郴州市高三第三次质量检测数学试题（文）含答案

郴州市高三第三次教学质量监测试卷
文科数学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知集合{}
{}2|650,1,2,3,4,5M x x x N =-+<=，则M
N =
A.{}1,2,3,4
B. {}2,3,4,5
C. {}2,3,4
D.{}1,2,4,5 2.设
1i
a bi i
=++（,a b R ∈,i 是虚数单位），则a bi -= A. 1 B.
1
2
2 D.22
3.从集合{}2,1,2A =--中随机选取一个数记为a ，从集合{}1,1,3B =-中随机选取一个数记为b ，则直线0ax y b -+=不经过第四象限的概率为 A.
29 B. 13 C. 49 D.1
4
4.函数()2sin 23f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象关于直线0x x =对称，则0x 的最小值为 A.
12π B. 6π C. 4
π
D. 512π 5.《九章算术•均输》中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思是“已知甲、乙、丙、丁、戊”五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，乙所得为 A.
43钱 B. 76钱 C. 65 钱 D.54
钱 6.一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积是 A. 426+46+ C.422+ D.42
7.设关于,x y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪
+<⎨⎪->⎩
表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足
0022x y -=，则m 的取值范围是
A. 4,
3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. 1,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
C. 2,3⎛
⎫-∞-
⎪⎝
⎭ D. 5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
8.如图，程序输出的结果为1320s =，则判断框内应填入
A.10?i ≥
B. 10?i <
C. 11?i ≥
D.11?i < 9.函数()()
sin ln 2x
f x x =
+的图象可能是
10.已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在某球面上，PC 为该球的直径，ABC ∆是边长为4
的等边三角形，三棱锥P ABC -的体积为
16
3
，则该三棱锥的外接球的表面积为 A. 163π B. 403π C. 643π D.803
π
11.如图，以双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右顶点
2A 为圆心作一个圆，该圆与其渐近线0bx ay -=交于,P Q 两点，若
290,2PA Q PQ OP ∠==，则该双曲线的离心率为
A.
7
2
B. 525312.已知曲线:x
C y e =和直线:0l ax by +=，若直线l 上有且只有两个关于y 轴对称的点在
曲线C 上，则
b
a
的取值范围是 A. (),e -∞- B. 1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
C. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D.(),e +∞
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设向量()(),2,1,1a x b ==-，且()
a b b -⊥，则x 的值为 .
14.已知奇函数()()1,0
,0x
e x
f x x h x x ⎧->⎪=⎨⎪<⎩
，则函数()h x 的最大值为 .
15.已知直线:60l x y +-=和圆22
:2220M x y x y +---=，点A 在直线l 上，若圆M 上存在一点C,使得30MAC ∠=，则点A 的横坐标的取值范围为 .
16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1,n n S a n N *
=-∈，令n n b na =，记{}n b 的前n 项
和为n T ，若不等式()1n
n n T b λ-<+对任意的正整数n 恒成立，则实数λ的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）
已知ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，且,,a b c 成等比数列，3cos .5
B =
（1）求cos cos sin sin A C
A C
+
的值； （2）若ABC ∆的面积为2，求ABC ∆的周长.
18.（本题满分12分）郴州市两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据表明，民生问题时百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%，现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组
[)45,55，第5组[)55,65，得到的频率分布直方图如图
所示.
（1）求出频率分布直方图中a 的值，并求出这200的平均年龄；
（2）现在要从年龄较小的第1组合第2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人赠送礼品，求抽取的2人中至少有1人的年龄在第1组的概率；
（3）把年龄在第1,2,3组的居民称为青少年组，年龄在第4,5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的人中老年人有10人，根据以上数据，完成以下列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为关注民生问题与年龄有关？
19.（本题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是菱形，且60ABC ∠=，M 为PC 的中点.
（1）在棱PB 上是否存在一点Q ，使得,,,A Q M D 四点共面？若存在，求出点Q 的位置并证明；若不存在，请说明理由； （2）求点D 到平面PAM 的距离.
20.（本题满分12分）已知椭圆
()22
22:10x y C a b a b
+=>>过点()
3,1A ，斜率
31l 过椭圆C 的焦点及点(0,23.B - （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知直线2l 过椭圆C 的左焦点F ，交椭圆于点,P Q ，若直线2l 与两坐标轴都不垂直，试问x 轴上是否存在一点M ，使得MF 恰好为PMQ ∠的角平分线？若存在，求出点
M M 的坐标；若不存在，请说明理由.
21.（本题满分12分）已知函数()1
ln 1,0f x ax a x
=+-≠ （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）已知()()g x xf x x +=-，若函数()g x 有两个极值点()1212,x x x x <，求证：
()10g x <.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕ
ϕ=+⎧⎨=⎩
（ϕ为参数），以坐标原点
O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系.
（1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是2sin 333πρθ⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭射线:3
OM π
θ=与圆C 的交点为O,P,与直线l 的交点为Q,求线段PQ 的长.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2,0.f x x x a a =+-> （1）当1a =时，解不等式()8f x ≤
（2）若()6f x ≥，恒成立，求实数a 的取值范围.
11 / 11。