鲁教版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末模拟能力测试题1(附答案详解)

鲁教版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末模拟能力测试题1（附答案详解）
一、单选题
1．如图，圆锥的侧面展开图的面积是底面积的3倍，则该圆锥的底面
半径与母线的比为（ ）
A ．1:9
B ．9:1
C ．1:3
D ．3:1 2．若反比例函数的图象经过点()3,2-，则该反比例函数的表达式为（）
A ．6y x =
B ．6y x =-
C ．3y x =
D ．3y x
=- 3．下列函数中，属于二次函数的是（ ） A ．23y x =- B ．227y x x =- C ．22(1)y x x
=+- D ．22 y x =- 4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则这个三角形的内切圆的半径是（ ）A ．2 B ．5 C ．4 D ．3
5．计算：cos30°+sin60°tan45°=（ ）
A ．1
B ．322+
C ．3
D ．362
+ 6．下列各点在双曲线2y x =-
上的是（ ） A ．(43-,32-) B ．（43-，32） C ．（34，43-） D ．（43
，83） 7．如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上的一点，∠B ＝58°，则∠OAC 的度数是( )
A ．32°
B ．30°
C ．38°
D ．58°
8．如图，AB 为⊙O 的弦，AB ＝8，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝1，则⊙O 的半径为（ ）
A ．8.5
B ．7.5
C ．9.5
D ．8
9．某校有一个两层楼的餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的某个楼层的餐厅用餐，则甲、乙、丙三名学生在同一个楼层餐厅用餐的概率为()
A ．14
B ．34
C ．18
D ．38 10．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点
E ，且CE ＝2，OB ＝4，则AB
的长为（ ）
A ．23
B ．4
C ．6
D ．43
二、填空题
11．已知锐角α，满足tanα=2，则sinα=_____． 12．在平面直角坐标系中，A 点坐标为()1
,2--，B 点坐标为()5,4．已知抛物线22y x x c
=-+与线段AB 有公共点，则c 的取值范围是________． 13．如图，反比例函数y=k x
（k ＞0）在第一象限的图象经过A 、C 两点，点C 是AB 的中点，若△OAB 的面积为6，则k 的值为_____．
14．若tan （α–15°）=，则锐角α的度数是__________．
15．矩形的长为2cm ，宽为1cm ，如果将其长与宽都增加x （cm ），则面积增加y （cm 2），写出y 与x 的关系式________，y 是x 的________函数．
16．已知抛物线22y a x a x c
=++，那么点P （-3，4）关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是______．
17．小玲同学以二次函数y=2x 2+8的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE 为____________．
18．如图，点A 、B 、C 、D 、E 都在⊙O 上，AB 是⊙O 的直径，则∠A+∠B+∠D 度数为_____．
19．若()2s i n 51α+=，则α=________度． 20．已知直线y=﹣x+1与抛物线y=x 2+k 一个交点的横坐标为﹣2，则k=_____．
三、解答题
21．计算：（﹣1）2018+|﹣3|﹣（2﹣π）0﹣2sin60°
． 22．如图，
为的直径，，为上的两 点，平分，于． 求证：
为的切线； 过点作
于，如图，判断和，之间的数量关系，并证明之； 若，，求图中阴影部分的面积．
23．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （2，4），B （1，1），C （4，3）．
(1)请画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出点A 1的坐标；
(2)请画出△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后的△A 2BC 2；
(3)求出(2)中C 点旋转到C 2点所经过的路径长（结果保留根号和π）；
(4)求出(2)△A 2BC 2的面积是多少．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣3
4
x2+bx+c的图象交x轴于
A（4，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，连结AC．
(1)填空：该抛物线的函数解析式为，其对称轴为直线；
(2)若P是抛物线在第一象限内图象上的一动点，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，试求线段PQ的最大值；
