高考数学总复习 72基本不等式课件 新人教B

夯实基础 稳固根基 1．基本不等式：对任意 a、b∈_R_＋__，有a＋2 b≥ ab成 立，当且仅当 a＝b 时取等号． (1)x、y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)，那么当 x＝y 时，x＋y 有最_小__值 2 P. (2)x、y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)，那么当 x＝y 时，xy 有最_大___值S42.
若 ax＝by＝2，a＋ b＝4，则2x＋1y的最大值为(
)
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：依题意得 4＝a＋ b≥2 a· b(当且仅当 a＝ b时，等 号成立)，则 a b≤4，a2b≤16，又 x＝loga2，y＝logb2，所以2x＋ 1y＝2log2a＋log2b＝log2(a2b)≤log216＝4，即2x＋1y的最大值是 4， 故选 A.
解析：(1)令3x＝m，2y＝n，则 x＝3m，y＝2n，由点(x，y) 在 y＝log2(x＋1)的图象上可得，2n＝log2(3m＋1)，故 n＝12 log2(3m＋1)．又(m，n)是函数 y＝g(x)的图象上的点，故 g(x) ＝12log2(3x＋1)(x>－13)．
(2)因为 g(x)－f(x)≥0，所以12log2(3x＋1)≥log2(x＋1)． 由对数函数的性质可得，
走向高考·数学
人教B版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第七章 不 等 式
第七章
第二节 基本不等式
基础梳理导学
3 考点典例讲练
思想方技巧
4 课堂巩固训练
5 课后强化作业
基础梳理导学
重点难点 引领方向 重点：基本不等式的理解与运用． 难点：应用基本不等式解决实际问题时条件的把握．
基本不等式与其他知识的交汇
[例 4] 已知 x>0、y>0，x、a、b、y 成等差数列，x、c、
d、y 成等比数列，则a＋cdb2的最小值是(
)
A．0
B．1
C．2
D．4
分析：利用等差、等比数列的性质可将 a、b、c、d 的表 达式转化为只含 x、y 的表达式，然后变形应用基本不等式求 解．
解析：由等差、等比数列的性质得 a＋cdb2＝x＋xyy2＝xy＋yx＋2 ≥2 yx·yx＋2＝4.仅当 x＝y 时取等号．
证明：由于 a、b 均为正实数， 所以a12＋b12≥2 a12·b12＝a2b， 当且仅当a12＝b12时等号成立， 又因为a2b＋ab≥2 a2b·ab＝2 2， 当且仅当a2b＝ab 时等号成立，
所以a12＋b12＋ab≥a2b＋ab≥2 2， 当且仅当a12＝b12，
a2b＝ab， 即 a＝b＝4 2时取等号.
解析：(1)设该厂应每隔 x 天购买一次面粉，其购买量为 6xt.由题意知，面粉的保管等其它费用为
3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1)． 设平均每天所支付的总费用为 y1 元，则 y1＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1800 ＝90x0＋9x＋10809≥2 90x0·9x＋10809＝10989.
答案：B
点评：可用特值法，∵b>a>0，a＋b＝1，∴可取 b＝34，a ＝14，则可知其大小关系．
(2012·陕西文，10)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a
和 b(a<b)，其全程的平均时速为 v，则( )
A．a<v< ab
B．v＝ ab
a＋b C. ab<v< 2
D．v＝a＋2 b
解析：v＝1a＋2 1b＝a2＋abb<22aabb＝ ab， 因为 v－a＝a2＋abb－a＝2ab－a＋a2b－ab＝aab＋－ba2>aa2＋－ba2＝0， 所以a2＋abb>0，故选 A.
答案：A
点评：关于不等式的解集，不等式的一些关系式，用特值 法有时会简捷获解．例如本题中可取甲、乙两地距离为 4，a ＝1，b＝2 检验.
利用基本不等式求最值
[例 2] (1)已知2x＋3y＝2(x>0，y>0)，求 xy 的最小值． (2)若 x、y∈R＋，且 2x＋8y－xy＝0.求 x＋y 的最小值． 分析：(1)可利用基本不等式转化为 xy的不等式求解． (2)可消去一个变量，将 x＋y 用一个变量表示，再配凑出 能运用基本不等式的条件．
第七章 第二节
解题技巧 1．证明不等式常用的方法： 比较法(作差法和作商法)、综合法、分析法、反证法、放 缩法、换元法(三角代换法)、单调性法、判别式法、几何法(利 用几何意义)． 2．条件最值是基本不等式的一个重要应用．应用基本不 等式求最值时，①通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、 添加系数使之能够出现定值是解题的关键．②必须指出等号 成立的条件．
解析：(1)2x＋3y≥2 x6y，∴2 x6y≤2，∴xy≥6.(等号在 x ＝2，y＝3 时成立)
故 xy 的最小值为 6. (2)由 2x＋8y－xy＝0 得 y(x－8)＝2x. ∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝x－2x8. u＝x＋y＝x＋x－2x8＝x＋2x－x1－68＋16
＝(x－8)＋x－168＋10≥2 x－8·x－168＋10＝18. 等号在 x－8＝x－168即 x＝12，y＝6 时成立． ∴x＋y 的最小值为 18.
