成都市树德实验中学九年级数学上册第二十二章《二次函数》经典测试题(答案解析)

一、选择题
1．设A(﹣2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝﹣（x＋1）2＋a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2A
解析：A
【分析】
根据二次函数的性质解答．
【详解】
由抛物线y＝﹣（x＋1）2＋a可知：抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，
∴点离对称轴越近该点的函数值越大，
∵2(1)1(1)2(1)
---<--<--，
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
【点睛】
此题考查二次函数的增减性：当a>0时，对称轴左减右增；当a<0时，对称轴左增右减．2．如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7C
解析：C
【分析】
当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，求出a＝1
3
；当顶点在点A时，M点
的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝1
3
（x＋2）2﹣3，令y＝0，求出x值，即可
求解．
【详解】
当图象顶点在点B 时，点N 的横坐标的最大值为4，
则此时抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣1）2﹣3，
把点N 的坐标代入得：0＝a （4﹣1）2﹣3，
解得：a ＝13
， 当顶点在点A 时，M 点的横坐标为最小， 此时抛物线的表达式为：y ＝
13（x ＋2）2﹣3， 令y ＝0，则x ＝﹣5或1，
即点M 的横坐标的最小值为﹣5，
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是二次函数与x 轴的交点，涉及到函数基本性质和函数的最值，其中确定坐标取得最值时，图象所处的位置是本题的关键．
3．一次函数y ＝ax +c 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一个平面坐标系中图象可能是（ ） A ． B ．
C ．
D ．B
解析：B
【分析】 根据两个函数图象与y 轴交于同一点可排除选项A ，再根据抛物线的开口方向和对应一次函数的增减性即可做出选择．
【详解】
解：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ），
∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，故A 不符合题意；
当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上，一次函数y ＝ax +c 中y 值随x 值的增大而增大，故D 不符合题意；
当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上，一次函数y ＝ax +c 中y 值随x 值的增大而减小，故C 不符合题意．
故选：B ．
【点睛】
本题考查二次函数及一次函数的图象与性质，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答的关键．
4．设函数()()12y x x m =--，23y x
=，若当1x =时，12y y =，则（ ）
A ．当1x >时，12y y <
B ．当1x <时，12y y >
C ．当0.5x <时，12y y <
D ．当5x >时，12y y >D 解析：D
【分析】
当y 1＝y 2，即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝3x ，把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3，则m ＝4，画出函数图象即可求解．
【详解】
解：当y 1＝y 2，
即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝3x
， 把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3，
∴m ＝4，
∴y 1＝（x ﹣2）（x ﹣4），
抛物线的对称轴为：x ＝3，
如下图：设点A 、B 的横坐标分别为1，5，
则点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，从图象看在点B 处，即x ＝5时，y 1＞y 2， 故选：D ．
【点睛】
本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．
5．如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，此图象与x 轴的交点坐标分别为(－1，0)、(3，0).下列说法：0abc >；方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =；当1x >时，y 随着x 的增大而增大；420a b c ++<.正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．3C
解析：C
【分析】 ①由抛物线的开口方向、与y 轴的交点判定a 、c 的符号，根据对称轴确定b 的符号； ②根据二次函数图象与x 轴的交点解答；
③利用对称轴和二次函数的图象的性质作出判断；
④将x=2代入函数关系式，结合图象判定y 的符号．
【详解】
解：①∵抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上， ∴a ＞0，-
b 2a
＞0，c ＜0， 即b ＜0，
∴abc ＞0，正确；
②二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点是（-1，0）、（3，0），
