延边第二中学数学高二下期中经典练习题(含解析)

一、选择题
1．(0分)[ID ：13605]O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足
+OP OA λ= ()·cos ?cos AB AC AB B AC C
+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ） A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
2．(0分)[ID ：13602]在ABC ∆中，若()()sin 12cos sin()A B B C A C -=+++，则
ABC ∆的形状一定是（ ）
A ．等边三角形
B ．不含60°的等腰三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
3．(0分)[ID ：13582]《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=1
2（弦×矢＋矢×
矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为2π
3，弦长为40√3m
的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中π≈3，√3≈1.73） A ．15
B ．16
C ．17
D ．18
4．(0分)[ID ：13580]在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，三边a ，
b ，
c 成等差数列，且6
B π
=
，则()2
cos cos A C -的值为（ ）
A ．1B
C ．2
D ．0
5．(0分)[ID ：13576]若x 1=
4π
，x 2=34
π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=
A ．2
B ．3
2
C ．1
D ．
12
6．(0分)[ID ：13558]已知tan 3α=，0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，则()sin2cos απα+-的值为( )
A ．
610
B ．
610
+ C ．
510
- D ．
510
7．(0分)[ID ：13554]设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0>ω，||ϕπ<.若
5(
)28f π=，()08
f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．23ω=
，12πϕ= B ．23
ω=，12ϕ11π=- C ．13ω=，24ϕ11π
=- D ．13ω=，724πϕ=
8．(0分)[ID ：13552]设向量(,4)a x =-，(1,)b x =-，向量a 与b 的夹角为锐角，则x 的范围为( )
A ．(22)，-
B ．(0,+)∞
C ．(0,2)(2+)⋃∞，
D ．[22]-，
9．(0分)[ID ：13621]已知4
sin cos 3
αα-=，则sin 2α=（ ）． A ．79
-
B ．29-
C ．29
D ．79
10．(0分)[ID ：13618]已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．(0分)[ID ：13573]已知1
sin cos 2
αα-=，且()0,απ∈，则sin cos αα+=（ ） A 7 B ．7C ．7D ．12
±
12．(0分)[ID ：13570]已知1
cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，则sin 26πα⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
（ ） A ．8
9
-
B ．
89 C ．
79
D ．79
-
13．(0分)[ID ：13563]平面向量a 与b 的夹角
23
π
，(2,0)a =，223a b +=，则
a b ⋅=（ ）
A ．23
B ．23-
C ．-2
D ．2
14．(0分)[ID ：13538]3
cos()45x π
-=，那么sin 2x =（ ） A ．
1825
B ．2425
±
C ．725
-
D ．
725
15．(0分)[ID ：13530]从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数m,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数n,则向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)垂直的概率为( ) A ．
16
B ．
13
C ．
14
D ．
12
二、填空题
16．(0分)[ID ：13727]已知函数()sin()(0,0,)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><的部分图像
如图所示，则对应的函数解析式为_______.
17．(0分)[ID ：13721]已知10cos ,0,4102ππθθ⎛⎫
⎛⎫+
=∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______ 18．(0分)[ID ：13717]已知O 为ABC ∆的外心，且6AB =，2AC =，则AO BC ⋅的值为______．
19．(0分)[ID ：13714]已知||2,||3a b ==，且a 与b 的夹角是60︒，则
|32|a b -=______
20．(0分)[ID ：13687]已知,a b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角大小为_________
21．(0分)[ID ：13684]设[
),,0,2πa b R c ∈∈.若对任意实数都有
()π2sin 3sin 3x a bx c ⎛
⎫-=+ ⎪⎝
⎭，则满足条件的有序实数组
的组数为 .
22．(0分)[ID ：13679]已知平面向量,a b 满足()
3b a b ⋅+=，且1a =，||2b =，则
a b +=________．
23．(0分)[ID ：13655]在平面直角坐标系中，已知向量(2,1)a =，O 是坐标原点，M 是曲线||2||2x y +=上的动点，则a OM --→
⋅的取值范围为__________.
