2018届高三数学每天一练半小时(34)平面向量综合练(有答案)AKKqPM

训练目标 (1)向量知识的综合运用；(2)向量与其他知识的结合． 训练题型
(1)向量与三角函数；(2)向量与解三角形；(3)向量与平面解析几何；(4)与平面向量有关的新定义问题．
解题策略 (1)利用向量解决三角问题，可借助三角函数的图象、三角形中边角关系；(2)
解决向量与平面解析几何问题的基本方法是坐标法；(3)新定义问题应对条件转
化，化为学过的知识再求解.
1．(2016·福建四地六校联考)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →
，则( )
A ．点P 在线段A
B 上
B ．点P 在线段AB 的反向延长线上
C ．点P 在线段AB 的延长线上
D ．点P 不在直线AB 上
2．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →
＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( ) A ．3 B ．4 C ．5
D ．6
3．已知点O 为△ABC 内一点，∠AOB ＝120°，OA ＝1，OB ＝2，过O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 为线段OD 的中点，则OE →·EA →
的值为( ) A.514 B.27 C.314
D.328
4．已知向量a ＝⎝
⎛⎭⎪⎫sin θ2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，b ＝(3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，cos θ2)，θ∈(0，π)，并且满足a ∥b ，则θ的值为( ) A.π
4
B.π3
C.2
3
π D.56
π 5.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，P 是对角线AC 上一点，AP →＝25
AC →
，过点P 的直线分别交DA 的延长线，
AB ，DC 于点M ，E ，N .若DM →＝mDA →，DN →＝nDC →
(m >0，n >0)，则2m ＋3n 的最小值是( )
A.65
B.125
C.245
D.485
二、填空题
6．在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (1,0)，P 是x 轴上任意一点，平面上点M 满足：PM →·PB →
≥CM →·CB →
对任意P 恒成立，则点M 的轨迹方程为______．
7．在△ABC 中，已知AB →·AC →
＝tan A ，则当A ＝π6
时，△ABC 的面积为________．
8．已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量OA →，OB →，OC →满足：OA →－[y ＋2f ′(1)]OB →＋ln(x ＋1)OC →
＝0.则函数
y ＝f (x )的表达式为________________．
9．定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a·b ，当a ，b 不共线时，
|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面
内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论： ①a ⊗b ＝b ⊗a ；
②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )； ③(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗c ；
④若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1.
以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号) 三、解答题
10．已知点C 为圆(x ＋1)2
＋y 2
＝8的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点A (1,0)和AP 上的点M ，满足MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →
.
(1)当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；
(2)若斜率为k 的直线l 与圆x 2
＋y 2
＝1相切，直线l 与(1)中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ，O 是坐标原点，且34≤OF →·OH →≤4
5
时，求k 的取值范围．
答案精析
1．B [因为2OP →＝2OA →＋BA →
，
所以2AP →＝BA →
，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.] 2．B [∵D 为AB 的中点，则OD →
＝12
(OA →＋OB →
)，
又OA →＋
OB →＋2OC →
＝0，
∴OD →＝－OC →
，∴O 为CD 的中点，又∵D 为AB 中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝1
4S △ABC ，
则
S △ABC
S △AOC
＝4.] 3．D [由∠AOB ＝120°，OA ＝1，OB ＝2得AB 2＝OA 2＋OB 2
－2OA ·OB ·cos 120°＝1＋4＋2×1×2×12
＝7，
即AB ＝7，S △OAB ＝12×1×2×32＝3
2
，则OD ＝
32×27
＝
21
7
， 故OE →·EA →＝OD →2·(－AE →
)＝－12OD →·AO →＋AD →2＝OA →·OD →4＝|OA →|·|OD →
|·cos∠AOD 4
＝|OD →|2
4＝14×2149＝328
，故选D.]
