通用版2019版高考数学一轮复习第九章解析几何学案理53

第九章 解析几何
第一节 直线与方程
本节主要包括3个知识点：
1.直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系；
2.直线的方程；
3.直线的交点、距离与对称问题.
突破点(一) 直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系
[基本知识]
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 2．直线的斜率公式
(1)定义式：若直线l 的倾斜角α≠π
2
，则斜率k ＝tan_α.
(2)两点式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1
x 2－x 1
. 3．两条直线平行与垂直的判定
[基本能力]
1．判断题
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )
(4)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( )
(5)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× 2．填空题
(1)若过两点A (－m,6)，B (1,3m )的直线的斜率为12，则m ＝________. 答案：－2
(2)如图中直线l
1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3
的大小关系为________．
解析：设l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3.由题图易知0<α3<α2<90°<α1<180°，∴tan α2>tan α3>0>tan α1，即k 2>k 3>k 1.
答案：k 2>k 3>k 1
(3)已知直线l 1：x ＝－2，l 2：y ＝1
2，则直线l 1与l 2的位置关系是________．
答案：垂直
(4)已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________． 解析：由题意，得a
a －3
＝－2，解得a ＝2.
答案：2
[全析考法]
1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：
2.
tan α的单调性，如图所示：
(1)当α取值在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内，由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 由0
增
大并趋向于正无穷大；
(2)当α取值在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π内，由π2⎝ ⎛⎭
⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由负无穷大增大并趋近于0.
解决此类问题，常采用数形结合思想．
[例1] (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π)
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π
C.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4
D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π
(2)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．
[解析] (1)因为直线x sin α＋y ＋2＝0的斜率k ＝－sin α，又－1≤sin α≤1，所以－1≤k ≤1.设直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，
π)，故倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π.
(2)如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当
m ≠0时，k QA ＝3
2，k PA ＝－2，k l ＝－1
m
.
∴－1m ≤－2或－1m ≥3
2.
解得0<m ≤12或－2
3
≤m <0；
当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点．
∴实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12.
[答案] (1)B (2)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－23，12 [易错提醒]
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾
斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈
⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－
∞，0)．
两直线的位置关系
两直线位置关系的判断方法 (1)已知两直线的斜率存在
①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1.
(2)已知两直线的斜率不存在
若两直线的斜率不存在，当两直线在x 轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．
[例2] (1)已知直线l 1：3x ＋2ay －5＝0，l 2：(3a －1)x －ay －2＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为( )
A ．－1
6
B ．6
C ．0
D ．0或－1
6
(2)已知经过点A (－2,0)和点B (1,3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2互相垂直，则实数a 的值为________．
[解析] (1)由l 1∥l 2，得－3a －2a (3a －1)＝0，即6a 2
＋a ＝0，所以a ＝0或a ＝－16，
经检验都成立．故选D.
(2)l 1的斜率k 1＝
3a －0
1－－
＝a .
当a ≠0时，l 2的斜率k 2＝
－2a －－
a －0＝1－2a
a
.
因为l 1⊥l 2，
所以k 1k 2＝－1，即a ·1－2a
a
＝－1，解得a ＝1.
当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0,0)，这时直线l 2为y 轴，A (－2，0)，B (1,0)，直线l 1为
x 轴，显然l 1⊥l 2.
综上可知，实数a 的值为1或0. [答案] (1)D (2)1或0 [方法技巧]
已知两直线一般方程的两直线位置关系的表示
到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．
[全练题点]
1.[考点一]设点P 是曲线y ＝x 3
－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线的倾斜角α的取值
范围是( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π
B.⎣⎢⎡⎭⎪
⎫2π3，π
C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫2π3，π D.⎝
⎛⎦⎥⎤π2
，5π6
解析：选C 因为y ′＝3x 2
－3≥－3，即切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的
取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫2π3，π.
2.[考点一]直线l 过点A (1,2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围为( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12
B ．[0,1]
C ．[0,2]
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 解析：选C 因为直线过点A (1,2)，且不经过第四象限，作出图象，如图所示，当直线
位于如图所示的阴影区域内时满足条件，由图可知，当直线l 过A 且平行于x 轴时，斜率取得最小值，k min ＝0；当直线l 过A (1,2)，O (0,0)时，斜率取得最大值，k max ＝2，所以直线l 的斜率的取值范围是[0,2]．故选C.