(3)在（2）的条件下，当线段PQ最大时，在x轴上有一点E（不与点O，A重合），且EQ=EA，在x轴上是否存在点D，使得△ACD与△AEQ相似？如果存在，请直接
写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
25．在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点
P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．若|x1﹣x2|的最大值为m，则图形W 在x轴上的投影长度l x=M；若|y1﹣y2|的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度
l y=n．如图1，图形W在x轴上的投影长度l x=|3﹣1|=2；在y轴上的投影长度l y=|4﹣0|=4．（1）已知点A（3，3），B（4，1）．如图2所示，若图形W为△OAB，则
l x，l y．
（2）已知点C（4，0），点D在直线y=2x+6上，若图形W为△OCD．当l x=l y时，求点D的坐标．
（3）若图形W为函数y=x2（a≤x≤b）的图象，其中0≤a＜b．当该图形满足l x=l y≤1时，请直接写出a的取值范围．
26．小明在某一次实验中，测得两个变量之间的关系如下表所示： 自变量x
1 2 3 4 12 因变量y 12.03 5.98 3.04 1.99 1.00 请你根据表格回答下列问题：
① 这两个变量之间可能是怎样的函数关系？你是怎样作出判断的？请你简要说明理由。

②请你写出这个函数的解析式。

③表格中空缺的数值可能是多少？请你给出合理的数值。

27．某涵洞的截面边缘成抛物线形，现测得当水面宽A B 2=米时涵洞的顶点与水面的距离为4米，这时离开水面2米处涵洞宽DE 是多少？
28．如图，已知抛物线()()
12(0)y x x a a a
=-+>与x 轴从左至右交于A ，B 两点，与y 轴交于点c ．
（1）若抛物线过点T(1，-54
)，求抛物线的解析式； （2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D ，使得以A 、B 、D 三点为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图，在(1)的条件下，点P 的坐标为(-1，1)，点Q(6，t)是抛物线上的点，在x 轴上，从左至右有M 、N 两点，且MN=2,问MN 在x 轴上移动到何处时，四边形PQNM 的周长最小？请直接写出符合条件的点M 的坐标．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
设出底面半径，然后表示出底面面积，根据侧面积是底面积的3倍，然后表示出母线长，求出二者的比即可．
【详解】
设圆锥的底面半径为r ，
∴圆锥的底面积为πr 2，底面周长为2πr ，
∵圆锥的侧面展开图的面积是底面积的3倍，
∴圆锥的侧面积为3πr 2，
设圆锥的母线长为R ，
∴其侧面积为：
2112322
l R r R r ππ=⨯⨯=， ∴R=3r ，
∴圆锥的底面半径与母线的比为1：3，
故选C ．
【点睛】
本题考查的知识点是圆锥的底面积和侧面积的计算，解题关键是正确的理解圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长．
2．B
【解析】
解：设反比例函数为：k y x =
．∵反比例函数的图象经过点(3，-2)，∴k =3×（-2）=－6．故反比例函数为：6y x
=-
．故选B ． 3．B
【解析】
【分析】
二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数．二次函数可以表示为y=ax 2+bx+c （a
不为0）． 【详解】
解：A 、函数y=2x-3是一次函数，故本选项错误；
B 、函数y=2x 2-7x 符合二次函数的定义；故本选项正确；
C 、由原函数得y=2x+1，属于一次函数，故本选项错误；
D 、y=-22
x 不是整式；故本选项错误．
故选B ．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义．二次函数y=ax 2+bx+c 的定义条件是：a 、b 、c 为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
4．A
【解析】
【分析】
设AB 、BC 、AC 与⊙O 的切点分别为D 、E 、F ；易证得四边形OECF 是正方形；那么根据切线长定理可得：CE =CF =
12
（AC +BC ﹣AB ），由此可求出r 的长． 【详解】
如图，在Rt △ABC ，∠C =90°，AC =6，BC =8，根据勾股定理得：AB =22A C B C =10． 四边形OECF 中，OE =OF ，∠OEC =∠OFC =∠C =90°
，∴四边形OECF 是正方形． 由切线长定理，得：AD =AF ，BD =BE ，CE =CF ，∴CE =CF =
12（AC +BC ﹣AB ），即：r =12
（6+8﹣10）=2． 故选A ．
【点睛】
本题考查了三角形内切圆与圆心，勾股定理，需要熟练掌握直角三角形内切圆的性质及半径的求法．
5．C
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值，通过实数运算，即可得出答案．
【详解】
cos30°+sin60°tan45°1.
故选C.
