2019年最新上海市第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析

第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷
（满分150分，时间120分钟）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若集合{}0A x x =>，{}
1B x x =<，则A
B = ．
2. 已知复数z 满
1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = ．
3. 函数()sinx cosx
f x cosx sinx
=
的最小正周期是 ．
4. 已知双曲线22
2181
x y a -
=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ．
5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为 ．
6. 已知x y ，
满足0220x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最大值是 ． 7. 直线12x t y t =-⎧⎨
=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θ
θ
=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数
是 ．
8. 已知函数()()
220()01x
x f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1
()f x -，则
11
()2
f -= ．
9. 设多项式231(1)(1)(1)n
x x x x ++++++
++（*0x n N ≠∈，
）的展开
式中x 项的系数为n T ，则2
n
n T lim
n →∞= ．
10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为
0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废
品的概率是0.9603，则p = ．
11. 设向量m ()x y =，，n ()x y =-，，P 为曲线1m n ⋅=（0x >）上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为 ．
12. 设1210x x x ，，，为1210，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，
，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的………………………
（ ）
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充要条件
（D ）既不充分又不必要条
件
14. 如图，P 为正方体1111ABCD A BC D -中1AC 与1BD 的交点，则
PAC ∆在该正方体各
个面上的射影可能是 …………………………………………………………………（ ）
（A ）①②③④ （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④ 15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直
线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的距离分别为
13，．点M N ，分别在12l l ，上，
8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值
为…………………（ ）
（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）9 16. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在
x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x x
λ
+=（0x >），若对于任意
t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点
”
，
则
实
数
λ
的取值范围
是…………………………………………………………………………………………（ ）
（A ）(]
02， （B ）(]12，
（C ）[]12， （D ）[]14， 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．
17. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）
如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，
E F 、分别是线段1BC CD 、的中点．
（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．
18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知抛物线2
2y px =（0p >），其准线方程为10x +=，直线l 过点(0)T t ，（0t >）且与抛物线交于A B 、两点，O 为坐标原点．
（1）求抛物线方程，并证明：OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式．
19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ⊆，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”． （1）求证：函数2
()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”； （2）已知211
()2f x a a x
=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围．
20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分
6分）
数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*
n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；
（2）若1
12
a k ==-，
，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项
12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存
在，请说明理由．
21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分
8分）
设T R ⊂≠，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界．
（1）设12121x x A y y x R ⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
，、212A x sinx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是
否为有界集合，并说明理由； （2）已知