3.[考点二]若直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，则实数m 的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
解析：选 C ∵直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，∴
⎩⎪⎨⎪⎧
－m ＋－m ＝0，m ＋
－m
，
解得m ＝1.故选C.
4.[考点二]直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( )
A ．－12
B ．－14
C ．10
D ．8
解析：选A 由直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，得2m －20＝0，m ＝10，直线10x ＋4y －2＝0过点(1，p )，有10＋4p －2＝0，解得p ＝－2，点(1，－2)又在直线2x －5y ＋n ＝0上，则2＋10＋n ＝0.解得n ＝－12.故选A.
5.[考点二](2018·温州五校联考)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2
－1＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________.
解析：因为直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2
－1＝0垂直，所以a ·1＋2·(a －1)＝0，解得a ＝23
.
答案：23
突破点(二) 直线的方程
[基本知识]
直线方程的五种形式
[基本能力]
1．判断题
(1)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( )
(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )
(3)不经过原点的直线都可以用x a ＋y b
＝1表示．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×
2．填空题
(1)直线l 经过点(0,1)且倾斜角为60°，则直线l 的方程为________________． 解析：∵k ＝tan 60°＝3，又直线l 过点(0,1)， ∴由点斜式方程得，y －1＝3(x －0)． 即3x －y ＋1＝0. 答案：3x －y ＋1＝0
(2)经过点A (2，－3)，倾斜角等于直线y ＝x 的2倍的直线方程为________________． 解析：直线y ＝x 的斜率k ＝1，故倾斜角为π4，所以所求的直线的倾斜角为π
2，则所求
的直线方程为x ＝2.
答案：x ＝2
(3)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝____________. 解析：显然a ＝0不符合题意，当a ≠0时，令x ＝0，则l 在y 轴的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a .依题意2＋a ＝1＋2
a
，解得a ＝1或a ＝－2.
答案：1或－2
[全析考法]
[例1] (1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的1
3的直线方程；
(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程； (3)求过A (2,1)，B (m,3)两点的直线l 的方程．
[解] (1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－4
3.
又直线经过点A (1,3)，
因此所求直线方程为y －3＝－4
3(x －1)，
即4x ＋3y －13＝0.
(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y
a ＝1，
将(－5,2)代入所设方程，
解得a ＝－1
2
，
所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；
当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2， 解得k ＝－2
5
，
所以直线方程为y ＝－2
5x ，即2x ＋5y ＝0.
故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. (3)①当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2；
②当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2
m －2
，
即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.
因为m ＝2时，代入方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2， 所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0.
[易错提醒]
(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．
与直线方程有关的最值问题
[例2] (1)已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．
(2)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点
P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．
[解析] (1)由题得A (2,0)，B (0,1)， 由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1， 且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，
故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2
＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12
.
由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值1
2.
(2)易求定点A (0,0)，B (1,3)．
当P 与A 和B 均不重合时，
因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ， 所以|PA |2
＋|PB |2
＝|AB |2
＝10，
所以|PA |·|PB |≤|PA |2
＋|PB |
2
2＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A
或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.
[答案] (1)1
2 (2)5
[方法技巧]
与直线方程有关的最值问题的解题思路
(1)借助直线方程，用y 表示x 或用x 表示y . (2)将问题转化成关于x (或y )的函数． (3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．
[全练题点]
1.[考点一]直线3x －y ＝0绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得直线的方程为( )
A ．x ＋3y －3＝0
B ．x ＋3y －1＝0
C ．3x －y －3＝0
D ．x －3y ＋3＝0
解析：选B 直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得y ＝－1
3x ，再向右平移1个单位长
度，得y ＝－1
3
(x －1)，即x ＋3y －1＝0.
2.[考点二]已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2
＋y 2
的最小值是( ) A ．8
B ．2 2 C. 2 D ．16
解析：选A ∵点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，∴y ＝4－x ，∴x 2
＋y 2
＝x 2
＋(4－x )2
＝2(x －2)2
＋8，当x ＝2时，x 2
＋y 2
取得最小值8.