24．(0分)[ID ：13649]已知(1,2)a =，(8,6)b =-，则向量a 在b 方向上的投影为________
25．(0分)[ID ：13646]已知点()01A ，，()13B ，，()C x y ，，若以AB ，AC 为邻边的平
行四边形的面积为2，则y 关于x 的函数解析式为________________．
三、解答题
26．(0分)[ID ：13791]已知点A （0，2），B （4，4），12OM t OA t AB =+； （1）若点M 在第二或第三象限，且12t =，求2t 取值范围；
（2）若14t cos θ=，2t sin θ=，R θ∈，求OM 在AB 方向上投影的取值范围；
（3）若2
1t a =，求当OM AB ⊥，且△ABM 的面积为12时，a 和2t 的值.
27．(0分)[ID ：13748]已知向量()()()2,3,5,4,1,32OA OB OC λλ=-=-=-+. （1）若ABC ∆为直角三角形，且B 为直角，求实数λ的值. （2）若点,,A B C 能构成三角形，求实数λ应满足的条件. 28．(0分)[ID ：13740]在△ABC 中，已知内角A ＝，边BC ＝2
，设内角B ＝x ，周长为
y ．
（1）求函数y ＝f （x ）的解析式和定义域； （2）求y 的最大值． 29．(0分)[ID ：13739]在
ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,满足
()2cos cos b c A a C -=.
(1)求角A 的大小; (2)若2,4a b c =+=,求
ABC 的面积.
30．(0分)[ID ：13786]已知1,2a b ==，a 与b 的夹角为120°，当k 为何值时. （1）ka b +与a b -垂直；
（2）2ka b -取得最小值？并求出最小值.
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
2．C
3．B
4．A
5．A
6．A
7．A
8．C
9．A
10．D
11．A
12．C
13．C
14．C
15．A
二、填空题
16．【解析】分析：根据题中所给的函数的图像可以求得的值利用周期公式求出利用当时函数取得最大值1求出得到函数的解析式即可得结果详解：由题意可知所以当时取得最大值1所以结合解得所以函数的解析式是点睛：该题考
17．【解析】【分析】先由求得的值进而求得的值再根据两角差的正弦公式求得的值【详解】依题意即故由于而所以故因此所以【点睛】本小题主要考查二倍角公式考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与
18．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量
19．6【解析】【分析】由计算【详解】∴＝6故答案为：6【点睛】本题考查向量的模的运算解题时求向量的模一般都是转化为向量的数量积即由转化
20．【解析】【分析】根据向量加法减法的几何意义模的几何意义判断出的位置关系由此
求得与的夹角大小【详解】由于根据向量模和减法的几何意义可知以为邻边的平行四边形为菱形如图所示且为等边三角形故根据加法的平行四
21．4【解析】【分析】【详解】试题分析：当时又注意到所以只有2组：满足题意；当时同理可得出满足题意的也有2组：故共有4组【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式首先确
22．【解析】【分析】利用化简求得然后利用计算出【详解】∵∴又∵∴故填：【点睛】本小题主要考查平面向量数量积运算考查平面向量模的求解策略属于基础题
23．【解析】【分析】先作出曲线对应的图像再结合简单的线性规划问题观察图像即可得解【详解】解：曲线对应的图像为如图所示的菱形设则因为是曲线上的动点则又向量则由图可知：目标函数过点时函数取最小值过点时函数取
24．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况
25．或【解析】【分析】求得然后求得进而求得利用平行四边形的面积列方程化简后求得关于的函数解析式【详解】依题意所以由于所以所以为邻边的平行四边形的面积化简得所以或故答案为：或【点睛】本小题主要考查平面向量
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．B 解析：B 【解析】 【分析】
解出AP ，计算AP BC ⋅并化简可得出结论． 【详解】
AP OP OA =-=λ（
AB AC AB cosB
AC cosC
+
⋅⋅），
∴()
...0AB BC AC BC AP BC BC BC AB cosB AC cosC λλ⎛⎫
⎪=+=-+= ⎪⋅⋅⎝⎭
， ∴AP BC ⊥，即点P 在BC 边的高上，即点P 的轨迹经过△ABC 的垂心． 故选B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP BC ⋅是关键．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
结合三角形的性质，对等式进行恒等变换，可以得到sin 1C =，进而求出角C 是直角，即可选出答案． 【详解】
由题意知，()sin sin cos sin cos A B A B B A -=-，()()cos sin cos sin B C A C A B ++=-， 所以题中等式可转化为：sin cos sin cos 12cos sin A B B A A B -=-， 即sin cos sin cos 1A B B A +=， 则()sin 1A B +=， 故sin 1C =， 所以角C 为直角，
即ABC ∆的形状一定是直角三角形． 故答案为C. 【点睛】
本题考查了三角形的性质，及三角恒等变换，属于基础题．
3．B
解析：B 【解析】
分析：先根据经验公式计算出弧田的面积，再利用扇形面积减去三角形面积得实际面积，最后求两者之差.
