因为椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列，所以这个等比数列的中间项一定是抛物线的离心率1，由等比数列性质可得椭圆和双曲线的离心率互为倒数， 因此，椭圆的离心率为12，设椭圆方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)，则c ＝4，a 1＝8，b 21＝82－42＝48. 所以椭圆的方程为x 264＋y 248＝1.易知抛物线的方程为y 2＝16x .17．(本小题满分12分)顶点在原点，焦点在y 轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2.(1)求抛物线的标准方程；(2)若直线l ：y ＝2x ＋1与抛物线相交于A ，B 两点，求AB 的长度． 解：(1)由题意可知p ＝2， ∴抛物线标准方程为x 2＝4y .(2)直线l ：y ＝2x ＋1过抛物线的焦点F (0,1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝y 1＋y 2＋2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x 2＝4y 得x 2－8x －4＝0，∴x 1＋x 2＝8，∴|AB |＝y 1＋y 2＋2＝2x 1＋1＋2x 2＋1＋2＝2(x 1＋x 2)＋4＝20.18．(本小题满分12分)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22在椭圆上，且PF 1―→·F 1F 2―→＝0，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的标准方程；(2)当OA ―→·OB ―→＝23时，求k 的值．解：(1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2， ∴c ＝1，1a 2＋12b2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1， ∴椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切， 则|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. ∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴Δ＞0⇒k 2＞0⇒k ≠0， x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2＝1－k 21＋2k2，∴OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k 21＋2k 2＝23，∴k ＝±1.19．(本小题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点．(1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1―→·PF 2―→＝－54，求点P 的坐标；(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)设P (x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＋3x －3＋y 2＝－54，x ＞0，y ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)由题意知直线l 的斜率存在，所以可设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，将其代入椭圆方程，得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0，Δ＞0⇒k 2＞34.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－16k1＋4k2，x 1x 2＝121＋4k2. 由∠AOB 为锐角可得，OA ―→·OB ―→＞0⇒x 1x 2＋y 1y 2＞0⇒(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＞0， 即(1＋k 2)·121＋4k 2－2k ·16k 1＋4k 2＋4＞0，解得k 2＜4，综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝⎛⎭⎪⎫32，2. 20．(本小题满分12分)已知F 1、F 2为椭圆E 的左、右焦点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32为其上一点，且有|PF 1|＋|PF 2|＝4.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过F 1的直线l 1与椭圆E 交于A 、B 两点，过F 2与l 1平行的直线l 2与椭圆E 交于C 、D 两点，求四边形ABCD 的面积S 四边形ABCD 的最大值．解：(1)设椭圆E 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由已知|PF 1|＋|PF 2|＝4得2a ＝4，∴a ＝2， 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，∴14＋94b 2＝1，∴b ＝ 3. 椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题意可知，四边形ABCD 为平行四边形， ∴S 四边形ABCD ＝4S △OAB ，设直线AB 的方程为x ＝my －1，且A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y23＝1得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，∴y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4， S △OAB ＝S △OF 1A ＋S △OF 1B＝12|OF 1|·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|＝12y 1＋y 22－4y 1y 2＝6m 2＋1m 2＋2，令m 2＋1＝t ， 则t ≥1，S △OAB ＝6t t ＋2＝619t ＋1t＋6， 又∵g (t )＝9t ＋1t在[1，＋∞)上单调递增，∴g (t )≥g (1)＝10， ∴S △OAB 的最大值为32，所以S 四边形ABCD 的最大值为6.。
2017-2018学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程质量评估检测 新人教B版选修2-1
故|CD|＝ ＝ .
(2)证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符．
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠ )，
代入椭圆方程化简得(4k2＋1)x2＋8kx＝0，
解得x1＝0，x2＝ ，
代入直线l的方程得y1＝1，y2＝ ，
∵直线y＝kx－2与抛物线相交于不同两点A、B，则有 ，
解得k＞－1且k≠0，由x1＋x2＝ ＝4解得k＝2或k＝－1(舍去)
∴所求k的值为2.