3.[考点二]当k >0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为________．
解析：直线2x ＋ky －2＝0与x
轴交于点(1,0)．由⎩
⎪⎨
⎪⎧
kx －y ＝0，
2x ＋ky －2＝0，解得y ＝
2k
k 2
＋2
，所以两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形的面积为12×1×2k k 2＋2＝1
k ＋
2
k
，又k
＋2k
≥2
k ·2k ＝22，故三角形面积的最大值为2
4
. 答案：
24
4.[考点二](2018·苏北四市模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．
解析：由两直线平行可得，a (b －3)－2b ＝0，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3
b
＝1.又a ，b 为正数，
所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a
≥13＋2
6a b ·6b
a
＝25，当且仅当a ＝b ＝5
时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.
答案：25
5.[考点一]△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；
(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程． 解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，
由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2
－2－2
，即x ＋2y －4＝0.
(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32
＝2.
BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，
由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y
2＝1，
即2x －3y ＋6＝0.
(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－1
2，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，
点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.
突破点(三) 直线的交点、距离与对称问题
[基本知识]
1．两条直线的交点
2．三种距离
|P 1P 2|＝
x 2－x 12
＋y 2－y 1
2
[基本能力]
1．判断题
(1)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( ) (2)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |
1＋k
2
.( ) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )
(4)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1
k
，且线段AB
的中点在直线l 上．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．填空题
(1)两条直线l 1：2x ＋y －1＝0和l 2：x －2y ＋4＝0的交点为________．
解析：由⎩⎪⎨
⎪⎧
2x ＋y －1＝0，
x －2y ＋4＝0，
可解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2
5
，y ＝9
5.
所以两直线交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，95.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫－25，95
(2)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是________． 解析：d ＝|0＋0－5|
5＝ 5.
答案： 5
(3)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝________. 解析：由题意知|a －2＋3|
2＝1，∴|a ＋1|＝2，
又a >0，∴a ＝2－1. 答案：2－1
(4)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 解析：∵63＝m 4≠14
－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之
间的距离d ＝|－3－7|
32＋4
2
＝2. 答案：2
[全析考法]
[例1] (1)当0<k <1
2时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
(2)若直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．
[解析] (1)由⎩
⎪⎨
⎪⎧
kx －y ＝k －1，
ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝k
k －1，y ＝2k －1
k －1.
又∵0<k <12，∴x ＝k k －1<0，y ＝2k －1
k －1
>0，
故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．
(2)解方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
2x －y ＝－10，
y ＝x ＋1，
可得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－9，
y ＝－8，
所以交点坐标为(－9，－8)，代入y ＝ax －2，得－8＝a ·(－9)－2，所以a ＝2
3.
[答案] (1)B (2)2
3
[方法技巧]
1．两直线交点的求法
求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．
2．求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．
距离问题
[例2] (1)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )
A.95
B.185
C.2910
D.295
(2)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为_____________________________．
[解析] (1)因为36＝48≠－12
5，所以两直线平行，
将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，
由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即
|－24－5|62＋8
2
＝2910，所以|PQ |的最小值为2910. (2)设所求直线的方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y －3k ＋4＝0，
由已知及点到直线的距离公式可得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |
1＋k 2
，解得k ＝2或k ＝－2
3
，
即所求直线的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. [答案] (1)C (2)2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0
[易错提醒]
(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |； (2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x ，y 的系数化为对应相等．
对称问题
1点关于 点对称
若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得
{ x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解
直线关于 点对称
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称
的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线
方程
2．轴对称问题的两种类型及求解方法
点关于直线对称
若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，
由方程组
⎩⎨⎧
A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪
⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－A B ＝－1，可得到
点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2) 直线关于直线对称
①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的
对称点，然后用点斜式求解．
②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，
求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解
(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；
(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． [解] (1)设A ′(x ，y )，由已知
⎩⎪⎨⎪⎧
y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－33
13，y ＝4
13.
所以A ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点M (2,0)，
则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则
⎩⎪⎨⎪⎧
2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.
解得M ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫613，3013.
设直线m 与直线l 的交点为N ，
则由⎩⎪⎨
⎪⎧
2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，
得N (4,3)．
又因为m ′经过点N (4,3)，
所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，
则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为P ′在直线l 上， 所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.
[方法技巧]
解决两类对称问题的关键
解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．
[全练题点]
1.[考点一]过点⎝ ⎛⎭⎪⎫6
5，－25且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( )
A ．x －2y －1＝0
B ．x －2y ＋1＝0
C ．2x ＋y －2＝0
D ．x ＋2y －1＝0
解析：选C 因为直线x －2y －2＝0的斜率为1
2
，所以所求直线的斜率k ＝－2.所以所求
直线的方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＝－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －65，即2x ＋y －2＝0.故选C.
