2019年中考数学第五章圆5.1圆的性质及与圆有关的位置关系(讲解部分)素材

菱形，求得圆心角∠ＡＯＥ ＝ １２０°，即可求得ＡＥ的长度；②因 ＡＤ 不 是直径， 故 ∠ＡＥＤ ≠ ９０°． 当 △ＡＤＥ 是 直 角 三 角 形 时， 可 以 分 ∠ＡＤＥ ＝ ９０°和∠ＤＡＥ ＝ ９０°两种情况来求圆心角∠ＡＯＥ 的值，从
而求得ＡＥ的长度．
解析 （１） 证明：如图，连接 ＯＤ，
接三角形，ＡＢ ＝ ＡＣ，∠ＢＣＡ ＝ ６５°，作 ＣＤ∥ＡＢ，并与☉Ｏ 相交于点
Ｄ，连接 ＢＤ，则∠ＤＢＣ 的大小为
（ ）
Ａ．１５° Ｂ．２５°
Ｃ．３５°
Ｄ．４５°
答案 Ａ
解析 ∵ ＡＢ ＝ ＡＣ，∠ＢＣＡ ＝ ６５°， ∴ ∠ＢＣＡ ＝ ∠ＡＢＣ ＝ ６５°，
∴ ∠ＢＡＣ ＝ ５０°，∵ ＣＤ∥ＡＢ，∴ ∠ＢＡＣ ＝ ∠ＡＣＤ ＝ ５０°，根据圆周角
定理的推论得∠ＡＢＤ ＝ ∠ＡＣＤ ＝ ５０°，所以∠ＤＢＣ ＝ ∠ＡＢＣ－∠ＡＢＤ
＝ ６５°－５０° ＝ １５°，故选 Ａ．
方法二 解以圆为背景的特殊平行四边形的探究题
以圆为背景的特殊平行四边形的探究题在河南中考中连续 三年考查，考查的知识点主要有圆的性质，切线的性质和特殊平 行四边形的判定和性质．解题时，一般先假设四边形为特殊的平 行四边形，再结合圆的性质确定线段或角之间的数量关系． 依据 特殊平行四边形的性质构建数学模型，进而探究特殊平行四边 形成立的条件，从而解决问题．
(
上两点，点 Ｂ 为ＡＣ的中点，以线段 ＢＡ、ＢＣ 为邻边作菱形 ＡＢＣＤ， 顶点 Ｄ 恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为
（ ）
Ａ． ５ 或 ２ ２
Ｂ． ５ 或 ２ ５
Ｃ． ６ 或 ２ ２
Ｄ． ６ 或 ２ ３
解析 过 Ｂ 作直径，连接 ＡＣ 交 ＡＯ 于 Ｅ，
(
∵ 点 Ｂ 为ＡＣ的中点，∴ ＢＤ⊥ＡＣ．
又∵ ＰＥ⊥ＡＢ，∴ ∠ＯＡＣ＋∠ＡＰＥ ＝ ９０°，∴ ∠ＡＰＥ ＝ ∠ＡＣＤ．
又∵ ∠ＤＰＣ ＝ ∠ＡＰＥ，∴ ∠ＤＰＣ ＝ ∠ＡＣＤ，
∴ ＤＣ ＝ ＤＰ．
（３ 分）
(
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(
（２） 四边形 ＡＯＣＦ 是菱形． 证明：连接 ＡＦ，ＦＣ，ＯＦ． ∵ ＡＯ ＝ ＣＯ，∠ＣＡＢ ＝ ３０°， ∴ ∠ＡＣＯ ＝ ∠ＣＡＢ ＝ ３０°，∴ ∠ＡＯＣ ＝ １２０°．
（４ 分）
∵ Ｆ 是 ＡＣ 的中点，
∴
∠ＡＯＦ ＝ ∠ＦＯＣ ＝
１ ２
∠ＡＯＣ ＝ ６０°，
（６ 分）
∵ ＡＯ ＝ ＦＯ ＝ ＣＯ，∴ △ＡＯＦ，△ＦＯＣ 均为等边三角形，
∴ ＡＯ ＝ ＡＦ ＝ ＦＣ ＝ ＣＯ，
∴ 四边形 ＡＯＣＦ 是菱形．
（８ 分）
１１５
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方法一 与圆的性质有关的定理的应用方法
圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，每一条直径所在的 直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心，所以与圆的性质有 关的定理多数是互逆定理．
垂径定理是由圆的轴对称性得出的，运用此定理解题时，通 常利用半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形结合勾股定 理求需要的量．
在同圆或等圆中，两个圆心角、弦、优弧、劣弧任意一组量相 等，则其他量一定相等．