4．B [因为a ∥b ，
所以sin θ2cos θ2－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ2＋π4
＝
sin θ2－32sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫θ＋π2
＝1
2(sin θ－3cos θ) ＝12×2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π3
＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0， 所以θ－π3＝k π(k ∈Z )，θ＝k π＋π3(k ∈Z )，又θ∈(0，π)，所以θ＝π
3，故选B.]
5．C [AP →＝25AC →⇒DP →＝35DA →＋25DC →
，
设DP →＝xDM →＋yDN →
，则x ＋y ＝1， 又DP →＝mxDA →＋ynDC →，
所以mx ＝35，ny ＝25⇒35m ＋2
5n ＝1，
因此2m ＋3n ＝(2m ＋3n )(35m ＋2
5n )
＝15(12＋9n m ＋4m n ) ≥1
5
(12＋29n m ·4m n )＝245
， 当且仅当2m ＝3n 时取等号，故选C.] 6．x ＝0
解析 设P (x 0,0)，M (x ，y )，则由PM →·PB →≥CM →·CB →可得(x －x 0)(2－x 0)≥x －1，x 0∈R 恒成立，即x 2
0－(x ＋2)x 0＋x ＋1≥0，x 0∈R 恒成立，所以Δ＝(x ＋2)2
－4(x ＋1)≤0，化简得x 2
≤0， 则x ＝0，即x ＝0为点M 的轨迹方程． 7.16
解析 已知A ＝π
6
，
由题意得|AB →||AC →
|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，
所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝1
6.
8．f (x )＝ln(x ＋1)
解析 由向量共线的充要条件及OA →－[y ＋2f ′(1)]OB →＋ln(x ＋1)OC →
＝0可得y ＋2f ′(1)－ln(x ＋1)＝1，即
y ＝1－2f ′(1)＋ln(x ＋1)，则y ′＝f ′(x )＝
1
1＋x
， 则f ′(1)＝12，所以y ＝1－2×1
2＋ln(x ＋1)＝ln(x ＋1)．
故f (x )＝ln(x ＋1)． 9．①④
解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，
当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a·b ＝b·a ＝b ⊗a ，故①是正确的；
当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故②是错误的；
当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a·c ＋b·c ，显然|a ＋
b －
c |≠a·c ＋b·c ，故③是错误的；
当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a·e |<|a |·|e |<|a |＋1，
当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故④是正确的． 综上，结论一定正确的是①④.
10．解 (1)由题意知，MQ 为线段AP 的垂直平分线，所以|CP |＝|QC |＋|QP |＝|QC |＋|QA |＝22>|CA |＝2，
所以点Q 的轨迹是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴为22的椭圆，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1，则b ＝a 2－c 2
＝1，故点Q 的轨迹方程为x 2
2
＋y 2
＝1.
(2)设直线l ：y ＝kx ＋b ，F (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)， 直线l 与圆x 2
＋y 2
＝1相切⇒
|b |
k 2
＋1
＝1⇒b 2＝k 2
＋1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
2
＋y 2＝1，y ＝kx ＋b
⇒(1＋2k 2
)x 2
＋4kbx ＋2b 2
－2＝0，
则Δ＝16k 2b 2
－4(1＋2k 2)×2(b 2－1)＝8(2k 2－b 2＋1)＝8k 2
>0⇒k ≠0， x 1＋x 2＝－4kb 1＋2k 2，x 1x 2＝2b 2
－21＋2k 2，
OF →
·OH →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝(1＋k 2
)(2b 2
－2)1＋2k 2＋kb ?－4kb ?1＋2k 2＋b 2 ＝2k 2
(1＋k 2
)1＋2k 2－4k 2
(k 2
＋1)1＋2k 2＋k 2＋1＝k 2
＋11＋2k
2，
所以34≤k 2
＋11＋2k 2≤45⇔13≤k 2≤12⇒
33≤|k |≤22⇒－22≤k ≤－33或33≤k ≤22. 所以k 的取值范围为[－22，－33]∪[33，2
2
]．。