2.[考点三]点P (2,5)关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标是( ) A ．(5,2) B ．(2，－5) C ．(－5，－2)
D ．(－2，－5)
解析：选C 设P (2,5)关于直线x ＋y ＝0的对称点为P 1，则PP 1的中点应在x ＋y ＝0上，可排除A ，B ；而(－2，－5)与P (2,5)显然关于原点对称，而不关于直线x ＋y ＝0对称．故选C.
3.[考点二]若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )
A ．3 B. 2 C ．3 2
D ．2 3
解析：选C 点M 在直线x ＋y －6＝0上，到原点的最小距离等价于原点O (0,0)到直线x ＋y －6＝0的距离，即d ＝|0＋0－6|12＋12
＝6
2
＝3 2.故选C. 4.[考点二]已知A (－2,1)，B (1,2)，点C 为直线y ＝1
3x 上的动点，则|AC |＋|BC |的最小
值为( )
A ．2 2
B ．2 3
C ．2 5
D ．27
解析：选C 设B 关于直线y ＝1
3x 的对称点为B ′(x 0
，y 0
)，则⎩⎪⎨⎪⎧
y 0－2x 0－1＝－3，y 0
＋22＝13×x 0
＋1
2，
解得B ′(2，－1)．由平面几何知识得|AC |＋|BC |的最小值即是|B ′A |＝
＋
2
＋－1－
2
＝2 5.故选C.
5.[考点二]已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为__________．
解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－7
9.
答案：－13或－7
9
6.[考点一]经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________________．
解析：法一：由方程组⎩⎪⎨
⎪
⎧
x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，y ＝2，
即P (0,2)．
∵l ⊥l 3，直线l 3的斜率为34，∴直线l 的斜率k 1＝－4
3，
∴直线l 的方程为y －2＝－4
3
x ，即4x ＋3y －6＝0.
法二：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，则其可化为(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋(4－2λ)＝0，因为直线l 与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，解得λ＝11.则直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0.
答案：4x ＋3y －6＝0
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2
＋y 2
－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )
A ．－43
B ．－34
C. 3
D ．2
解析：选A 因为圆x 2
＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋
y －1＝0的距离d ＝
|a ＋4－1|a 2＋1
＝1，解得a ＝－4
3.
2．(2013·全国卷Ⅱ)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )
A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－
22，12 C.⎝ ⎛⎦
⎥⎤1－
22，13 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫13，12 解析：选B 法一：(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时，如图①所示．易求得：x M ＝－b a
，y N ＝a ＋b a ＋1.由已知条件得：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1
＝1，
∴a ＝
b 2
1－2b
.∵点M 在线段OA 上，∴－1<－b
a
<0，∴0<b <a .∵点N 在线
段BC 上，∴0<a ＋b
a ＋1<1，∴
b <1.由⎩⎪⎨⎪⎧
b 2
1－2b >b ，b
2
1－2b >0，
b >0，
解得13<b <1
2
.
(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时，如图②所示．
设MC ＝m ，NC ＝n ，则S △MCN ＝12mn ＝12，∴mn ＝1.显然，0<n <2，∴m ＝1n >2
2.
又0<m ≤2且m ≠n .∴
2
2
<m ≤2且m ≠1. 设D 到AC ，BC 的距离为t ， 则t m ＝DN MN ，t n ＝DM MN ，∴t m ＋t n ＝DN MN ＋DM
MN
＝1.
∴t ＝
mn m ＋n ，∴1t ＝1m ＋1n ＝1m ＋m .而f (m )＝m ＋1m ⎣⎢⎡⎭⎪⎫22<m ≤2且m ≠1的值域为⎝
⎛⎦⎥⎤2，322， 即2<1t ≤322，∴23≤t ＜12.
∵b ＝1－CD ＝1－2t ，∴1－22＜b ≤1
3
. 综合(1)、(2)可得：1－
22<b <12
. 法二：由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝
a ＋b
a ＋1
，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ＝12，
化简得(a ＋b )2
＝a (a ＋1)，则a ＝b 2
1－2b .∵a ＞0，∴
b 2
1－2b ＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－2
2，故答案为B.
[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系 1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3
D.5π6
解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33
，所以α＝5π
6
.
2．三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )
A ．k ∈R
B ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0
C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10
D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1
解析：选C 由l 1∥l 3得k ＝5；由l 2∥l 3得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0得x ＝1，
y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10.故若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－
10.故选C.