某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 50 元的书桌 共 36 张，每批都购入 x 张(x 是正整数)，且每批均需付运费 40 元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总 费用(不含运费)成正比．若每批购入 4 张，则该月需用去运费 和保管费共 400 元．现在全月只有 240 元资金可以用于支付运 费和保管费．
当且仅当 9x＝90x0，即 x＝10 时取等号． 即该厂应每隔 10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支 付的总费用最少．
(2)若厂家利用此优惠条件，则至少每隔 35 天购买一次面 粉．
设该厂利用此优惠条件后，每隔 x(x≥35)天购买一次面 粉，平均每天支付的总费用为 y2 元，则
y2＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1800×0.90 ＝90x0＋9x＋9729(x≥35)， 令 f(x)＝x＋10x0(x≥35)，x2>x1≥35，则
2．基本不等式的常见变式及有关结论 (1)a2＋b2≥2ab(a、b∈R)；ab≤a2＋2 b2(a、b∈R) a2＋b2_≥___a＋2b2(a、b∈R)；ab_≤___a＋2 b2(a、b∈ R) a＋2 b2_≤___a2＋2 b2(a、b∈R)，以上各等号在 a＝b 时 成立．
(2)ab＋ba≥2(a、b 同号)，特别地1a＋a≥2(a>0)，1a＋a≤ －2(a<0)．
答案：D
(2011·北京重点中学第一次月考)已知函数 f(x)＝log2(x＋1)， 当点(x，y)是 y＝f(x)的图象上的点时，点(3x，2y)是 y＝g(x)的图象 上的点．
(1)写出 y＝g(x)的表达式； (2)当 g(x)－f(x)≥0 时，求 x 的取值范围； (3)当 x 在(2)所给范围内取值时，求 g(x)－f(x)的最大值．
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥1a＋2 1b(a、b∈R＋)． 3．含绝对值的不等式 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|， 4.ab＋＋mm>ab(b>a>0，m>0)
疑难误区 点拨警示 在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相 等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定” 是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值 相等时，等号成立． 多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号 成立条件的一致性和不等号方向的一致性．
证明：因为 a>0，b>0，a＋b＝1， 所以 1＋1a＝1＋a＋a b＝2＋ba. 同理 1＋1b＝2＋ab. 所以(1＋1a)(1＋1b) ＝(2＋ba)·(2＋ab) ＝5＋2(ba＋ab)≥5＋4＝9. 所以(1＋1a)(1＋1b)≥9(当且仅当 a＝b＝12时等号成立)．
设 a、b 均为正实数，求证：a12＋b12＋ab≥2 2.
x3＋x＋1>1>0，0， 3x＋1≥x＋12.
解得 0≤x≤1.
(3)因为 0≤x≤1， 所以 g(x)－f(x)＝12log23xx＋＋112 ＝12log23x＋1＋93x＋4 1＋4≤12log298. 当且仅当 3x＋1＝2，即 x＝13时等号成立． 故 g(x)－f(x)在[0,1]上的最大值为12log298.
基本不等式的实际应用
[例 5] 某食品厂定期购买面粉．已知该厂每天需用面粉 6t，每吨面粉的价格为 1800 元，面粉的保管等其它费用为平 均每吨每天 3 元，购买面粉每次需支付运费 900 元．
(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付 的总费用最少？
(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于 210t 时，其价格可享受 9 折优惠(即原价的 90%)，问该厂是否考 虑利用此优惠条件？请说明理由．
思想方法技巧
1走1、向凡为高教考者必·期高于考达到一不轮须教总。复对人习以诚·人信，教人B不版欺我·;对数事学以诚信，事无不成。
12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月 2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/302022/1/30
答案：A
利用基本不等式证明不等式
[例 3] 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋1a)(1＋1b)≥9. 分析：待证式左边展开就是 ab 的表达式，故可由条件先 求 ab 的取值范围，再求关于 ab 的函数的值域；注意到 a＋b ＝1，也可以消去一个未知数展开整理，或对分子进行“1 的 代换”，再展开证明．
()
A．3
B．4
9
11
C.2
D. 2
解析：∵2xy＝8－(x＋2y)，故 8－(x＋2y)≤(x＋22y)2， ∴(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0 解得 x＋2y≥4 或 x＋2y≤－8(舍去) ∴x＋2y 的最小值为 4(当且仅当 x＝2y＝2 时取等号)．
答案：B
(理)(2012·山西四校第一次联考)设 x、y∈R，a>1，b>1，
点评：(1)求条件最值的问题，基本思想是借助条件化二 元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中应密 切关注字母隐含的取值范围，有时也可用三角代换的方法．
(2)利用已知条件构造不等式，然后通过解不等式求得表 达式的取值范围，从而得到最值也是部分问题中采用的方法．
(文)已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的最小值是
A．2ab<aa4－－bb4<a＋2 b<b
B．2ab<a＋2 b<aa4－－bb4<b
a4－b4
a＋b
C. a－b <2ab< 2 <b
D．2ab<a＋2 b<b<aa4－－bb4
解析：∵b>a>0，a＋b＝1，∴b>12，∴2ab<a＋2b2＝a＋2 b， 且 a2＋b2>a＋2b2＝12.∴aa4－ －bb4＝(a＋b)(a2＋b2)>a＋2 b.又aa4－ －bb4 －b＝a2＋b2－b＝2b2－3b＋1＝(1－b)(1－2b)<0.故应选 B.
3．“恒成立”问题的解法 不等式的“恒成立”问题是不等式综合应用中一类常见 的题型，蕴涵着转化、数形结合、分类讨论、函数与方程等 丰富的数学思想方法，处理不等式恒成立问题的基本思路是 转化为求函数的最值或函数值域的问题．
考点典例讲练
利用基本不等式比较大小
[例 1] 已知 b>a>0，且 a＋b＝1，那么( )
f(x1)－f(x2)＝x1＋1x010－x2＋1x020 ＝x2－x1x11x020－x1x2. ∵x2>x1≥35. ∴x2－x1>0，x1x2>0,100－x1x2<0. ∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)． 即 f(x)＝x＋10x0，当 x≥35 时为增函数． ∴当 x＝35 时，f(x)有最小值，此时 y2<10989. ∴该厂应该接受此优惠条件．