2()f x x u =+，记
11()()()(())
n n f x f x f x f f x -==，（23
n =，，）．若m R ∈，1
[)4
u ∈+∞，，且{
}()n B f m n N *
=∈为有界集
合，求u 的值及m 的取值范围；
（3）设a b c 、、均为正数，将2
22
()()()a b b c c a ---、、中的最小数记为d ．
是否存在正数(01)λ∈，，使得λ为有界集合222
{|d
C y y a b c
==
++，a b c 、、均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案及评分标准
一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1、()0,1 2、1 3、π 4、3 5、
16
π
6、3
7、2
8、1-
9、
12
10、0.03 11
12、512 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13、B 14、C 15、A 16、A
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17. 解：（1）方法一：设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，
1(002)
D ，，，故
(12E ，，，(011)F ，，，()111EF =--，，，
()1002AA =，，， …………………4/
设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF 与1AA 所成角为β，则
11
EF AA cos cos EF AA αβ⋅==
⋅…… 6/
3=
=，……7/
注意到
02πα⎛
⎤
∈ ⎥⎝⎦，，故3arccos
α=，即异面直线EF 与1AA 所成角的大小
为3
arccos
．…………………8/ （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(100)n =，，
，…………………10/
设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF 与n 所成角为γ，则
EF n sin cos EF n
θγ⋅==
⋅………12/
3
=
13/
1
又02πθ⎡
⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，
θ∴=线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为
．………………14/
方法二：设正方体棱长为2．
（1）在面11CC D D 内，作FH CD ⊥于H ，联结HE ．因为正方体
1111ABCD A BC D -，所以1AA ∥1DD ；在面11CC D D 内，有FH ∥1DD ，故异
面直线EF 与1AA 所成的角就是EFH ∠（或其补角）．………………………4/
由已知及作图可知，H 为CD 的中点，于是，在Rt EFH ∆中，易得1FH =，
HE
=，故HE tan
EFH FH
∠=
， ………………………………………… 6/
=
= 7/ 又(0)2
EFH π
∠∈，，所以EFH
∠=从而异面直线EF 与1AA 所成
角的大小为8/
（2）因为正方体1111ABCD A BC D -，所以平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故直线
EF 与平面11AA B B 所成角的大小就是直线EF 与平面11CC D D 所成角．注意到
BC ⊥平面11CC D D ，即EC ⊥平面11CC D D ，所以
直
线
EF 与平面
11AA B B
所成角的大小即为
EFC
∠． ………………………………10/
在
Rt EFC
∆中，易得
1EC FC ==，，故
EC
tan EFC
FC
∠=……………………12/
2
==，………………13/
又(0)
2
EFC
π
∠∈，，
故
2
E F C a r c ta n
∠=，即直线EF与平面
11
AA B B所成角的大小
为……14/
18.解：（1）方法一：由题意，2
=
p，所以抛物线的方程为x
y4
2=．……………2/
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为t
x=，
则(A t
，(B t-
，，t
t
OB
OA4
2-
=
⋅．…………3/
当直线l的斜率k存在时，则0
≠
k，设l的方程为)
(t
x
k
y-
=，
11
()
A x y，，
22
()
B x y，，由
24
()
y x
y k x t
⎧=
⎨
=-
⎩
消去x，得0
4
4
2=
-
-kt
y
ky，故12
12
4
4
y y
k
y y t
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，所以，
t
t
y
y
y
y
y
y
x
x4
16
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
-
=
+
=
+
=
⋅．…………………………………………5/
综上，OB
OA⋅的值与直线l倾斜角的大小无关．…………………………………………6/
方法二：由题意，2
=
p，所以抛物线的方程为x
y4
2=．………………………………2/
依题意，可设直线l 的方程为x my t =+（m R ∈），11()A x y ，
，22()B x y ，，由24y x x my t ⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=， 故121244y y m
y y t
+=⎧⎨=-⎩， 所以，12121212()()OA OB x x y y my t my t y y ⋅=+=+++
221212(1)()m y y mt y y t =++++ ……………………
……5/
22(1)(4)4m t mt m t =+-+⋅+
24t t =-
综上，
OB OA ⋅的值与直线l
倾斜角的大小无
关． …………………………6/
（2）设00()P x y ，，则02
04x y =，
||PT =， ………………………
(8)
/
注意到00≥x ，所以，
若20t -≥，即2t ≥，则当02x t =-时，||PT 取得最小值，
即
()2)d t t =≥；………10/
若20t -<，即有02t <<，则当00x =时，||PT 取得最小值，即
()(02)d t t t =<<；………12/
综
上
所
述
，
()()
2()02t d t t
t ⎧≥⎪=⎨
<<⎪⎩…………………………………………………14/
19.解：（1）函数
2()2g x x x =-在[01]x ∈，
时的值域为
[10]-，，…………………………4/
不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．………………………6/
（2）因x
a a x f 21
12)(-+
=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m m
f n n ==，，……8/
这说明m n ，
是方程x x
a a =-+
21
12的两个不相等的实根， ………………………………10/
其等价于方程
1)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实
根，……………………………11/
由
222(2)40
a a a ∆=+->解得
2
3-
<a 或