3．(2018·山东省实验中学月考)设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C 的位置关系是________．
解析：由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin A
a
，bx －sin B ·y ＋sin C
＝0的斜率k 2＝
b
sin B
，故k 1k 2＝－
sin A a ·b
sin B
＝－1，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y ＋sin C ＝0垂直．
答案：垂直
4．若直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________________．
解析：设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)， 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2
k
<3，
解得k <－1或k >1
2
.
故其斜率的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞
对点练(二) 直线的方程
1．两直线x m －y
n ＝a 与x n －y m
＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )
解析：选B 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝m n
x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号，故选B.
2．过点(2,1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π
4
的直线方程是( )
A ．x ＝2
B ．y ＝1
C ．x ＝1
D ．y ＝2
解析：选A ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3
4π.依题意，所求直线的倾斜
角为3π4－π4＝π
2
，∴其方程为x ＝2.
3．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )
A ．y －1＝3(x －3)
B ．y －1＝－3(x －3)
C ．y －3＝3(x －1)
D ．y －3＝－3(x －1)
解析：选D 设点B 的坐标为(a,0)(a >0)， 由OA ＝AB ，得12
＋32
＝(1－a )2
＋(3－0)2
，则a ＝2. ∴点B (2,0)．易知k AB ＝－3，
由两点式，得AB 的方程为y －3＝－3(x －1)．
4．(2018·北京西城区月考)已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________________．
解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －
1)，即x ＋2y －3＝0.
答案：x ＋2y －3＝0
5．已知直线l 过点P (2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b .则直线l 的方程为__________________．
解析：①若a ＝3b ＝0，则直线过原点(0,0)， 此时直线斜率k ＝－1
2，直线方程为x ＋2y ＝0.
②若a ＝3b ≠0，设直线方程为x a ＋y b ＝1，即x 3b ＋y
b ＝1.
因为点P (2，－1)在直线上，所以b ＝－1
3.
从而直线方程为－x －3y ＝1，即x ＋3y ＋1＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0. 答案：x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0
对点练(三) 直线的交点、距离与对称问题
1．若点P (a ，b )与Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则直线l 的倾斜角α为( ) A ．135°
B ．45°
C ．30°
D ．60°
解析：选B 由题意知，PQ ⊥l ，∵k PQ ＝a ＋1－b
b －1－a
＝－1，∴k l ＝1，即tan α＝1，∴α＝
45°.故选B.
2．已知点A (1，－2)，B (m,2)且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )
A ．－2
B ．－7
C ．3
D ．1
解析：选C 因为线段AB 的中点⎝
⎛⎭
⎪
⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入解得m ＝3.
3．P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( ) A ．(1,2)
B ．(2,1)
C ．(1,2)或(2，－1)
D ．(2,1)或(－1,2)
解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|
12＋－2
＝2，解得x ＝1或x ＝2，故P (1,2)或(2，－1)．
4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)
D ．(4，－2)
解析：选B 直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2恒过定点(0,2)．
5．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2
a
的值为________．
解析：由题意得，63＝a －2≠c
－1，∴a ＝－4，c ≠－2.
则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c
2
＝0.
∴21313
＝
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
c
2＋113，∴c ＋2＝±4， ∴
c ＋2
a
＝±1. 答案：±1
6.如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一
束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落
到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．
解析：从特殊位置考虑．如图，
∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)， ∴kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为
E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，
此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD >kA 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．
答案：(4，＋∞)
7．过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程为_________________．
解析：由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －2y ＋3＝0，
2x ＋3y －8＝0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝2，∴l 1与l 2交点为(1,2)，
设所求直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到直线的距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2
，解得k ＝0或k ＝4
3， ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. 答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝0
[大题综合练——迁移贯通]
1．已知直线l 1：x ＋a 2
y ＋1＝0和直线l 2：(a 2
＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R)． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．
解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2
＋1)a 2
＝0，
即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝
⎛⎭⎪⎫a 2＋122＋14，因为a 2
≥0，所以b ≤0.
又因为a 2
＋1≠3，所以b ≠－6.
故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]． (2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2
＋1)－a 2
b ＝0，
显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a
，|ab |＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |
的最小值为2.