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
6．B
【解析】
根据双曲线的解析式，可知xy=-2，然后代入可知A、C、D不在函数的图像上，B在函数的图像上.
故选：B.
7．A
【解析】
【分析】
根据∠B＝58°得出∠AOC=116°,半径相等，得出OC=OA，进而得出∠OAC=32°，利用直径和圆周角定理解答即可．
【详解】
解：∵∠B＝58°,
∴∠AOC=116°,
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC=32°,
故选：A．
【点睛】
此题考查了圆周角的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
8．A
【解析】
【分析】
根据垂径定理得到直角三角形，求出AD 的长，连接O A ，得到直角三角形，然后在直角三角形中计算出半径的长. 【详解】
解：如图所示：连接O A ，则O A 长为半径.
∵O C A B
⊥于点D ， ∴142
A
D D B A B ===， ∵在R t O A D 中，222O A A D O D =+， ∴()2
2214O A O A =-+， ∴178.52
O A ==， 故答案为A.
【点睛】
本题主要考查垂径定理和勾股定理.根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧”得到一直角边，利用勾股定理列出关于半径的等量关系是解题关键.
9．A
【解析】
【分析】
列举出所有情况，让甲、乙、丙三名学生在同一个楼层餐厅用餐的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】
设两层楼分别为A ，B ，
共有8种情况，在一层的共有2种情况，所以甲乙丙同在一层楼吃饭的概率是1
4
.
故答案选：A.
【点睛】
本题考察的知识点是列表法与树状图法, 解题的关键是熟练的掌握列表法与树状图法. 10．D
【解析】
解：∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点
E，∴AB=2BE．∵CE=2，OB=4，∴OE=4﹣2=2，∴BE=
22
O B O E
-=22
42
-=23，∴AB=43．故选D．
点睛：本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
11．25 5
【解析】
分析：根据锐角三角函数的定义，可得答案．
详解：如图，由tanα=a
b
=2，得a=2b，由勾股定理，得：
c=22
a b
+=5b，sinα=a
c
=
2
5
b
b
=
25
5
．
故答案为25
5
．
点睛：本题考查了锐角三角函数，利用锐角三角函数的定义解题的关键．
12．5114
x -≤≤ 【解析】 【分析】
先利用待定系数法得到直线AB 的解析式，再将二次函数一般式化为顶点式，大致画出图形，竖直平移二次函数，确定二者交点情况即可. 【详解】
解：设直线AB 解析式为y=kx+b ，代入() 1,2A --和() 5,4B ，解得直线解析式为y=x-1，
画出大致草图如下：
当二次函数与直线AB 有一个交点时：则221
x xc x -+=-，整理得2310x xc -++=，△=9-4(c+1)=0，解得c=
5
4
，此时c 值最大； 当二次函数经过B 点时，此时c 值最小，代入() 5,4B 得，25-10+c=4，解得c=-11， 综上，c 的取值范围是：5
114
x -≤≤. 【点睛】
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系. 13．4 【解析】
分析：分别过点A 、点C 作OB 的垂线，垂足分别为点M 、点N ，根据C 是AB 的中点得到CN 为△AMB 的中位线，然后设MN=NB=a ，CN=b ，AM=2b ，根据OM•AM=ON•CN ，得到OM=a ，最后根据面积=3a•2b÷2=3ab=6求得ab=2从而求得k=a•2b=2ab=4． 详解：分别过点A 、点C 作OB 的垂线，垂足分别为点M 、点N ，如图，
∵点C为AB的中点，CN∥AM，
∴CN为△AMB的中位线，
∴MN=NB=a，CN=b，AM=2b，
又∵OM•AM=ON•CN
∴OM=a
∴这样面积=3a•2b÷2=3ab=6，
∴ab=2，
∴k=a•2b=2ab=4，
故答案为：4
点睛：本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义及三角形的中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线．
14．75°
【解析】
【分析】
根据特殊角三角函数值，可得（α–15°）的度数，根据有理数的减法，可得答案．
【详解】
由tan(α−15°)=，得
α−15°=60°，
解得α=75°，
故答案为：75°
【点睛】
考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角是三角函数值是解题的关键.