详解：因为圆心角为2π
3，弦长为40√3m ，所以圆心到弦的距离为20，半径为40，
因此根据经验公式计算出弧田的面积为1
2(40√3×20+20×20)=400√3+200，
实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为12
×2π3
×402−12
×20×40√3=
1600π3
−
400√3， 因此两者之差为
1600π
3
−400√3−(400√3+200)≈16，选B.
点睛：扇形面积公式1
2
lr =12
αr 2，扇形中弦长公式2rsin α
2，扇形弧长公式l =αr.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
三边a ，b ，c 成等差数列，可得2b a c =+，利用正弦定理可得：
2sin sin sin B A C =+，即sin sin 1A C +=，设cos cos A C m -=，平方相加即可得出． 【详解】
解：三边a ，b ，c 成等差数列， 2b a c ∴=+，
利用正弦定理可得：2sin sin sin B A C =+，
sin sin 2sin
16
A C π
∴+==，
设cos cos A C m -=，
则平方相加可得：222cos()1A C m -+=+，
22cos 11m B ∴=+=．
故选：A ． 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式性质、正弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得ω. 【详解】
由题意知，()sin f x x ω=的周期232(
)44
T ω
π
ππ
==-=π，得2ω=．故选A ． 【点睛】
本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值. 【详解】
tan 3α=，0,2
πα⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
得cos αα==
， 而(
)sin2cos 2sin cos cos 2απαααα+-=-==
. 故选A. 【点睛】
本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法，考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.
7．A
解析：A 【解析】
由题意12
5282
118
k k ωπ
πϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又
22T π
πω
=
>，所以01ω<<，所以23ω=
，11
212k ϕππ=+，由ϕπ<得12
πϕ=，
故选A ．
【考点】求三角函数的解析式
【名师点睛】有关sin()y A x ωϕ=+问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据周期或
12周期或1
4
周期求出ω，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的ϕ值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求ω或ϕ的值或最值或范围等.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意，根据向量a 与b 的夹角为锐角，可得1(4)()0x x ⨯+-⨯->且41x x
-≠，即可求解. 【详解】
由向量(,4)a x =-，(1,)b x =-，
因为向量a 与b 的夹角为锐角，则1(4)()0x x ⨯+-⨯->且
4
1x x
-≠， 解得0x >且2x ≠，即x 的范围为(0,2)(2+)⋃∞，
，故选C. 【点睛】
本题主要考查了平面向量的坐标运算及向量的共线定理的应用，其中解答中熟记平面向量的坐标运算法则和平面向量的共线定理，列出相应的关系式是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9．A
解析：A 【解析】 【详解】
()2
sin cos 1
7
sin 22sin cos 1
9
ααααα--==
=--.
所以选A. 【点睛】
本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.