2．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．
解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨
⎪⎧
2x ＋y ＋1＝0，
x ＋y －1＝0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2，
y ＝3，
所以直线l 恒过定点(－2,3)． (2)由(1)知直线l 恒过定点A (－2,3)，
当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大． 又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，
所以直线l 的斜率k l ＝－5.
故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)， 即5x ＋y ＋7＝0.
3．过点P (4,1)作直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解：设直线l ：x a ＋y b
＝1(a ＞0，b ＞0)， 因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1
b
＝1.
(1)因为4a ＋1
b
＝1≥2
4a ·1b
＝4ab
，
所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立， 所以当a ＝8，b ＝2时，S △AOB ＝1
2ab 最小，
此时直线l 的方程为x 8＋y
2＝1，即x ＋4y －8＝0.
(2)因为4a ＋1
b
＝1，a ＞0，b ＞0，
所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a
≥5＋2
a b ·4b
a
＝9， 当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，
所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y
3
＝1，即x ＋2y －6＝0.
第二节 圆的方程
本节主要包括2个知识点： 1.圆的方程； 2.与圆的方程有关的综合问题.
突破点(一) 圆的方程
[基本知识]
1．圆的定义及方程
点M (x 0，y 0)，圆的标准方程(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
.
[基本能力]
1．判断题
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )
(2)方程(x ＋a )2
＋(y ＋b )2
＝t 2
(t ∈R)表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( )
(3)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2
＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－a 2，－a ，
半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( )
(4)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )
(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 2
0＋y 2
0＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2．填空题
(1)圆x 2
＋y 2
－4x ＋8y －5＝0的圆心为________，半径为________． 解析：圆心坐标为(2，－4)，
半径r ＝
1
2
－
2
＋82
－
－＝5.
答案：(2，－4) 5
(2)圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的标准方程为________________．
解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，
则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋42＝3，故圆心C (0,3)．
半径r ＝12|AB |＝1
2
[1－－
2
＋－
2
＝ 2.
∴圆C 的标准方程为x 2
＋(y －3)2＝2. 答案：x 2
＋(y －3)2
＝2
(3)若点(1,1)在圆(x －a )2
＋(y ＋a )2
＝4的内部，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2
＋(y ＋a )2
＝4的内部，所以(1－a )2
＋(1＋a )2
＜4.即a 2
＜1，故－1＜a ＜1.
答案：(－1,1)
[全析考法]
1．求圆的方程的两种方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
[例1] (1)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________．
(2)已知圆心在直线y ＝－4x 上，且圆与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的方程是________________．
(3)若不同的四点A (5,0)，B (－1,0)，C (－3,3)，D (a,3)共圆，则a 的值为________． [解析] (1)依题意，设圆心坐标为C (a,0)，则|CA |＝|CB |， 即
a －
2
＋－
2
＝a －
2
＋－
2
，则a ＝2.
故圆心为(2,0)，半径为10， 所以圆C 的方程为(x －2)2
＋y 2
＝10.
(2)过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．
所以半径r ＝
－
2＋－2＋
2
＝22，
故所求圆的方程为(x －1)2
＋(y ＋4)2
＝8.
(3)法一：设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 分别代入A ，B ，C 三点坐标，得
⎩⎪⎨⎪
⎧
25＋5D ＋F ＝0，
1－D ＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
D ＝－4，
E ＝－253
，
F ＝－5.
所以A ，B ，C 三点确定的圆的方程为x 2＋y 2
－4x －253y －5＝0.
因为D (a,3)也在此圆上，所以a 2
＋9－4a －25－5＝0. 所以a ＝7或a ＝－3(舍去)．即a 的值为7.
法二：由题易知AB ∥CD ，所以圆的一条对称轴既是AB 的垂直平分线又是CD 的垂直平分线，而AB 的垂直平分线方程为x ＝2，故－3＋a
2
＝2，解得a ＝7.