15．y=x2+3x 二次
【解析】
【分析】
根据增加的面积=新面积-原面积即可求解，根据结果的形式可以判断函数类型． 【详解】
y=（2+x ）（1+x ）-2×1=x 2+3x ，是二次函数． 【点睛】
根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 16．（1，4）. 【解析】
试题解析：抛物线的对称轴为：21.22b a
x a a
=
-=-=- 点()34P -，关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是()1,4.
故答案为()1,4 17．11 【解析】 【分析】
根据二次函数解析式得出D 点坐标，再利用已知得出B 点坐标，进而得出答案． 【详解】
由题意可得：D 点坐标为：（0，8）， ∵AB=4，
∴B 点，横坐标为：2， 故x=2时，y=2×4+8=16， 即B （2，16）， 则DC=16-8=8， 故CE=DC+DE=3+8=11． 故答案为：11． 【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，正确得出B 点坐标是解题关键． 18．90° 【解析】 【分析】
根据圆周角的定理解答即可.
解：∵AB是⊙O的直径，
∴A C+C E+E B=的度数是180º，
∴∠A+∠B+∠D=90º.
故答案为：90º.
【点睛】
本题主要考查了圆周角的定理.
19．40
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值求解．
【详解】
sin（α+5°）=1，
，
∴sin（α+5°）
∴α+5°=45°，
α=40°．
【点睛】
解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
20．﹣1
【解析】
【分析】
根据交点的横坐标，代入直线解析式，可得交点的纵坐标，把交点的坐标代入抛物线解析式，可得二次函数解析式中的k值．
【详解】
将x=-2代入直线y=-x+1得，y=2+1=3，
则交点坐标为（-2，3），
将（-2，3）代入y=x2+k得，
3=4+k，
故答案是：-1．
【点睛】
考查了二次函数与一次函数的交点坐标，待定系数法求二次函数的解析式．
21．0.
【解析】
【分析】按顺序先分别进行乘方的运算、绝对值的化简、0次幂的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可得.
【详解】（﹣1）2018+|﹣3|﹣（2﹣π）0﹣2sin60°
=1+3﹣1﹣2×
3 2
=1+3﹣1﹣3
=0．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及了绝对值的化简、0次幂的运算、特殊
角的三角函数值，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
22．(1)见解析;(2)见解析;(3).
【解析】
【分析】
（1）连接OC，如图1，由AC平分∠EAB得到∠1=∠2，加上∠2=∠3，则∠1=∠3，于是可判断OC∥AD，则有AD⊥CD可判断OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD为⊙O 的切线；
（2）连结CE，如图2，根据角平分线的性质得CD=CF，再证明Rt△ACD≌△ACF得到AD=AF，接着证明Rt△DEC∽Rt△DCA，由相似的性质得DE：DC=DC：DA，然后利用等线段代换即可得到CF2=DE•AF；
（3）设⊙O的半径为r，由AD=AF，AD﹣OA=1.5可得到OF=1.5，再证明Rt△ACF∽Rt△ABC，利用相似比可计算出r=3，接着在Rt△FCO中，利用余弦的定义可求出∠
COB=60°，然后根据扇形的面积公式和等边三角形面积公式和S阴影部分=S扇形BOC﹣S△BOC进行计算即可．
【详解】
（1）连接OC，如图1．
∵AC平分∠EAB，∴∠1=∠2．
∵OA=OC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴OC∥AD．
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线；
（2）CF2=AF•DE．理由如下：
连结CE，如图2．
∵AC平分∠EAB，CD⊥AE，CF⊥AB，∴CD=CF．在Rt△ACD和△ACF中，，∴Rt△ACD≌△ACF，∴AD=AF．
∵四边形CEAB内接于⊙O，∴∠DEC=∠B．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠2=90°，而∠1+∠ACD=90°，∠1=∠2，∴∠DEC=∠ACD，∴Rt△DEC∽Rt△DCA，∴DE：DC=DC：DA，∴DC2=DE•DA，∴
CF2=DE•AF；
（3）设⊙O的半径为r．
∵AD=AF，而AD﹣OA=1.5，∴AF=AD=OA+OF=r+1.5，∴OF=1.5．
∵∠CAB=∠F AC，∴Rt△ACF∽Rt△ABC，∴=，即=，解得：r=3或r=﹣（舍去）．
在Rt△FCO中，∵cos∠COF===，∴∠COB=60°，∴S阴影部分=S扇形BOC﹣S△BOC
=﹣×32=π﹣．
【点睛】
本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质和扇形面积的计算．
23．(1)画图见解析，点A1的坐标为（2，﹣4）；(2)画图见解析；(3)13
2
π；(4)3.5.