10．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由题知，
．若
，
，选项C 满足；若，，
，其中
，，函数周期
，选项A 满足；若，
，
，其中
，
，函数周期，选项B 满足；若
,则
，且周期为
．而选项D 不满足以上四种情况，故图象不可能是
D ．
故本题正确答案为D ．
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系求解可得答案．
【详解】 ∵12
sin cos αα-=
， ∴2
1(sin cos )12sin cos 4
αααα-=-=, ∴3
sin cos 08
αα=>， ∴02
π
α<<
， ∴sin 0,cos 0αα>>， ∴sin cos 0αα+>，
∴sin cos αα+====
故选A ． 【点睛】
解答本题时注意灵活运用sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系，即知道其中的一个可求另外的两个，解题中容易出现的错误是忽视所求值的符号．
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据二倍角公式求得cos 23πα⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
，再利用诱导公式求得结果. 【详解】
1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 113699ππαα⎛⎫⎛
⎫⇒+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
7cos 2cos 2sin 236269ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫∴+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
7sin 269πα⎛
⎫∴-= ⎪⎝
⎭
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.
13．C
解析：C 【解析】 【分析】
求得22,2cos 3
a a
b b b π
=⋅=⋅=-，将223a b +=平方列方程求解即可. 【详解】
因为平面向量a 与b 的夹角为()2,2,0,2233
a a
b π
=+=， 所以22,2cos
3
a a
b b b π
=⋅=⋅=-，()
2
212a b +=，
即为2
224444412a a b b b b +⋅+=-+=,
解得2(1b =-舍去）， 则2a b ⋅=-，故选C. 【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的定义和性质，以及平面向量的模，属于中档题.平面向量的运算性质主要有两个：（1）cos a b a b θ⋅=；（2）2
2
a a =.
14．C
解析：C 【解析】 【分析】 由3cos 45x π⎛⎫-=
⎪⎝⎭，利用二倍角的余弦公式求得sin2cos 22x x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的值． 【详解】
由题意可得3
cos 45
x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴sin2cos 2cos 224
x x x ππ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2972cos 12142525x π⎛⎫=--=⨯-=- ⎪⎝⎭，
故选C ． 【点睛】
本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．
15．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据分步计数乘法原理求得所有的(),m n )共有12个，满足两个向量垂直的(),m n 共有2个，利用古典概型公式可得结果. 【详解】
集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数m ,有4种方法； 从集合{1,3,5}中随机抽取一个数n ，有3种方法，
所以，所有的(),m n 共有4312⨯=个，
由向量(),a m n =与向量()11
b =-,垂直,可得0a b n m ⋅=-=，即m n =, 故满足向量(),a m n =与向量()11
b =-,垂直的(),m n 共有2个：()()3,3,5,5， 所以向量(),a m n =与向量()11
b =-,垂直的概率为21
126
=，故选A. 【点睛】
本题主要考查分步计数乘法原理的应用、向量垂直的性质以及古典概型概率公式的应用，属于中档题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式m
P n
=求得概率.
二、填空题
16．【解析】分析：根据题中所给的函数的图像可以求得的值利用周期公式求出利用当时函数取得最大值1求出得到函数的解析式即可得结果详解：由题意可知所以当时取得最大值1所以结合解得所以函数的解析式是点睛：该题考
解析：sin 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭. 【解析】
分析：根据题中所给的函数的图像，可以求得,A T 的值，利用周期公式求出ω，利用当
6
x π
=
时函数取得最大值1，求出ϕ，得到函数的解析式，即可得结果.
详解：由题意可知，111261,34A T ππ
π-
==
=，所以2ω=， 当6x π
=时取得最大值1，所以sin(2)16
πϕ⨯+=，
结合2
π
ϕ<
，解得6π=
ϕ，所以函数()f x 的解析式是()sin(2)6
f x x π
=+. 点睛：该题考查的是有关利用图像求函数解析式的问题，在解题的过程中，需要明确解析式中的参数,A ω由最值和周期所决定，ϕ由特殊点所确定，最后求得结果.
17．【解析】【分析】先由求得的值进而求得的值再根据两角差的正弦公式求得的值【详解】依题意即故由于而所以故因此所以【点睛】本小题主要考查二倍角公式考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与
【解析】 【分析】
先由cos 4πθ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
求得πcos 22θ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的值，进而求得sin 2,cos 2θθ的值，再根据两角差的正弦公式，求得sin 23πθ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值.
