高二数学最新教案-北京四中数学讲座讲义 精品

构造的例子
历史上构造思想解题的著名事件
• 判断： 267
67
1
是合数还是质数？
2 1 147573952589676412927 193707721 761838257287
• 1903.美国纽约.科尔（数学家）
图形构造——无字证明的美
• 印度数学家婆什迦罗证明勾股定理
瞧！
b c a
图形构造——无字证明的美
• 1+2+3+……+n的和
图形构造——无字证明的美
• 证明均值定理
ab ab (a 0, b 0) 2
a
b
图形构造——无字证明的美
• 已知图中的ABCD，DCEF，FEGH都是 。 正方形，求证∠1+∠2+∠3=90
1 2 3 1 2 3
3
1 2
高中数学的转化和构造思想
数学思想方法 与 高中数学学习
什么是数学思想？
• 数学思想应当是人们在建立数学理论或 解决数学问题时用到的一些思想。 • 数学思想从来就不是数学家的专利，也 不是只有在数学领域中才能发挥它的作 用。数学思想与各个学科思想互相渗透。
三个层次的数学思想
• 对数学本质的认识方面的思想 数学是什么？ • 关于数学的地位、作用和发展方面的思 想 数学向何处去？ • 解决具体的数学问题的思想 数学怎样论证？
高中数学的转化和构造思想
• 求和
2
1 2 3
n
1 2 3
2 2 3 3 3
n
2 3
n(n 1) 2
1 2 3 n 4 4 4 4 1 2 3 n 5 5 5 5 1 2 3 n
无穷多个博士的趣题
• A.Coble是上个世纪美国的院士，做代数几何， 一度很有影响。据称，他有无穷多个博士论文 的题目：当你证明了一个2维的情况的时候， 他叫下一个博士生去证明3维的情况，然后叫 下下个博士生去做4维的。后来有个叫Gerald Huff的博士，不但做了5维的情况，而且对一 般的n也解决了。这就让Coble的未来的无穷个 博士无所事事了。Coble很怒。
数学思想运行的轨迹——数学就是这样论证的
历史的启示
• 数学家锲而不舍、不断创新的思想品质 值得我们学习 • 数学家优秀的思维品质，包括敏锐的直 觉、合理的猜想、正确的解决、恰当的 推广 • 解决这个问题的思想，主要是构造和转 化——这也是数学思想的本质
转化是思维的进 程，构造是实现的 手段，不断地转化 和构造，就成为解 决问题的主线。
高中数学的转化和构造思想
（1）设f(x)为定义在（-4，4）上的减函数，若 f(a2-4)<f(a+2)，求a的取值范围. （2）设f(x)为定义在（-4，4）上的减函数，且 f(x)为奇函数，若f(a2-4)+f(-a-2)<0，求a的取 值范围. （3）定义在(0,+∞)上的函数f(x)是单调减函数， 对任意x1，x2∈（0，+∞）恒有 f(x1x2)=f(x1)+f(x2)且f(2)=-1， 求不等式f(-x)+f(3-x)≥-2的解集。
• 例：求解关于x的不等式
ax (a 8) x 1 0
2
高中数学的转化和构造思想
5x 3 • 例：求函数 y 的值域。 4x 6
x 1 • 例：求函数 y 2 的值域。 x x 1
• 例：求函数 y x 1 2x
的值域。
高中数学的转化和构造思想
• 直觉主义学派：数学是建立在可信性和 构造性程序上的科学。 • 形式主义学派：数学是一种纯粹的符号 游戏，对这种游戏的唯一要求是它不导 致矛盾。
数学是什么？ ——科学家从数学作用来回答
• 皮尔斯：数学是得出必要结论的科学。 • 美国国家研究委员会的专家们：数学科学是集 严密性、逻辑性、精确性和创造力与想象力于 一身的一门学问。这个领域已被称为模型的科 学。 • 庞家莱：数学是给予不同东西以相同名称的技 术。