【解析】
【分析】
（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征，写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、C的对应点A2、C2，则可得到△A2BC2；（3）C点旋转到C2点所经过的路径是以B点为圆心，BC为半径，圆心角为90°的弧，然后根据弧长公式计算即可；
（4）利用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可计算出△A2BC2的面积．
【详解】
(1)如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（2，﹣4）；
(2)如图，△A2BC2为所作；
(3)22
2313
B
C=+=,
所以C点旋转到C2点所经过的路径长
901313
,π
⋅⋅
==
(4)△A2BC2的面积
1117 33121323.
2222 =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
24．（1）见解析；（2）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）把()()
4010A B -，，，代入抛物线2
3
4
y x b x c =-++中列方程组，解出可得b 和c 的值，可得抛物线的解析式，配方成顶点式可得对称轴；
（2）先利用待定系数法求直线AC 的解析式，再设点P 的坐标，并表示点Q 的坐标，根据铅直高度表示PQ 的长，并配方可得PQ 的最大值；
（3）分两种情况：①当D 在线段OA 上时，如图1，根据△AEQ ∽△ADC ，由EQ=EA ，得CD=AD ，利用勾股定理解决问题；②当D 在点B 的左侧时，如图2根据三角形相似，由EQ=EA 可得OA=OD ，可得D 的坐标． 【详解】
．解：（1）把()()
4010A B -，，，代入抛物线2
3
4
y x b x c =-++中得： 3
16404
304
b c b c ⎧-⨯++=⎪⎪⎨
⎪-+=⎪⎩， 解得：943b c ⎧
=⎪⎨⎪=⎩，
∴223933753()44
4216
y
x x x =-++=--+； ∴抛物线的函数解析式为：2393,44y x x =-++
其对称轴为直线：3
2
x =； 故答案为2393,44y x x =-++
3
2x =； (2)∵A (4,0),C (0,3)，
∴直线AC 的解析式为：3
3;4
y x =-
+ 设239(,3)44Px
x x -++,则3(,3)4Q x x -+， ∴22
239333(3)(3)3(2)344444
P
Q xx x x x x =-++--+=-+=--+， ∵P 是抛物线在第一象限内图象上的一动点， ∴0<x <4，
∴当x =2时，PQ 的最大值为3；
(3)分两种情况：
①当D 在线段OA 上时,如图1,△AEQ ∽△ADC ，
∵EQ =EA , ∴CD =AD ，
设CD =a ，则AD =a ，OD =4−a ，
在Rt △OCD 中,由勾股定理得：222
3(4)a a +-=，
25
8
a =
， ∴25
8A
D C D ==， ∴257
488O
D =-=， ∴7
(,0)8D ， ②当D 在点B 的左侧时,如图2,△AEQ ∽△ACD ，
∵EQ =EA ， ∴CD =AC ， ∵OC ⊥AD ， ∴OD =OA =4， ∴D (−4,0)，
综上所述,当△ACD 与△AEQ 相似时,点D 的坐标为7
(
,0)8
或(−4,0).
属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质等，综合性比较强，属于常考题型.
