高等数学第九章知识要点

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高等数学第九章知识要点
二 重 积 分 三 重 积
分 概
念来源 1、曲顶柱体体积、曲顶柱体体积 ()()()()i
n
i i i D
i
D
n i i i u d y x M m f d x f v s h x s s h x s l l D ==D ==åòò
òòå=®=®1010,lim ,2,lim 、平面薄片质量
空间中立体的质量
()
()i
n
i i
i
i
v u dv z y x u M D ==òòò
åW
=®1
,,lim
,,z h x l

本性质 1、线性性质:()()[]()
()
òòòòòò+=×+×D
D
D
dxdy y x g l
dxdy y x f
k
dxdy y x g l y x f
k ,,,,
2、关于区域的可加性:
()()()21
,,,,2
1
D D
D dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f D D
D +=+=òòòòòò
3、()()()òòòò===D D D d dxdy y x f y x f 的面积时,s s ,1,
4、()()()()()
òòòò
£Þ£ÎD
D
dxdy y x g dxdy y x f y x g y x f D y x ,,,,,时,
5、
()()òòòò
£
D
D
dxdy y x f dxdy y x f ,, 6、估值定理 :()s s M dxdy y x f m D
££òò,
7、中值定理 :
()()()D f dxdy y x f D Î×=òòh x s h x ,,,,
三重积分有类似的性质 计
算方法
1、直角坐标系下
()()()
()
()
òò
òò
=D
b
a x x X D dy y x f dx
d y x f 21,,f f s 型为()()()()
()òò
òò=
D
d c
y y
Y D dx y x f dy
d y x f 21
,,y y s 型为
2、极坐标下
()()()
()
òòòò=
D d f d d y x f 2
1
211sin ,cos ,q q
q r r
q r
r q r q r q
s 1、直角坐标系下 )
(1投影法投影法 ()()()()
òòò
òòò
úûùêë
é=
W Dxy y x z y x z dxdy dz z y x f dv z y x f ,,21,,,, (2)截面法)截面法
()()òòòò
òò
=D
c c Dz dxdy z y x f dz dv z y x f 21
,,,,
2、在柱面坐标系下
()òòòW
dv z y x f ,,
()()
()()
()òòò=
21
2121,,,sin ,cos q q q r q r q r q r q r q r r
q
z z dz z f pd d
3、球面坐标系下
()òòòW
dv z y x f ,,
()()
()
òòò=
2
1
21
2
1
,.
2
sin cos ,cos sin ,sin sin j j
q j q j q q
j q q j q j j
q
r r dr
r r r r f d d
几何及物
1、体积 ()òò=D
dxdy y x f v ,
2、曲面面积 òò++=D
y x dxdy f f A 2
21 1、体积 òòòW =dv v 2、质量 ()òòòW
=dv z y x M ,,r

中的应用 3、质量 (
)
òò=
D
dxdy y x m ,r
4、质心坐标 ()()òòòò=
=D
D
y d y x d y x x M M x s r s r ,,
()()òòòò=
=D D x d y x d y x y M M y s r s
r ,, 5、转动惯量
()òò=D
x d y x y I s r ,2
,()s
r d y x x I D
y òò
=
,2
()
()
òò+=D
O
d y x y x
I s r ,2
2
6 6、平面薄片对空间质点的引力、平面薄片对空间质点的引力
设面密度为()xoy y x 的,r 面上的闭区域D 对位于点()()0,0,0>a a 处的单位质量的质点的引力为
()
z y x F F F F ,,=,则,则
òò
òò==D
y D x d r y G F d r x G F s r
s r 3
3,
òò-=D z d
r Ga
F s r 3
其中G 为引力常数,2
22a y x r ++=
3、质心坐标 ()()òòòòòòW W ==dv z y x dv
z y x x M M x yz
,,,,r r ()()òòòòòòW W ==dv
z y x dv z y x y M M y zx ,,,,r r ()()òòòòòòW
W
==dv
z y x dv z y x z M
M z xy ,,,,r r 4、转动惯量
(
)
()òòòW +=
dv
z y x z y I x
,
,22r ()()òòòW
+=dv
z y x x z I y
,,2
2
r ()()òòòW
++=dv
z y x z y x I O
,,2
22r 5、物体对空间质点的引力
设物体密度为()z y x ,,r ,占有空间闭区域W 的物体对位于点
()()0,0,0>a a 处的单位质量的质点的引力为()z y x F F F F ,,=则
dv r yp G F dv r xp
G F y x òòòòòòW W ==3
3,,()dv r a z G
F z òòò
W
-=3
r 其中G 为引力常数,()22
2a z y x r -++=
对称性在计算中的应用 1、若(、若(11)D 关于x 轴对称,且1D 为D 内0³x 部
分 (2)
()y x f ,是关于y 的奇函数或偶函数,则有的奇函数或偶函数,则有
()òòD d y x f s
,
=()()()()()ïîïíì=--=-òòD
y x f y x f d y x f y x f y x f ,,,,2,,,0当当s 当D 关于y 轴对称,而()y x f ,关于x 为奇函数或偶函数时,有类似的结论函数时,有类似的结论
2、若D 关于直线x y =对称,则对称,则
()()
òòòò=D D
d x y f d y x f s s ,,
3、若D 关于原点对称,则关于原点对称,则
()òòD d y x f s
,
()()
()()()
ïî
ï
íì=--=--=òò
y x f y x f d y x f y x f y x f D ,,,,2
,,,01
当当s 01³x D D 内为部分部分
若(若(11)W 关于xOy 面对称;
部分为01³W z
(2)()z y x f ,,是关于z 的奇函数或偶函数,则有的奇函数或偶函数,则有
()òòòW
dv z y x f ,,
=()()()()()ïîïíì=--=-òòò
W 1
,,,,,,,2,,,,0z y x f z y x f dv z y x f z y x f z y x f 当当, 当W 关于()zOx yOz 面对称,而()z y x f ,,是关于)(y x 的奇函数或偶
函数时,有类似结论函数时,有类似结论..。

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