[答案] (1)(x －2)2
＋y 2
＝10 (2)(x －1)2
＋(y ＋4)2
＝8 (3)7 [方法技巧]
1．确定圆的方程必须有三个独立条件
不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a ，b ，r 或D ，E ，F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a ，b ，r (或D ，E ，F )的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程．
2．几何法在圆中的应用
在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．
1．圆的轴对称性
圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称
(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称
(1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线． [例2] (2018·河南六市模拟)圆(x －2)2
＋y 2
＝4关于直线y ＝3
3
x 对称的圆的方程是( )
A ．(x －3)2
＋(y －1)2
＝4 B ．(x －2)2
＋(y －2)2
＝4 C ．x 2
＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2
＋(y －3)2
＝4
[解析] 设圆(x －2)2
＋y 2
＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝
3
3
x 对称的点的坐标为(a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧
b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，
解得⎩⎨
⎧
a ＝1，
b ＝3，
∴圆(x －2)2
＋y 2
＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝3
3
x 对称的点的坐标为(1，3)， 从而所求圆的方程为(x －1)2
＋(y －3)2
＝4. [答案] D
[全练题点]
1.[考点一]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2
＋(y －1)2
＝1 B ．(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝1 C ．(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝2 D ．(x －1)2
＋(y －1)2
＝2
解析：选D 圆的半径r ＝－
2
＋－
2
＝2，圆心坐标为(1,1)，所以圆的
标准方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝2.
2.[考点一](2018·福建厦门质检)圆C 与x 轴相切于T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，
B ，且|AB |＝2，则圆
C 的标准方程为( )
A ．(x －1)2
＋(y －2)2
＝2 B ．(x －1)2＋(y －2)2
＝2 C ．(x ＋1)2
＋(y ＋2)2
＝4
D ．(x －1)2
＋(y －2)2
＝4
解析：选A 由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C 的标准方程为(x －1)2
＋(y －2)2
＝2，故选A.
3.[考点二]已知圆x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则
ab 的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，14
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，0
D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－14，＋∞ 解析：选A 将圆的方程化成标准形式得(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝4，若圆关于已知直线对称，
则圆心(－1,2)在直线上，代入整理得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤1
4
，故选A.
4.[考点二]圆C 与圆(x －1)2
＋y 2
＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为________________．
解析：圆心(1,0)关于直线y ＝－x 对称的点为(0，－1)，所以圆C 的方程为x 2
＋(y ＋1)2
＝1.
答案：x 2
＋(y ＋1)2
＝1
5.[考点二]若圆(x ＋1)2
＋(y －3)2
＝9上的相异两点P ，Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为________．
解析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx ＋2y －4＝0过圆心，则k ×(－1)＋2×3－4＝0，解得k ＝2.
答案：2
6.[考点一、二](2018·湖北襄阳四中模拟)已知点C (－1,0)，以C 为圆心的圆与直线x －3y －3＝0相切．
(1)求圆C 的方程；
(2)如果圆C 上存在两点关于直线mx ＋y ＋1＝0对称，求m 的值． 解：(1)因为圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离即为半径长．
由题意，得圆心到直线的距离d ＝|－1－3|
1＋3＝2，
故所求圆的方程为(x ＋1)2
＋y 2
＝4.
(2)因为圆C 上存在两点关于直线对称，所以直线过圆心C ，所以－m ＋1＝0，解得m ＝1.
突破点(二) 与圆的方程有关的综合问题 (对应学生用书P148)
圆的方程是高中数学的一个重要知识点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题.解决此类问题的关键是数形结合思想的运用.
[全析考法]
与圆有关的轨迹问题
[例1] 已知圆x 2
＋y 2
＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．
[解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2
＋y 2
＝4上，所以(2x －2)2
＋(2y )2
＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2
＋y 2
＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )． 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.
设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2
＝|ON |2
＋|PN |2
＝|ON |2
＋|BN |2
， 所以x 2
＋y 2
＋(x －1)2
＋(y －1)2
＝4.
故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2
＋y 2
－x －y －1＝0.
[方法技巧] 求与圆有关的轨迹问题的四种方法
与圆有关的最值问题
[例2] 2
2
(1)y x
的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2
＋y 2
的最大值和最小值．
[解] 原方程可化为(x －2)2
＋y 2
＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)y x
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x
＝k ，即y ＝kx .
当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|
k 2＋1＝ 3，解得k ＝± 3.
所以y x
的最大值为3，最小值为－ 3.
(2)y －x 可看成是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距．
当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |
2＝3，
解得b ＝－2± 6.
所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (3)x 2
＋y 2
表示圆上的一点与原点距离的平方．
由平面几何知识知，x 2
＋y 2
在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最小值，最大值．
因为圆心到原点的距离为
－
2
＋－
2
＝2，
所以x 2
＋y 2
的最大值是(2＋3)2
＝7＋43， 最小值是(2－3)2
＝7－4 3.
[方法技巧] 与圆有关最值问题的求解策略
处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：
[全练题点]。