【详解】 依题意πcos 22θ⎛
⎫+
⎪⎝
⎭2π42cos 145θ⎛⎫=+-=- ⎪⎝
⎭，即4sin 25θ-=-，故4sin 25θ=，由于πππ3π0,,,2444θθ⎛
⎫⎛⎫
∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而πcos 04θ⎛
⎫+> ⎪⎝
⎭，所以πππ,442θ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭，故ππ0,,20,42θθ⎛⎫⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此2163cos 21sin 21255
θθ=-=-=.所以
ππsin 2sin 2cos cos 2sin 333πθθθ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭43310
-=.
【点睛】
本小题主要考查二倍角公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
18．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量 解析：16-
【解析】 【分析】
取AB 中点D ,AC 中点E ,连接OD 、OE ，根据题意可得⊥OD AB ，OE AC ⊥.由向量的减法运算可知BC AC AB =-，代入数量积进行运算即可求解. 【详解】
如图，取AB 中点D ，AC 中点E ，连接OD 、OE ，如下图所示：
因为O 为ABC ∆的外心
所以由外心定义可知⊥OD AB ，OE AC ⊥. 而6AB =，2AC =， ∴()
AO BC AO AC AB ⋅=⋅-
AO AC AO AB =⋅-⋅
cos cos AO OAE AC AO OAD AB =∠⋅-∠⋅
2211
22
AC AB =
- 218=-
16=-，
即16AO BC ⋅=-， 故答案为：16-. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积的定义及应用，向量的线性运算及三角形外心的定义，属于中档题.
19．6【解析】【分析】由计算【详解】∴＝6故答案为：6【点睛】本题考查向量的模的运算解题时求向量的模一般都是转化为向量的数量积即由转化
解析：6 【解析】 【分析】 由2
232(32)a b a b -=-计算。

【详解】
2
2
32(32)a b a b -=-2
2
22
9124912cos 604a a b b a a b b =-⋅+=-︒+
221
92122343362
=⨯-⨯⨯⨯+⨯=，
∴32a b -＝6。

故答案为：6。

【点睛】
本题考查向量的模的运算，解题时求向量的模一般都是转化为向量的数量积，即由
2
2
a a =转化。

20．【解析】【分析】根据向量加法减法的几何意义模的几何意义判断出的位置关系由此求得与的夹角大小【详解】由于根据向量模和减法的几何意义可知以为邻边的平行四边形为菱形如图所示且为等边三角形故根据加法的平行四 解析：6
π
【解析】 【分析】
根据向量加法、减法的几何意义，模的几何意义，判断出,a b 的位置关系，由此求得a 与
a b +的夹角大小.
【详解】
由于||||||a b a b ==-，根据向量模和减法的几何意义可知，以,a b 为邻边的平行四边形为菱形，如图所示，且ABC ∆为等边三角形，故π
3
ABC ∠=，根据a b +加法的平行四边形法则可知a 与a b +的夹角大小为
π6
.
【点睛】
本小题主要考查向量加法、减法的几何意义，模的几何意义，属于基础题.
21．4【解析】【分析】【详解】试题分析：当时又注意到所以只有2组：满足题意；当时同理可得出满足题意的也有2组：故共有4组【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式首先确
解析：4 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析： 当2a =时，5sin(3)sin(32)sin(3)3
3
3x x x π
π
ππ-
=-
+=+
，5(,)(3,)3
b c π
=，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3
b c π
=-，注意到
[0,2)c π∈，所以只有2组：5(23,
)3π，,4(23,)3
π
-，满足题意；当2a =-时，同理可得出满足题意的也有2组：(23,)3
π
--，
,2(23,
)3
π
-，，故共有4组. 【考点】 三角函数 【名师点睛】
本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到a 的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到,b c 的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主
要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.
22．【解析】【分析】利用化简求得然后利用计算出【详解】∵∴又∵∴故填：【点睛】本小题主要考查平面向量数量积运算考查平面向量模的求解策略属于基础题
【解析】 【分析】
利用()
3b a b ⋅+=化简求得1a b ⋅=-，然后利用22
||2a b a a b b +=+⋅+计算出||a b +.