∴方程ax 2+bx+c=0的根为x 1=-1，x 2=3
故本选项正确；
③函数对称轴是直线x=1，
根据图象当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；
④根据图象可知抛物线与x 轴的交点坐标是（-1，0），（3，0），
∴当x=2时，y ＜0
∴当x=1时4a+2b+c ＜0，正确．
共有四个正确的，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性，还是一道比较容易出错的题目．
6．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象中，对称轴是直线1x =，王刚同学观察得出了下面四条信息：①1c >；②若()12,y ，()24,y 是抛物线上两点，则12y y >；③420a b c -+<；④方程20ax bx c ++=的两根是11x =-，23x =．其中说法正确的有（ ）
A ．①②③④
B ．②④
C ．①②④
D ．①③④A
解析：A
【分析】
由OC 与OA 的大小对①进行判断；利用二次函数的性质对②进行判断；利用x=-2时，y ＜0可对③进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），然后根据抛物线与x 轴的交点问题可对④进行判断．
【详解】
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，且OC ＞1，
∴c ＞1，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而点（2，y 1）到直线x=1的距离小于点（4，y 2）到直线x=1的距离相等，
∴y 1＞y 2，所以②正确；
∵x=-2时，y ＜0，
∴4a-2b+c ＜0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，而抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），
∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），
∴方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3，所以④正确．
故选：A ．
【点睛】
考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是熟记二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点． 7．已知二次函数()()2y x p x q =---，若m ，n 是关于x 的方程
()()20x p x q ---=的两个根，则实数m ，n ，p ，q 的大小关系可能是（ ） A ．m ＜p ＜q ＜n
B ．m ＜p ＜n ＜q
C ．p ＜m ＜n ＜q
D ．p ＜m ＜q ＜n A
解析：A
【分析】
根据二次函数图象性质和一元二次方程的知识结合已知条件，可以得到结论：m 、n 一定是一个最大、一个最小，而p 、q 一定介于m 、n 之间，从而解答本题．
【详解】
解：∵二次函数的解析式是()()2y x p x q =---
∴1a =
∴该二次函数的抛物线开口向上
∵m 、n 是关于x 的方程()()20x p x q ---=的两个根
∴当x m =或x n =时，0y =
∵当x p =或x q =时，2y =-
∴m 、n 一定是一个最大、一个最小，而p 、q 一定介于m 、n 之间．
故选：A
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点情况和一元二次方程根的关系、二次函数图象性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的图象性质解答．
8．已知抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点（A 在原点O 左侧，B 在原点O 右侧)，与y 轴交于C 点，且OC=OB,令CO AO
=m ，则下列m 与b 的关系式正确的是( )
A ．m=
2
b B ．m=b+1 C ．m=6b D ． m=2b +1B 解析：B
【分析】 利用数形结合得思想，先表示出A 、B 的横坐标，再代入到解析式建立方程，进而分别求
解即可．
【详解】 由题意：OC c =，则OB c =，即B 的横坐标为c ，代入解析式有：20c bc c -++=， 则可解得：1c b =+，
根据CO m AO =，可得c OA m =，即A 的横坐标为c m
-，代入解析式有：20c c b c m m ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：210c b m m --+=， 将1c b =+代入可得；2110b b m m +--+=，即2210m b bm m
---=， 210m b bm ∴---=，整理得：()210m bm b --+=，
对其因式分解可得：()()110m b m -++=⎡⎤⎣⎦，
解得：1m b =+，或1m =-（舍去），
故选：B ．
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，能够利用数形结合的思想，准确将图中的信息转化为解方程是解决问题的关键． 9．表格对应值：
x 1 2
3 4 2ax bx c ++ 0.5-
5 12.5 22 判断关于x 的方程22ax bx c ++=的一个解x 的范围是（ ）
A ．01x <<
B ．12x <<
C ．23x <<
D ．34x <<B
解析：B
【分析】
利用x =1和x =2所对应的函数值可判断抛物线y=ax 2+bx +c 与x 轴的一个交点在（1，0）和（2，0）之间，则根据抛物线于x 轴的交点问题可判断关于x 的方程ax 2+bx +c =0（a≠0）的一个解x 的范围．
【详解】
解：∵x =2时，y =5，即ax 2+bx +c ＞0；