2
1>
a ． ………………………………………13/ 故
a
的取值范围为
3122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，，． ………………………………………………14/
20.解：（1）若
{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有
122n n n a a a ++=+，………………2/
即
121
()2
n n n a a a ++=
+，………………………………………………………………………3/
故
1
2
k =
．………………………………………………………………………………………4/
（2）当12k =-
时，121
()2
n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--， 211()n n n n a a a a ++++=-+，
故
32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． ……………………………………
……5/
所以，当n 是偶数时，
1234112()(11)22
n n n n n
S a a a a a a a a n -=++++
++=
+=+=；……………………7/
当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++
123451()()()
n n a a a a a a a -=+++++
++
1
1(2)22
n n -=+
⨯-=-． ……………9/
综
上，
(
)(
)
222
n n n S n
n
-=⎧⎪=⎨
=⎪⎩（*
k N ∈）． …………………………………………10/
（3）若}{n a 是等比数列 ，则公比a a a q ==
1
2
，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……11/
① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即11
2m m m a a a -+=+
⇔221a a =+，解得1=a （舍去）
；……12/
② 若
m
a 为等差中项，则
12
2m m m a a a ++=+，即
112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，
2
a =-，
1112
2215
m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……………………………14/
③ 若
2
m a +为
等
差中项，则
21
2m m m a a a ++=+，即
112221m m
m
a a a
a a
+-
=
+
⇔=+， 因
为
1
≠a ，
解
得
2
12215
a a k a =-==-+，． …………………………………………15/
综
上
，
存
在
实
数
k
满足题意，
2
5
k =-．…………………………………………………16/
21.解：（1）对于1A ，由2121x x
y -=+得1201x y y +=>-，解得11y -<<，………………2/
1
A ∴为有界
集
合； …………………………………………3/
显
然
252266A x k x k k Z ππππ⎧⎫
=+<<+∈⎨⎬
⎭⎩
，不是有界集
合． ………………………4/
（2）记()n n a f m =，则2
1n n a a u +=+．
若14u =
，则21()4f m m =+，2
2111()42
n n n n n a a a a a +=+=-+≥，即
1n n a a +≥，且
211111()()2422n n n n a a a a +-
=-=-+，从而1111222
n n n a a a +-=-⋅+． （ⅰ）当12m =
时，1()2n n f m a ==，所以1
{}2
B =，从而B 为有界集合．…………5/
（ⅱ）当12m <
时，由2114n n a a +=+，2
111()()4
a f m f m m ===+，显然，此时0n a >，利用数学归纳法可得1
2
n a <，故B 为有界集合．…………………………………………6/
（ⅲ）当1
2
m >
时，211111
()()42
n n a a a f m f m m m +≥≥≥===+
≥>，2
114n n n n a a a a +-=-+
21()2
n a =- 2
11()2
a ≥-，即
2
111
()2
n n a a a +-≥-，由累加法得
2111(1)()2n a a n a ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．因此，当1
4u =，且
12m ≤
时，B 为有界集合；当14u =，且1
2
m >时，B 不是有界集合； 若14u >
，则211()()a f m f m m u u ===+≥，即11
4
a u ≥>， 又2
114n n a a u u +=+>>
（n N *∈）， 即14
n a >（n N *
∈）． 于是，对任意n N *
∈，均有22
11
11()2
44
n n n n n a a a a u a u u +-=-+=-+-
≥-，即
114n n a a u +-≥-（n N *∈），再由累加法得11
(1)()4
n a a n u ≥+--→+∞，故
B 不是有界集合．………8/
综上，当14u =
，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且1
2
m >时，B 不是有界集合；
当1
4
u >
(m R ∈)时，B 不是有界集合． 故，满足题设的实数
u 的值为
1
4
，且实数m 的取值范围是11
[]22
-，．………………10/ （3）存在．………………………………………………………………………11/
不妨设a b c ≥≥．
若2
a c
b +≤
，则2a b c ≥-，且2
()d b c =-． 故2
2
2
2
2
2
2
5()5()()d a b c b c a b c -++=--++
22225()[(2)]b c b c b c ≤---++3(2)0c c b =-<，
即222
222
15()05
d d a b c a b c -++<⇔
<++；…………13/
若2
a c
b +>，则2a a
c b <+<，即220a b a b <⇔-<， 又2
a c
b b
c a b +>
⇔->-，故2()d a b =-，又 22222225()5()()d a b c a b a b c -++=--++22(2)(2)0a b a b c =---<，
即 2
2
2
5()0d a b c -++<
222
15d a b c ⇔
<++，因此，1
5
是有界集合C 的一个上
界．…………………………15/
下证：上界1
5
λ<
不可能出现． 假设正数15λ<出现，取2a c b +=，1()05c a λ=->，则2
2a c d -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
此时，
d
22222213
()()()55
a b c a b c ac
λλ=+++-++-22221
()()5
a b c a ac
λλ>+++--222()a b c λ=++（*）
…17/
由式（*）可得222
222
()d
d a b c a b c λλ>++⇔
>++，与λ是C 的一个上界
矛盾！．
综上所述，满足题设的最小正数
λ
的值为
15
． …………………………………………18/。