21．(本小题满分12分)已知椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为 ，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.
设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，则
∴|CD|＝ |x1－x2|＝ · ＝ · ＝ ，
又点F2到直线BF1的距离d＝ ，
故 ＝ |CD|·d＝ .
22．(本小题满分12分)过点C(0,1)的椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)的离心率为 ，椭圆与x轴交于两点A(a,0)，B(－a,0)，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.
解析：由 ＋ ＝1知，a＝5，b＝4，∴c＝3，即F1(－3,0)，F2(3,0)，∴|PF2|＝|F1F2|＝6.又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|＝10－6＝4，于是S△PF1F2＝ ·|PF1|·h＝ ×4× ＝8 .
答案：8
14．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线 － ＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
化简得x2＝2y－1，故选A.
答案：A
7．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－ ＝1的渐近线的距离是()
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第2章 单元检测(B 卷)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．以x 轴为对称轴，抛物线通径长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程为__________．2．双曲线9x 2－4y 2＝－36的渐近线方程是__________．3．若抛物线y 2＝2px 上的一点A (6，y )到焦点F 的距离为10，则p ＝________.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为62，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的离心率为________． 5．设F 1、F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是________．6．过双曲线M ：x 2－y 2h 2＝1的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且AB ＝BC ，则双曲线M 的离心率是________．7．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为________．8．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为________． 9．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.10．曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点时，实数k 的取值范围是__________． 11．在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________. 12．椭圆x 2a ＋y 2b＝1 (a >b >0)的焦点为F 1，F 2，两条准线与x 轴的交点分别为M ，N ，若MN ≤2F 1F 2，则该椭圆离心率的取值范围是________．13．若点M 是抛物线y 2＝4x 到直线2x －y ＋3＝0的距离最小的一点，那么点M 的坐标是__________．14．过双曲线x 29－y 218＝1的焦点作弦MN ，若MN ＝48，则此弦的倾斜角为________． 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线方程．16.(14分)抛物线y2＝2px(p>0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是y＝2x，斜边长是53，求此抛物线方程．17．(14分)设P 是椭圆x 2a 2＋y 2＝1 (a >1)短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ 的最大值．18.(16分)点A 、B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .求点P 的坐标．19．(16分)已知抛物线y 2＝2x ，直线l 过点(0,2)与抛物线交于M ，N 两点，以线段MN的长为直径的圆过坐标原点O ，求直线l 的方程．20.(16分)已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N .(1)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(2)是否存在实数k 使NA →²NB →＝0，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．第2章 圆锥曲线与方程(B)1．y 2＝±8x解析 2p ＝8，抛物线开口向左或向右．2．y ＝±32x 3．8解析 ∵6＋p 2＝10，∴p＝8. 4.22解析 ∵a 2＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝64＝32，∴a 2－b 2a 2＝12. ∴椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为22. 5．1解析 由题意，得PF 1－PF 2＝±4，PF 21＋PF 22＝5³4＝20.∴2PF 1²PF 2＝20－16＝4，∴S △F1PF2＝12PF 1²PF 2＝1. 6.10解析 直线l 的方程是y ＝x ＋1，两条渐近线方程为y ＝±hx，由AB ＝BC ，可得B 是A 、C 的中点，－2h ＋1＝－1＋1h －1，解得h ＝0(舍去)或h ＝3，故e ＝1＋h 21＝10. 7. 3 8.－1925或21 9．－14解析 y 2－x 2－1m＝1，∴－1m ＝4，∴m＝－14. 10.⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34 解析 y ＝1＋4－x 2即为x 2＋(y －1)2＝4(y≥1)表示上半圆．