根据圆周角定理的推论得：直径所对的圆周角是直角，这个 结论常用在平面内确定直角三角形直角顶点的位置方法．由于圆 中一条弦所对的弧有两条，所以由圆内接四边形的性质结合圆 周角定理可得到如下结论：在同圆或等圆中，一条弦所对的圆周 角相等或互补，即圆周角在弦的同侧相等，异侧互补． 例 １ （２０１７ 山东潍坊，１２，３ 分） 点 Ａ、Ｃ 为半径是 ３ 的圆周
则 ＯＤ ＝ ＯＢ－ＢＤ ＝ １．
∵
四边形
ＡＢＣＤ
是菱形，∴
ＤＥ ＝
１ ２
ＢＤ ＝ １，∴
ＯＥ ＝ ２．
连接 ＯＣ，由勾股定理得，
ＣＥ ＝ ＯＣ２ －ＯＥ２ ＝ ５ ，∴ ＣＤ ＝ ＤＥ２ ＋ＣＥ２ ＝ ６ ．
②如图
２，ＢＤ ＝
２ ３
×２×３ ＝ ４，
同理可得，ＯＤ ＝ １，ＯＥ ＝ １，ＤＥ ＝ ２， 连接 ＯＣ，由勾股定理得，
＝
２ ３
π．
( ( (
②若∠ＡＤＥ ＝ ９０°， 则 点 Ｅ 与 点 Ｆ 重 合， 此 时 ＡＥ 的 长 度 为
１８０ × π × １ １８０
＝
π；若∠ＤＡＥ
＝
９０°，则
ＤＥ
是 直 径， 则 ∠ＡＯＥ
＝
２ ∠ＡＤＯ
＝ ６０°，此时ＡＥ的长度为６０１×８π０×１ ＝
１ ３
π；
∵ ＡＤ 不是直径，∴ ∠ＡＥＤ≠９０°．
考点一 圆的有关概念及性质
１．垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所
对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦，并且① 平分弦
所对的两条弧 ；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦． ２．与圆有关的角 （１）② 顶点在圆心的角 叫做圆心角，它的度数等于它所对
３ ４ ５ 年中考 ３ 年模拟
第五章 圆
§ ５．１ 圆的性质及与圆有关的位置关系
１１４
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的弧的度数． （２）③ 顶点在圆上并且两边都和圆相交的角 叫做圆周角，
其性质有： 一条弧所对的圆周角等于它所对的④ 圆心角 的一半； 同弧或等弧所对的⑤ 圆周角 相等，在同圆或等圆中，⑥ 相
等的圆周角所对 的弧相等． 半圆（ 或直径） 所对的圆周角是直角，⑦ ９０° 的圆周角所对的弦
是直径． ３．圆心角、弧、弦、弦心距的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对
的弦相等．
考点二 与圆有关的位置关系
１．点和圆的位置关系 如果圆的半径为 ｒ，某一点到圆心的距离为 ｄ，那么：
（１）点在圆外⇔ｄ＞ｒ； （２）⑧ 点在圆上 ⇔ｄ ＝ ｒ；
（３）点在圆内⇔⑨ ｄ＜ｒ ． ２．直线和圆的位置关系 如果设☉Ｏ 的半径为 ｒ，圆心 Ｏ 到直线 ｌ 的距离为 ｄ，那么 （１）直线 ｌ 和☉Ｏ 相交⇔⑩ ｄ＜ｒ ； （２）直线 ｌ 和☉Ｏ 相切⇔ｄ ＝ ｒ； （３） 直线 ｌ 和☉Ｏ 相离⇔������������ ｄ＞ｒ ． ３．切线的判定方法 （１） 定义：直线与圆有������������ 唯一公共点 ，直线叫做圆的切线． （ ２） 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线． ４．圆的切线的性质 （ １） 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． （２）推论 １：经过圆心且垂直于切线的直线，必经过切点． （３）推论 ２：经过切点且垂直于切线的直线，必经过圆心． ５．与三角形（ 多边形） 内切圆有关的概念 （１） 和三角形各边都������������ 相切的圆 叫三角形的内切圆，内切 圆的圆心叫三角形的内心，这个三角形叫圆的������������ 外切三角形 ． （２） 和多边形各边都������������ 相切的圆 叫多边形的内切圆，这个 多边形叫圆的外切多边形．