x =1时，y =-0.5，即ax 2+bx +c ＜0，
∴抛物线y=ax 2+bx +c 与x 轴的一个交点在（1，0）和（2，0）之间，
∴关于x 的方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的一个解x 的范围是1＜x ＜2．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．
10．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．0abc >
B ．20a b +<
C ．关于x 的方程230ax bx c +++=有两个相等的实数根
D ．930a b c ++<D
解析：D
由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，abc ＜0，故A 选项错误；
对称轴为x=-
2b a
=1，得2a=-b ， ∴2a+b=0，故B 错误； 由图像可得二次函数的图象与x 轴有两个交点，故230ax bx c +++=有两个相等的实数根的说法错误，故C 错误；
∵对称轴为x=1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点得横坐标小于2，
∴当x=3时，y=9a+3b+c ＜0，故D 正确；
【点睛】
本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．
二、填空题
11．关于x 的一元二次方程220x x k -++=的一个解是13x =，则抛物线
22y x x k =-++与x 轴的交点坐标是____．（30）（-10）【分析】设一元二次方程的另一个根为利用根与系数的关系即可求得进而得到对应的函数与轴的交点坐标【详解】设一元二次方程的另一个根为∵即解得：∴抛物线与轴的交点坐标为（30）（-10）故
解析：（3，0），（-1，0）
【分析】
设一元二次方程220x x k -++=的另一个根为2x ，利用根与系数的关系即可求得2x ，进而得到对应的函数2
2y x x k =-++与x 轴的交点坐标． 【详解】
设一元二次方程220x x k -++=的另一个根为2x ， ∵12b x x a
+=-，即232x +=， 解得：21x =-，
∴抛物线22y x x k =-++与x 轴的交点坐标为（3，0），（-1，0），
故答案为：（3，0），（-1，0）．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，抛物线与x 轴交点的坐标．解题时，注意二次函数22y x x k =-++与一元二次方程2
2y x x k =-++间的转化关系．
12．已知函数223y x x =--，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是______．【分析】先求出函数图像的对称轴然后根据二次函数的增减性即可解答
【详解】解：∵函数图像的对称轴为x=1∴当数值随的增大而减小故答案为
【点睛】本题考查了二次函数的增减性确定二次函数的对称轴是解答本题的关键
解析：1x <
【分析】
先求出函数图像的对称轴，然后根据二次函数的增减性即可解答．
【详解】
解：∵函数223y x x =--图像的对称轴为x=1
∴当1x <，数值y 随x 的增大而减小．
故答案为1x <．
【点睛】
本题考查了二次函数的增减性，确定二次函数的对称轴是解答本题的关键．
13．将抛物线2(3)2y x =--向左平移3个单位后的解析式为______．【分析】根据得到该抛物线的顶点坐标为(3-2)将该点向左平移3个单位后得到的点的坐标为(0-2)即可得到解析式；【详解】∵抛物线∴顶点坐标为(3-2)∴向左平移3个单位后得到新的坐标为(0-2)∴平
解析：22y x =-
【分析】
根据2(3)2y x =--得到该抛物线的顶点坐标为(3，-2)，将该点向左平移3个单位后得到的点的坐标为(0，-2)，即可得到解析式；
【详解】
∵抛物线2(3)2y x =--
∴顶点坐标为(3，-2)，
∴向左平移3个单位后得到新的坐标为(0，-2)，
∴平移后的解析式22(33)22y x x =-+-=-．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握二次函数平移的方法是解题的关键； 14．如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，有下列4个结论：①0abc >；②240b ac ->；③关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是12x =-，23x =；④关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是2x >-．其中正确的结论是___________．
②③【分析】根据抛物线开口方向对称轴的位置以及
与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断【详解】解：∵抛物线开口
解析：②③
【分析】
根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，交y 轴的正半轴，
∴a ＜0，c ＞0，
∵-
2b a =12
， ∴b =-a ＞0， ∴abc ＜0，所以①错误；
∵抛物线与x 轴有2个交点，
∴△=b 2-4ac ＞0，
即b2＞4ac ，所以②正确；
∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点（-2，0），
而抛物线的对称轴为直线x=
12， ∴点（-2，0）关于直线x =12
的对称点（3，0）在抛物线上， ∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根是x 1=-2，x 2=3，所以③正确．
由图象可知当-2＜x ＜3时，y ＞0，
∴不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是-2＜x ＜3，所以④错误；