25．（1）4；3；（2）（﹣2
3
，
14
3
）或（﹣10，﹣14）；（3）0≤a＜
1
2
．
【解析】
【分析】
（1）确定出点A在y轴的投影的坐标、点B在x轴上投影的坐标，于是可求得问题的答案；（2）过点P作PD⊥x轴，垂足为P．设D（x，2x+6），则PD=2x+6．PC=4-x，然后依据lx=ly，列方程求解即可；
（3）设A（a，a2）、B（b，b2）．分别求得图形在y轴和x轴上的投影，由lx=ly可得到
b+a=1，然后根据0≤a＜b可求得a的取值范围．
【详解】
解：（1）∵A（3，3），
∴点A在y轴上的正投影的坐标为（0，3）．
∴△OAB在y轴上的投影长度ly=3．
∵B（4，1），
∴点B在x轴上的正投影的坐标为（4，0）．
∴△OAB在x轴上的投影长度lx=4．
故答案为：4；3．
（2）如图1所示；过点P作PD⊥x轴，垂足为P．
设D（x，2x+6），则PD=2x+6．
∵PD⊥x轴，
∴P（x，0）．
∴PC=4﹣x．
∴2x+6=4﹣x，解得；x=﹣．
∴D（﹣，）．
如图2所示：过点D作DP⊥x轴，垂足为P．
设D（x，2x+6），则PD=﹣2x﹣6．
∵PD⊥x轴，
∴P（x，0）．
∴PC=4﹣x．
∵lx=ly，
∴﹣2x﹣6=4﹣x，解得；x=﹣10．
∴D（﹣10，﹣14）．
综上所述，点D的坐标为（﹣2
3
，
14
3
）或（﹣10，﹣14）．
（3）如图3所示：
设A（a，a2）、B（b，b2）．则CE=b﹣a，DF=b2﹣a2=（b+a）（b﹣a）．∵lx=ly，
∴（b+a ）（b ﹣a ）=b ﹣a ，即（b+a ﹣1）（b ﹣a ）=0．
∵b≠a ，
∴b+a=1．
又∵0≤a ＜b ，
∴a+a ＜1，
∴0≤a ＜12
． 【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用、解答本题主要应用了图形W 在坐标轴上的投影长度定义、一次函数、二次函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，依据lx=ly 列出关于x 的方程和不等式是解题的关键．
26．（1）反比例函数（2）12y x
=
（3）近似于6与4即可 【解析】
试题分析：①根据反比例函数的性质可知两变量之间为反比例函数；
②根据两变量的乘积为一个定数得到表达式； ③将3x =和1
.99y =分别代入表达式中求值即可． 试题解析：
①由表中自变量x 和因变量y 的数值可知：
自变量x 和因变量y 的乘积都大约等于12，且随着自变量x 值的逐渐增加，因变量y 的值逐渐减少，
故两个变量x 和y 之间可能是反比例函数关系.
②∵两自变量的乘积等于12，
且两自变量为反比例函数关系，
12.y x
∴= ③将x =3代入得：y =4；
将y =1.99代入得：x ≈6.
故表格中x 的空值填6，y 的空值填4.
27．这时离开水面2米处涵洞宽DE 米．
【解析】
【分析】
根据点B 的坐标利用待定系数法求得函数解析式，再求出离开水面2米处即y=-2时x 的值，从而得出答案．
【详解】
根据题意知点B 坐标为(1,−4)，
设抛物线解析式为y=ax 2，
将点B(1,−4)代入，得：a=−4，
∴抛物线解析式为y=−4x 2，
当y=−2时,由−4x 2=−2得，
∴，
答：这时离开水面2米处涵洞宽DE 米.
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解.
28．(1)211242y x x =+-；(2)2a =+；(3)M(-611，0)
【解析】
【分析】
（1）把T 的坐标代入解析式，求出a 的值，写出解析式；
（2）根据点D 在第二象限，∠DAB 为钝角，所以当A 、B 、D 三点为顶点的三角形与△ABC 相似时，只能∠DAB 与∠ACB 对应，所以分以下两种情况讨论：①如图2，当△BDA ∽△ABC 时，∠BAC=∠ABD ，
②当△DBA ∽△ABC 时，如图3，∠ABC=∠ABD ，分别列比例式，得方程求解； （3）本题介绍两种解法：
解法一：先求出Q 的坐标为（6，10），通过轴对称作出使四边形PQNM 的周长最小时的M 、N 的位置，因为PQ 、NM 为定值，要想周长最小，则需要PM+NQ 最小，即想办法做到一直线上，因此作P 关于x 轴的对称点P ′，找到P′G=2，且P′G ∥x 轴，利用平移构建平行四边形P′GNM ，从而得到x 轴上的M 和N ，求出M 的坐标．