高中数学的转化和构造思想
• 已知{an}是等差数列，公差为d，求数列 d {bn}的前n项和，其中 bn an 1 an
• 已知{an}是等差数列，公差为d，求数列 d {cn}的前n项和，其中
cn
an1 an
转化的例子
• 解四次方程： x 4 6 x 2 5 0 变量替换思想 • 证明：若两个角的两边互相垂直，则 这两个角相等或互补。 分类讨论思想
转化的例子
• 一元三次方程的求解
构造的例子
• 证明：等腰梯形的底角相等。
A D
B
E
F
C
• 组合数学中的拉姆赛数问题：平面上有n 个点，将它们两两之间连一条线，称为 完全n边形。现在将一个完全n边形的所 有线都染成黑、红两种颜色，如果能保 证不管怎样染色，一定会出现一个完全 由黑色线段组成的完全p边形，或者出现 一个完全由红色线段组成的完全q边形。 满足这一条件的最小正整数n称为拉姆赛 数，记作R(p,q)=n。现在可以证明 R(3,3)=6
数学怎样论证 ——数学解题思想
• 哥尼斯堡七桥问题
A C D
B
七桥问题的数学化
• 欧拉的解决办法
A
C
D
B
图论的建立
• 点：某一类特定事物的某些元素 • 线：元素之间的关系 • 图：设V是一个有限集合，它的元素称 为点；E是V的点所组成的无序对所成的 集合的一个子集，它的元素称为线，则 V和E一起称为一个图
高中数学的转化和构造思想
• 求和
2ห้องสมุดไป่ตู้
1 2 3
1 2 3
2 2 3 3 3
1 2 3 4 4 4 4 1 2 3 n 5 5 5 5 1 2 3 n
n(n 1) n 2 2 n n(n 1)(2n 1) 6 2 2 n (n 1) 3 n 4
综合各种观点，我们能否认为
数学是关于秩序的科学
• 数学是通过概念和符号用逻辑推理形式 来表述秩序的科学。 • 数学的一切进展都不同程度地根植于实 际的需要。 • 数学一旦在实际需要的背景下被推动了， 它自身就会获得一种巨大的能量自我推 进，很快超越直接应用的界限。
数学向何处去
• 纯粹数学与应用数学之间的关系 纯粹数学和应用数学好像人的两只 眼睛，人们可以闭上一只眼睛去搜寻各 自的目标，有时两只眼睛同时睁开可以 看宽一些，有时闭上一只眼睛（例如射 击）却可能看得更准。
• 首先，欧拉把一个实际问题通过抽象转化为一 个数学问题。 • 欧拉构造图形，通过映射（陆地映射为点、桥 映射为线）实现了转化。 • 问题转化为解决一笔画问题。欧拉利用逻辑分 类方法把图中的点分为奇点和偶点，问题再一 次转化为讨论奇点的个数问题。 • 由于奇点的个数非常明显，问题得以解决。但 数学家并不就此满足，再一次把这个具体的图 抽象化，转化为二元关系。 • 再构造两个抽象的集合和它们之间的关系，给 出图的一般定义，建立起“图论”这一 新的 数学分支。
f(x)与g(x)是定义在R上的奇函数，令 F(x)=f(x)+g(x)+3，已知F(x)在区间 (0,+∞)有最大值5，则F(x)在区间(-∞,0) 上有最____值为_____________
高中数学的转化和构造思想
• 根据数列的前8项，写出数列的一个通项公式： 1，1，2，2，3，3，4，4，……
数学是什么 ——众说纷纭的答案
• 罗素：数学是这样一门学科，在其中我 们永远不会知道我们所讲的是什么，也 不会知道我们所说的是不是真的。 • 柏拉图：数学是现实的核心。
• 恩格斯：数学是研究现实世界中数量关 系和空间形式的科学。
数学是什么？ ——三大流派的回答
• 逻辑主义学派：数学是由逻辑派生出来 的，数学不过是逻辑的一个分支。