故答案为②③．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开
口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
15．已知点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线y ＝﹣（x +1）2+3的图象上，则y 1_____y 2（填“＜”或“＞”或“＝”）．＞【分析】根据抛物线y ＝﹣（x+1）2+3得到开口向下对称轴为直线x ＝﹣1然后根据二次函数的性质判断函数值的大小【详解】解：∵抛物线y ＝﹣（x+1）2+3的开口向下对称轴为直线x ＝﹣1∴当x ＞﹣1时 解析：＞
【分析】
根据抛物线y ＝﹣（x +1）2+3得到开口向下，对称轴为直线x ＝﹣1，然后根据二次函数的性质判断函数值的大小．
【详解】
解：∵抛物线y ＝﹣（x +1）2+3的开口向下，对称轴为直线x ＝﹣1，
∴当x ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小，
∵1＜2，
∴y 1＞y 2．
故答案为：＞．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 是一次函数y x =图像上两点，它们的横坐标分别为1，4，点E 是抛物线2
48y x x =-+图像上的一点，则ABE △的面积最小值是______． 【分析】设点E （mm2﹣4m+8）过E 作EM 垂直于
x 轴交AB 于点M 作BF ⊥EMAG ⊥EM 垂足分别为FG 由题意可得M （mm ）从而可用含m 的式子表示出EM 的长根据二次函数的性质及三角形的面积公式可得答案
解析：218
【分析】
设点E （m ，m 2﹣4m +8），过E 作EM 垂直于x 轴交AB 于点M ，作BF ⊥EM ，AG ⊥EM ，垂足分别为F ，G ，由题意可得M （m ，m ），从而可用含m 的式子表示出EM 的长，根据二次函数的性质及三角形的面积公式可得答案．
【详解】
解：设点E （m ，m 2﹣4m +8），过E 作EM 垂直于x 轴交AB 于点M ，作BF ⊥EM ，AG ⊥EM ，垂足分别为F ，G ，
由题意得：M （m ，m ），
∴EM ＝m 2﹣4m +8﹣m ＝m 2﹣5m +8
＝25
7()24m -+， ∴S △ABE ＝S △AEM +S △EMB
＝1122
EM AG EM BF ⋅+⋅ 1()2
EM AG BF =+ 12=
(m 2﹣5m +8)×（4-1） 32=
(m 2﹣5m +8) ＝
23521()228m -+， 由302
>，得S △ABE 有最小值．
∴当m ＝52时，S △ABE 的最小值为218
． 故答案为：
218． 【点睛】
本题考查了二次函数的最值、一次函数与二次函数图象上的点与坐标的关系及三角形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理并数形结合是解题的关键．
17．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出以下结论：①24b ac >；
②abc>0；③20a b -=；④80a c +<；⑤930a b c ++>，其中结论正确的是__________．（填正确结论的序号）
①②【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系由抛物线
与y 轴的交点判断c 与0的关系然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理进而对所得结论进行判断即可【详解】解：①由图知：抛物线与x 轴有两个不同的
解析：①②．
【分析】
由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可．
【详解】
解：①由图知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则△＝b 2−4ac ＞0，∴b 2＞4ac ，故①正确；
②抛物线开口向上，得：a ＞0；抛物线的对称轴为x ＝2b a
-
＝1，b ＝−2a ，故b ＜0；抛物线交y 轴于负半轴，得：c ＜0；所以abc ＞0；故②正确； ③∵抛物线的对称轴为x ＝2b a
-
＝1，b ＝−2a ，∴2a ＋b ＝0，故③错误； ④根据②可将抛物线的解析式化为：y ＝ax 2−2ax ＋c （a≠0）； 由函数的图象知：当x ＝−2时，y ＞0；即4a−（−4a ）＋c ＝8a ＋c ＞0，故④错误； ⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（−1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）； 当x ＝−1时，y ＜0，所以当x ＝3时，也有y ＜0，即9a ＋3b ＋c ＜0；故⑤错误； 所以正确的结论有：①②．
故答案为：①②．
【点睛】
本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，，掌握二次函数()20y ax bx c a =++≠系
数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数的关
系是解题的关键．
18．已知点P （m ，n ）在抛物线2y ax x a =--上，当1m 时，总有1n ≥-成立，则实数a 的取值范围是_______．0＜a≤【分析】依照题意画出图形分0＜＜1及≥1两种情况考虑结合函数图形以及已知条件可得出关于a 的一元一次不等式组（或一元一次不等式）解之即可得出a 的取值范围综上即可得出结论【详解】当≥1时有解得：
解析：0＜a≤12 【分析】 依照题意画出图形，分0＜12a ＜1及12a
≥1两种情况考虑，结合函数图形以及已知条件可得出关于a 的一元一次不等式组（或一元一次不等式），解之即可得出a 的取值范围，综上即可得出结论．
【详解】