【详解】
∵()3b a b ⋅+=，∴2
3b a b ⋅+=，又∵||1a =，||2b =，
∴1a b ⋅=-，22
||212a b a a b b +=+⋅+=-=
【点睛】
本小题主要考查平面向量数量积运算，考查平面向量模的求解策略，属于基础题.
23．【解析】【分析】先作出曲线对应的图像再结合简单的线性规划问题观察图像即可得解【详解】解：曲线对应的图像为如图所示的菱形设则因为是曲线上的动点则又向量则由图可知：目标函数过点时函数取最小值过点时函数取 解析：[]4,4-
【解析】 【分析】
先作出曲线||2||2x y +=对应的图像，再结合简单的线性规划问题，观察图像即可得解. 【详解】
解：曲线||2||2x y +=对应的图像为如图所示的菱形ABCD ，
设00()M x y ，则()00,OM x y =，因为M 是曲线||2||2x y +=上的动点， 则00||2||2x y +=，又向量(2,1)a =，则002z a OM x y --→
=⋅+=，
由图可知：目标函数2z x y =+过点(2,0)A -时，函数取最小值2(2)104⨯-+⨯=-， 过点(2,0)C 时，函数取最大值22104⨯+⨯=， 即a OM --→
⋅的取值范围为[]4,4-，
故答案为：[]4,4-.
【点睛】
本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.
24．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况
解析：2
5
-
【解析】 【分析】
直接利用投影公式得到答案. 【详解】
(1,2)a =，(8,6)b =-，a 在b 方向上的投影为：
8122
105
a b b
⋅-=
=- 故答案为：2
5
- 【点睛】
本题考查了向量的投影，意在考查学生对于投影概念的理解情况.
25．或【解析】【分析】求得然后求得进而求得利用平行四边形的面积列方程化简后求得关于的函数解析式【详解】依题意所以由于所以所以为邻边的平行四边形的面积化简得所以或故答案为：或【点睛】本小题主要考查平面向量
解析：21y x =-或23y x =+ 【解析】 【分析】
求得,AB AC ，然后求得cos ,AB AC ，进而求得sin ,AB AC ，利用平行四边形的面积列方程，化简后求得y 关于x 的函数解析式. 【详解】
依题意()()1,2,,1AB AC x y ==-，所以()2
25,1AB AC x y =
=+-
cos ,AB AC AB AC AB AC ⋅=
⋅=
，由于[],0,πAB AC ∈，所以
2
sin ,1cos
,1
5AB AC AB AC x =-=
-⎣AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积sin ,2AB AC AB AC ⋅⋅=，化简得()()23210x y x y -+--=，所以21y x =-或23y x =+. 故答案为：21y x =-或23y x =+. 【点睛】
本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查平面向量夹角的计算，考查同角三角函数的基本关系式，考查平行四边形面积的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
三、解答题 26．
（1）20t ＜，且21t ≠-； （2）[88]-，
（3）2a =±，21t =-. 【解析】 【分析】
（1）根据平面向量的坐标表示，结合题意，即可求出2t 的取值范围；
（2）根据向量投影的定义，利用三角函数的性质求出OM 在AB 方向上投影的取值范围；
（3）根据OM AB ⊥，其数量积为0，结合ABM 的面积列出方程组，求出a 和2t 的值. 【详解】
（1）点A （0，2），B （4，4），()12212OM t OA t AB 4t ,2t 4t =+=+；
若点M 在第二或第三象限，且12t =，则2240
2240
t t <⎧⎨⨯+≠⎩，解得20t <，且21t ≠-
；
（2）()212AB (4, 4), OM 4t ,2t
4t ==+
，
∴OM 在AB 方向上投影为OM AB OM cos
OM,AB |AB|
⋅⋅<>==
2=cos )θθ=+8sin 4πθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭；
∴OM 在AB 方向上投影的范围为[88]-，
； （3）()212OM 4t ,2t 4t =+，21OM AB 32t 8t 0⋅=+=，且2
1t a =，
221
4
t a ∴=-，()
22,OM a a =-；
∴点M 到直线20AB x y -+=：的距离为：2222
212
a a d a --+=
=-；
211||42211222
ABC
S
AB d a =
⋅=⨯⨯-=，解得2a =±，21t =-. 【点睛】
本题考查了向量相关的计算，意在考查学生的计算能力. 27．
(1)2λ=;(2)2λ≠-. 【解析】
分析：（1）由B 是直角，得BA BC ⊥，即0BA BC ⋅=，可列出关于λ的方程，解方程即可求实数λ的值；（2）由三点是三角形的三个顶点，可得三点,,A B C 不共线，利用向量共线的性质求三点出共线时λ的范围，然后求其补集即可的结果. 详解：（1）
若ABC ∆为直角三角形，90B ∠=︒ ∴有0AB BC ⋅=
∵()()7,7,6,32AB OB OA BC OC OB λλ=-=-=-=-- 即：()()767320,2λλλ--+-=∴= （2）
若点A B C 、、能构成三角形，则A B C 、、不共线
∴()()73276λλ--≠- ∴实数λ应满足的条件 是2λ≠-
点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.