解法二：同理得Q 的坐标，作P 关于x 轴的对称点P ′，过Q 作QH ∥x 轴，交y 轴于H ，
在QH 上从Q 起取一点Q'，使QQ'=2，连接Q'P'，交x 轴于一点，则此点为M ，根据P'Q'的解析式可得M 的坐标．
【详解】
（1）如图1，把T （1，﹣
54）代入抛物线y=1a （x ﹣2）（x +a ）得： ﹣54=1a
（1﹣2）（1+a ）， 解得：a=4， ∴抛物线的解析式为：y=
14x 2+12x ﹣2； （2）当x=0时，y=
1a ×（﹣2）×a=﹣2， ∴C （0，﹣2），
当y=0时，1a
（x ﹣2）（x +a ）=0， x 1=2，x 2=﹣a ，
∴A （﹣a ，0）、B （2，0），
如图2，过D 作DE ⊥x 轴于E ，
设D （m ，n ），
∵点D 在第二象限，∠DAB 为钝角，
∴分两种情况：
①如图2，当△BDA ∽△ABC 时，∠BAC=∠ABD ，
∴tan ∠BAC=tan ∠ABD ，即OC DE OA BE
=， ∴
22
n a m ==+， n=42m a -， 则()()4212m n a n m m a a -⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
， 解得：m=﹣2﹣a 或2，
∴E （﹣2﹣a ，0），
由勾股定理得：
，
∵AO BE AC BD
=，
24m a B D B D -++==，
BD=(
4a a
+， ∵△BDA ∽△ABC ，
∴AB AC BD AB
=， ∴AB 2=AC•BD ，
即（a +2）2(a a
+⨯，
解得：0=16，此方程无解；
②当△DBA ∽△ABC 时，如图3，∠ABC=∠ABD ，
∵B （2，0），C （0，﹣2），
∴OB=OC=2，
∴△OBC 是等腰直角三角形，
有
∴∠OCB=∠OBC=45°
， ∴∠ABC=∠ABD=45°
， ∴DE=BE ，
n=﹣m +2，
∴ ∵△DBA ∽△ABC ，
∴BD AB AB BC
=， ∴AB 2=BD•BC ，
∴（a +2）2=4n ，
则()()(4212a n n m n m m a a ⎧⎪=⎪=-+⎨⎪⎪=-+⎩
，
解得：446422m n a ⎧=-⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎩，
则a=2+
；
（3）解法一：当x=6时，y=
14
（6﹣2）（6+4）=10， ∴Q （6，10），
如图4，作P 关于x 轴的对称点P′，过P′作P′G ∥x 轴，且P′G=2，连接GQ 交x 轴于N ，过P′作P′M ∥GN ，交x 轴于M ，
此时，QG 就是MP +NQ 的最小值，由于PQ 、NM 为定值，所以此时，四边形PMNQ 的周长最小，
∵P （﹣1，1），
∴P′（﹣1，﹣1），
∵P′G ∥MN ，P′M ∥GN ，
∴四边形P′GNM 是平行四边形，
∴MN=P′G=2，NG=P′M=PM ，
∴G （1，﹣1），
设GQ 的解析式为：y=kx +b ， 把G （1，﹣1）和Q （6，10）代入得：1410k b k b +=-⎧⎨+=⎩
， 解得：115165k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， ∴GQ 的解析式为：y=115x ﹣165
，
当y=0时，x=16 15
，
∴N（16
11
，0），
∵MN=2，
∴M（﹣6
11
，0）．
解法二：如图5，同理得Q（6，10），
P（﹣1，1）关于x轴的对称点P′（﹣1，﹣1），过Q作QH∥x轴，交y轴于H，在QH 上从Q起取一点Q'，使QQ'=2，连接Q'P'，交x轴于一点，则此点为M，此时，四边形PMNQ的周长最小，
∵Q'（4，10），P′（﹣1，﹣1），
易得P'Q'的解析式为：y=11
5
x+
6
5
，
当y=0时，11
5
x+
6
5
=0，x=﹣
6
11
，
∴M（﹣6
11
，0）．
【点睛】
二次函数的综合题，考查了二次函数利用待定系数法求解析式及二次函数的性质，当两个三角形相似时，根据已知条件分类讨论；对于图形周长的最小值问题，要先确定哪此边是定值，哪些边是不确定值，根据轴对称的性质利用数形结合的思想解决问题．。