当12a ≥1时，有011a a a ⎧⎨--≥-⎩
＞， 解得：a ＞0，
∴0＜a≤12
； 当0＜12a ＜1时，有()224114a
a --≥--， 解得：a=
12 ∴0＜a≤12
． 综上所述：0＜a≤
12． 故答案为：0＜a≤12
．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，分0＜
12a ＜1及12a
≥1两种情况找出关于a 的一元一次不等式（一元一次不等式组）是解题的关键．
19．如图，在直角坐标系中，点A ，C 在x 轴上，且8AC =，10AB =，90ACB ∠=，抛物线经过坐标原点O 和点A ，若将点B 向右平移5个单位后，恰好与抛物线的顶点D 重合，则抛物线的解析式为_______．
【分析】利用勾股定理易求BC 的长即点D 的纵坐
标长度再求出OE 的长即可出点D 的坐标设抛物线的解析式为y=a （x-3）2+6把点A 坐标代入求出a 的值即可得到抛物线解析式【详解】解：如图所示∵BC ⊥x 轴即 解析：2243
y x x =-+ 【分析】
利用勾股定理易求BC 的长，即点D 的纵坐标长度，再求出OE 的长即可出点D 的坐标,设抛物线的解析式为y=a （x-3）2+6，把点A 坐标代入求出a 的值即可得到抛物线解析式．
【详解】
解：如图所示，
∵BC ⊥x 轴，即∠BCA=90°，
∴226BC AB AC -=．
由平移性质得，CE=BD=5．
∴AE=OE=3．
∴D 的坐标为（3，6）．
设抛物线的解析式为y=a （x-3）2+6，
将点A （6，0）代入得，a （6-3）2+6=0．
∴a=23
， ∴y=-23（x-3）2+6=2243
x x -+． 故答案为：2243y x x =-
+
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点、利用待定系数法求抛物线的解析式以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等．
20．如图，抛物线 y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①2a +b =0；②b 2-4ac ＜0；③当y ＞0时，x 的取值范围是 -1＜x ＜3；④当 x ＞0时，y 随x 增大而增大；⑤若t 为任意实数，则有a+b≥at 2+bt ．
其中结论正确的是_________．
①③⑤【分析】根据二次函数的图象及性质即可判
断【详解】解：由图象可知：该抛物线的对称轴为x=1∴抛物线与x 轴的另外一个交点为：（30）∵对称轴为x=−＝1从而可知：2a+b=0故①正确；∵抛物线与x
解析：①③⑤
【分析】
根据二次函数的图象及性质即可判断．
【详解】
解：由图象可知：该抛物线的对称轴为x=1，
∴抛物线与x 轴的另外一个交点为：（3，0）
∵对称轴为x=−2b a
＝1， 从而可知：2a+b=0，故①正确；
∵抛物线与x 轴有两个交点（-1，0），（3，0）
∴△=b 2-4ac ＞0，
而②b 2-4ac ＜0，故②错误；
由图象可知：当y ＞0时，x 的取值范围是-1＜x ＜3，故③正确；
由图象可知：当x ＜1时，y 随x 增大而增大，故④错误；
若t 为任意实数，x=1时，函数取得最大值，故a+b+c≥at 2+bt+c ，
∴a+b≥at 2+bt ，故⑤正确，
所以，结论正确的是①③⑤．
故答案为：①③⑤．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练正确理解二次函数图象与系数的
关系，本题属于中等题型．
三、解答题
21．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
的大小关系为（用“＜”连接）．
解析：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3）p＜m＜n
【分析】
(1)根据二次函数的性质即可得到结论；
(2)由函数图象的形状相同得到a=±2，根据上加下减的平移规律即可求得函数 y =ax2-2，根据完全重合，得到c =-2．
(3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断．【详解】
解：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；
（2）∵函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同，
∴a＝±2，
∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，
∴c＝﹣2，
故答案为：±2，﹣2．
（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，
∴p＜m＜n，
故答案为：p＜m＜n．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
22．已知抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9．
（1）求它的对称轴；
（2）求它与x 轴，y 轴的交点坐标．
解析：（1）x ＝1；（2）与x 轴的交点坐标为(﹣1，0)，(3，0)，与y 轴的交点坐标为(0，9)
【分析】
（1）根据对称轴公式，可以求得该抛物线的对称轴；
（2）令x=0求出相应的y 值，再令y=0，求出相应的x 的值，即可得到该抛物线与x 轴，y 轴的交点坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线的解析式为y ＝﹣3x 2+6x+9，
∴该抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b a
＝﹣62(3)⨯-＝1， 即该抛物线的对称轴为直线x ＝1；
（2）∵抛物线的解析式为y ＝﹣3x 2+6x+9，
∴当x ＝0时，y ＝9，
当y ＝0时，x ＝﹣1或x ＝3，
即该抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），与y 轴的交点坐标为（0，9）