直线过(－2,1)时k ＝34；直线与半圆相切时，|3－2k|k 2＋1＝2，得k ＝512.所以k∈⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34. 11.22解析 由2c ＝2，所以c ＝1.因为两条切线互相垂直，所以a 2c ＝2R ＝2a ，所以c a ＝22. 12.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析 MN ＝2a 2c，F 1F 2＝2c ，MN≤2F 1F 2， 则a 2c ≤2c，该椭圆离心率e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1. 13.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，2x －y ＋m ＝0，得y 2－2y ＋2m ＝0. 因为Δ＝0得m ＝12，所以y ＝1，x ＝14， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. 14．60°或120°解析 设弦的方程为y ＝k(x －33)，代入2x 2－y 2＝18得(2－k 2)x 2＋63k 2x －27k 2－18＝0，所以x 1＋x 2＝63k 2k 2－2，x 1x 2＝27k 2＋18k 2－2. ∴MN＝1＋k 2² x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝48，∴k＝± 3.故倾斜角为60°或120°.15．解 由于椭圆焦点为F(0，±4)，离心率为e ＝45， 所以双曲线的焦点为F(0，±4)，离心率为2，从而c ＝4，a ＝2，b ＝2 3.所以所求双曲线方程为：y 24－x 212＝1. 16．解 设△AOB 为抛物线的内接直角三角形，直角顶点为O ，AO 边的方程是y ＝2x ，则OB 边方程为y ＝－12x. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x y 2＝2px ，可得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x y 2＝2px ，可得B 点坐标为(8p ，－4p)． ∵AB＝53，∴ p＋4p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－8p 2＝5 3. ∵p>0，解得p ＝23913， ∴所求的抛物线方程为y 2＝43913x. 17．解 依题意可设P(0,1)，Q(x ，y)，则PQ ＝x 2＋ y－1 2，又因为Q 在椭圆上，所以，x 2＝a 2(1－y 2)，PQ 2＝a 2(1－y 2)＋y 2－2y ＋1＝(1－a 2)y 2－2y ＋1＋a 2＝(1－a 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －11－a 22－11－a 2＋1＋a 2.因为|y|≤1，a>1，若a≥2，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪11－a 2≤1，当y ＝11－a 2时，PQ 取最大值a 2a 2－1a 2－1.18．解 由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)， 设点P 的坐标是(x ，y)，则AP →＝(x ＋6，y)，FP →＝(x －4，y)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x 236＋y220＝1x＋6 x－4 ＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，x ＝32或x ＝－6.由于y>0，只能x ＝32，于是y ＝523，∴点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，523.19．解 由题意知直线l 的斜率存在， 设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2y 2＝2x ，消去x 得ky 2－2y ＋4＝0， Δ＝4－16k>0⇒k<14 (k≠0)，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝4k ，⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝12y 21x 2＝12y 22⇒x 1x 2＝14(y 1y 2)2＝4k 2.OM⊥ON ⇒k OM ²k ON ＝－1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴4k 2＋4k ＝0，解得k ＝－1.所以所求直线方程为y ＝－x ＋2， 即x ＋y －2＝0.20．(1)证明如图，设A(x 1,2x 21)，B(x 2，2x 22)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2得2x 2－kx －2＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝k 2，x 1x 2＝－1，∴x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，∴N 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4，k28.设抛物线在点N 处的切线l 的方程为 y －k 28＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k 4，将y ＝2x 2代入上式得2x 2－mx ＋mk 4－k 28＝0，∵直线l 与抛物线C 相切，∴Δ＝m 2－8⎝ ⎛⎭⎪⎫mk 4－k 28＝m 2－2mk ＋k 2＝(m －k)2＝0，∴m＝k.即l∥AB.(2)假设存在实数k ，使NA →²NB →＝0， 则NA⊥NB，又∵M 是AB 的中点，∴MN＝12AB.由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝12[k(x 1＋x 2)＋4]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫k 22＋4＝k24＋2.∵MN⊥x 轴，∴MN＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168. 又AB ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2 x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫k22－4³ －1＝12k 2＋1k 2＋16.∴k 2＋168＝14k 2＋1k 2＋16，解得k ＝±2.即存在k ＝±2，使NA →²NB →＝0.。