28．
（1）y ＝4sinx ＋＋2
；（2）6
．
【解析】
试题分析：（1）由已知条件及正弦定理得到，AB ＝
，从而得
到周长y ＝4sinx ＋
＋2
，同时求出角x 的范围即可；（2）由两角差的正弦
公式及辅助角公式将（1）中的函数解析式化为y ＝4sin （x ＋
）＋2
，并结合角x
的范围求最值即可．
试题解析：（1）△ABC 的内角和A ＋B ＋C ＝π，由A ＝
，B ＞0，C ＞0，得0＜B ＜
．应用正弦定理，得 AC ＝
·sinB ＝
·sinx ＝4sinx ． AB ＝
sinC ＝
．
∵y ＝AB ＋BC ＋CA ，
∴y ＝4sinx ＋
＋2． （2）y ＝4（sinx ＋
cosx ＋sinx ）＋2＝4sin （x ＋）＋2． ∵＜x ＋＜
， ∴当x ＋＝，即x ＝时，y 取得最大值6．
考点：①求解析式；②三角函数求最值．
29． (1)π 3
A =3. 【解析】 试题分析：
本题考查正余弦定理、和角公式、三角形面积公式的应用．(1)由()2cos cos b c A a C -=及正弦定理，得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=，再利用和角公式、三角形内角和定理以及诱导公式得出1cos 2
A =，即可解答．(2)由余弦定理得2222π42cos
3b c bc b c bc =+-=+- ，把已知条件代入，求出bc ，即可得结论． 试题解析：
(1)由()2cos cos b c A a C -=及正弦定理，得
()2sin sin cos sin cos B C A A C -=，
2sin cos sin cos sin cos B A C A A C ∴=+，
()2sin cos sin sin B A C A B ∴=+=，
()0πB ∈，，
sin 0B ∴≠， 1cos 2
A ∴=． ()0πA ∈，，
π 3
A ∴=． (2)由(1)知π3
A =， 由余弦定理得2222π42cos 3
b c bc b c bc =+-=+-，
()2
34b c bc ∴+-=， 4b c +=，
4bc ∴=，
∴Δ11sin 4222ABC S bc A =
=⨯⨯=．
故ABC
30．
（1）
52
； （2）2k =-时，min 223ka b -=【解析】 【分析】 （1）根据条件先求出1a b ⋅=-，再ka b +与a b -垂直时，进行数量积的运算即可求出k ；
（2）先得出22(2)416ka b k k -=++，配方即可求出2416k k ++的取最时k 值，进而得出|2|ka b -的最小值．
【详解】
（1）1,2a b ==，a 与b 的夹角为120°，∴1a b ⋅=-，
∵ka b +与a b -垂直，
∴22()()(1)(1)40ka b a b ka k a b b k k +⋅-=+-⋅-=---=，
∴52
k =. （2）222(2)416(2)12ka b k k k -=++=++，
∴2k =-时，|2|ka b -取得最小值
【点睛】
本题考查向量数量积的运算、模的计算、一元二次函数的最值，考查函数与方程思想和运算求解能力，属于基础题．。