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 23．某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB 为4m ，顶部C 距离地面的高度为
4.4m ，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m ，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？
解析：能，理由见解析
【分析】
首先建立适当的平面直角坐标系，并利用图象中的数据确定二次函数的解析式，进而得到装货后的最大高度，即可求解．
【详解】
解：以C 为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，
根据题意知，A （﹣2，﹣4.4），B （2，﹣4.4），
设这个函数解析式为y ＝kx 2．
将A 的坐标代入，得y ＝﹣1.1x 2，
∵货车装货的宽度为2.4m ，
∴E 、F 两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，
∴当x ＝1.2时 y ＝﹣1.584，
∴GH ＝CH ﹣CG ＝4.4﹣1.584＝2.816（m ），
因此这辆汽车装货后的最大高度为2.816m ，
∵2.8＜2.816，
所以该货车能够通过此大门．
【点睛】
本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用关键是建立数学模型，借助二次函数解决实际问题，注意根据线段长度得出各点的坐标，难度一般．
24．如图，已知正三角形ABC 的边长为4，矩形DEFG 的DE 两个点在正三角形BC 边上，F 、G 点在AB 、AC 边上，求矩形DEFG 的面积的最大值是多少？
解析：3【分析】
设EF=x ，先求出三角形ABC 的高AH 的长，由矩形性质FG ∥BC ，推出△AFG ∽△ABC 利用性质得比例式FG AM =BC AH 求出23423x ⋅，利用矩形面积公式S 矩形DEFG =22343
x x -+利用函数的性质求出最值即可．
【详解】
过A 作AH ⊥BC 于H ，交FG 于M ，
∵正三角形ABC 的边长为4，
∴BH=CH=2，
在Rt △ABH 中由勾股定理AH=2222AB -BH =4-2=23， 设EF=x ，则AM=23-x ，
∵矩形DEFG 的DE 两个点在正三角形BC 边上，
∴FG ∥BC ，
∴△AFG ∽△ABC ，
∴FG AM =BC AH
， ∴()234AM BC FG==AH 23
x -⋅， ∴S 矩形DEFG =FE•FG=()22342343
23x x
x x -⋅=-+， ∵233
a =-0<， 则抛物线开口向下，有最大值，
4
32323x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，
S 最大=23．
【点睛】
本题考查等边三角形内接矩形问题，涉及等边三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，掌握等边三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质是解题关键．
25．“新冠肺炎”疫情期间某工厂为支持国家抗击疫情每天连夜生产急缺的消毒液，已知每瓶消毒液的生产成本为20元，为了合理定价，根据市场调查发现，当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，但要求
销售单价不能低于成本且不高于30元.
（1）求每天的销售量y （瓶）与销售单价x （元）之间的函数关系式；
（2）求每天的利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；
（3）该工厂负责人决定将每天的利润全部捐献出来进一步支持国家抗击“新冠肺炎”疫情，则当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
解析：（1）函数关系式为y =-1000x +36000；（2）函数关系式为w =-1000x 2+56000x -720000；（3）当销售单价为28元时，最大利润是64000元.
【分析】
（1）抓住关键的已知条件：当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，由此可得到y 与x 之间的函数解析式. （2）利用根据每天的利润=每一件的利润×销售量，列出w 与x 之间的函数解析式. （3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可得结果.
【详解】
（1）解：由题意得
y =（30-x ）×1×1000+6000=-1000x +36000.
∴每天的销售量y （瓶）与销售单价x （元）之间的函数关系式为y =-1000x +36000. （2）解：由题意得
w =（x -20）（-1000x +36000）=-1000x 2+56000x -720000.
∴每天的利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式为w =-1000x 2+56000x -720000. （3）解：w =-1000x 2+56000x -720000=-1000（x -28）2+64000.
∵a =-1000＜0
∴当x =28时，w 有最大值为64000.
答：当销售单价为28元时，最大利润是64000元.
【点睛】
本题考查一次函数和二次函数的实际应用-销售问题；二次函数顶点式的转化也是本题求最值问题的关键．
26．如图已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，连接BC ，PB ，PC ，设PBC 的面积为S ．
①求S 关于t 的函数表达式；
②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．。