１ 综上可得， 当 ＡＥ 的 长 度 是 ３ π 或 π 时， △ＡＤＥ 是 直 角 三
角形．
变式训练 ２ （ ２０１６ 江西，１８，８ 分） 如图，ＡＢ 是☉Ｏ 的直
径，点 Ｐ 是弦 ＡＣ 上一动点（ 不与点 Ａ，Ｃ 重合） ，过点 Ｐ 作 ＰＥ⊥
ＡＢ，垂足为 Ｅ，射线 ＥＰ 交 ＡＣ 于点 Ｆ，交过点 Ｃ 的切线于点 Ｄ． （１） 求证：ＤＣ ＝ ＤＰ；
３ ６ ５ 年中考 ３ 年模拟
（２） 若∠ＣＡＢ ＝ ３０°，当 Ｆ 是 ＡＣ 的中点时，判断以 Ａ，Ｏ，Ｃ，Ｆ 为顶点的四边形是什么特殊四边形，说明理由．
解析 （１） 证明：连接 ＯＣ．
∵ ＤＣ 是☉Ｏ 的切线，ＯＣ 为半径，
∴ ∠ＯＣＤ ＝ ９０°，即∠ＯＣＡ＋∠ＡＣＤ ＝ ９０°．
∵ ＯＡ ＝ ＯＣ，∴ ∠ＯＡＣ ＝ ∠ＯＣＡ．
∵
在
Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠ＢＡＣ ＝ ９０°，∠Ｃ ＝ ３０°，∴
ＡＢ ＝
１ ２
ＢＣ，
∵
Ｄ
是
ＢＣ
的中点，∴
ＢＤ ＝
１ ２

ＢＣ，
∴ ＡＢ ＝ ＢＤ，∴ ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＢＤＡ，
∵ ＯＡ ＝ ＯＤ，∴ ∠ＯＡＤ ＝ ∠ＯＤＡ，
∴ ∠ＢＡＤ＋∠ＯＡＤ ＝ ∠ＢＤＡ＋∠ＯＤＡ，
∴ ∠ＯＤＢ ＝ ∠ＢＡＯ ＝ ９０°，
即 ＯＤ⊥ＢＣ，
∴ ＢＤ 是☉Ｏ 的切线．
（ ２） ①
２ ３
π；②
π ３
或
π．
提示：① 当 ＤＥ ⊥ ＡＣ 时， 四 边 形 ＡＢＤＥ 是 菱 形， 连 接 ＯＥ，
∵ ∠Ｂ ＝ ６０°，ＡＤ ＝ ＡＥ ＝ ＤＥ，∴ ∠ＦＡＥ ＝ ３０°，∠ＡＯＥ ＝ １２０°，∴ ＡＥ的
１２０π× 长度为 １８０
１
例 ２ （ ２０１７ 开 封 一 模， １８， ９ 分） 如 图， 在 Ｒｔ △ＡＢＣ 中， ∠ＢＡＣ ＝ ９０°，∠Ｃ ＝ ３０°，以边 ＡＣ 上一点 Ｏ 为圆心，ＯＡ 为半径作
( (
(
思路分析 （１） 连接 ＯＤ，证明∠ＯＤＢ ＝ ∠ＢＡＯ ＝ ９０°，从而 证得 ＢＤ 是☉Ｏ 的切线；
（２） ①连接 ＯＥ，依据题意，当 ＤＥ⊥ＡＣ 时，四边形 ＡＢＤＥ 是
ＣＥ ＝ ＯＣ２ －ＯＥ２ ＝ ８ ＝ ２ ２ ，
∴ ＣＤ ＝ ＤＥ２ ＋ＣＥ２ ＝ （２ ２ ） ２ ＋２２ ＝ ２ ３ ．
故选 Ｄ．
答案 Ｄ
思路分析 本题考查了圆心角，弧，弦的关系，菱形的性
质，垂径定理和勾股定理，分类讨论确定三等分点 Ｄ 和圆心 Ｏ 的
位置关系是解题的关键．
变式训练 １ （２０１８ 陕西，９，３ 分） 如图，△ＡＢＣ 是☉Ｏ 的内
第五章 圆 ３ ５
☉Ｏ，☉Ｏ 恰好经过边 ＢＣ 的中点 Ｄ，并与边 ＡＣ 相交于另一点 Ｆ． （１） 求证：ＢＤ 是☉Ｏ 的切线； （２） 若 ＡＢ ＝ ３ ，Ｅ 是半圆ＡＧＦ上一动点，连接 ＡＥ，ＡＤ，ＤＥ． 填空：①当ＡＥ的长度是 时，四边形 ＡＢＤＥ 是菱形； ②当ＡＥ的长度是 时，△ＡＤＥ 是直角三角形．
又点 Ｄ 恰在该圆直径的三等分点上，
①如图
１，当
ＢＤ ＝
１ ３
×２×３ ＝ ２
时，
(
( ( (
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