2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数y =√x +1在x ＝3处的导数是（ ） A ．1
4
B ．1
2
C ．2
D ．4
2．设数列{a n }满足a 1=1，a n a n+1=(−1)n (n +1)2，则a 3＝（ ） A ．4 B ．﹣4
C ．9
4
D ．−9
4
3．若方程
x 2
2−m
+
y 23+m =1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（ ） A ．−3＜m ＜−12
B ．−12
＜m ＜2
C ．m ＜﹣3
D ．m ＞2
4．2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）
参考数据：1.0648≈1.64，1.0649≈1.75，1.06410≈1.86，1.06411≈1.98 A ．17.9万亿
B ．19.1万亿
C ．20.3万亿
D ．21.6万亿
5．函数y ＝e x ﹣2x 图象与直线y ＝a 恰有两个不同的交点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2﹣2ln 2） B ．（2﹣2ln 2，+∞） C ．[2﹣2ln 2，+∞）
D ．（2﹣ln 2，+∞）
6．已知a =1.01，b =e 0.01，c =√1.02，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．b ＞a ＞c
D ．b ＞c ＞a
7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2
+
y 2a 2−16
=1的左、右焦点，O 为坐标原点，M 是椭圆C 上的点（不在坐标
轴上），∠F 1MF 2的平分线交OF 2于N ，且ON ＝2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，1
2
)
B ．(12
，1)
C ．(0，13
)
D ．(13
，1)
8．已知无穷正整数数列{a n }满足a n+2=a n +2023
a n+1+1
(n ∈N ∗)，则a 1的可能值有（ ）个．
A ．2
B ．4
C ．6
D ．9
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．定义在R 上的可导函数y ＝f （x ）的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A ．f （1）＜f （6）
B ．函数y ＝f （x ）的最大值为f （5）
C ．1是函数y ＝f （x ）的极小值点
D ．3是函数y ＝f （x ）的极小值点
10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ）
A ．若{a n }为递减等比数列，则{a n }的公比q ∈（0，1）
B ．“{a n }为等差数列”是“{S
n n
}为等差数列”的充要条件
C ．若{S n }为等比数列，则{a n }可能为等比数列
D ．若对于任意的p ，q ∈N *，数列{a n }满足a p +q ＝a p a q ，且各项均不为0，则{a n }为等比数列
11．已知数列{a n }满足a n+1=a n 2+2a n ，a 1=2，设b n ＝log 3（1+a n ），记{b n }的前n 项和为S n ，{1S n
}的前
n 项和为T n ，则（ ） A ．{b n }为等比数列 B ．{a n +1}为等比数列
C ．S n ＝b n +1﹣1
D ．T n ＜2
12．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：
x 24
−
y 25
=1的左、右焦点，点A 为双曲线右支上任意一点，点M （2，
3），下列结论中正确的是（ ） A ．|AF 1|﹣|AF 2|＝4
B ．|AM |+|AF 1|的最小值为4+√10
C ．过M 与双曲线有一个公共点直线有3条
D ．若∠F 1AF 2＝90°，则△F 1AF 2的面积为5 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知数列{a n }为等比数列，a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝12，则a 5+a 6＝ ． 14．设函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处可导且f ′（x 0）＝2，则lim
ℎ→0
f(x 0+2ℎ)−f(x 0)
ℎ= ．
15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 11＞0，S 12＜0，数列{S
n a n
}(1≤n ≤11)中最大的项为第 项． 16．若函数f （x ）＝（x ﹣m ）2+lnx 在区间（1，2）上有单调递增区间，则实数m 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知等差数列﹣2，1，4，7，10，…，现在其每相邻两项之间插入一个数，使得插入的所有
数成为一个新的等差数列{a n }． （1）求新数列{a n }的通项公式；
（2）16是新数列{a n }中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由． 18．（12分）已知函数f(x)=1
3x 3+ax 2+b ，a ，b ∈R ，f(x)在x ＝2处取到极小值2
3
．
（1）求a ，b 的值；
（2）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程．
19．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上的点P （1，m ）到其焦点F 的距离为2． （1）求C 的方程及焦点F 的坐标．
（2）过点（2，0）的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且△OAB 的面积为8，求直线l 的方程． 20．（12分）已知等差数列{a n }和正项等比数列{b n }满足：a 1＝b 1＝3，a 10﹣12＝b 2，3a 4＝b 3． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；
（2）记c n ＝a n •b n ，数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ． 21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx ﹣ax +1，a ∈R ． （1）当a ＝1时，求函数f （x ）的最小值；
（2）若f （x ）≥﹣a 对任意的x ＞0恒成立，求整数a 的最大值．
22．（12分）已知双曲线Γ：x 2a 2−y 2b
2=1(a ＞0，b ＞0)的左右顶点分别为点A ，B ，其中|AB |＝2，且双曲线
过点C （2，3）．
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）设过点P （1，1）的直线分别交Γ的左、右支于D ，E 两点，过点E 作垂直于x 轴的直线l ，交线段BC 于点F ，点G 满足EF →
=FG →
．证明：直线DG 过定点，并求出该定点．
2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数y =√x +1在x ＝3处的导数是（ ） A ．1
4
B ．1
2
C ．2
D ．4
解：由y =√x +1，得y ′=12
(x +1)−1
2⋅(x +1)′=1
2√x+1
， 所以函数y =√x +1在x ＝3处的导数是2√3+1
=14
．
故选：A ．
2．设数列{a n }满足a 1=1，a n a n+1=(−1)n (n +1)2，则a 3＝（ ） A ．4
B ．﹣4
C ．9
4
D ．−94
解：由a n ⋅a n+1=(−1)n ⋅(n +1)2，a 1=1，得a 1⋅a 2=(−1)⋅(1+1)2=−4，则a 2＝﹣4， 又a 2a 3=(−1)2⋅(2+1)2=9，得a 3=−9
4． 故选：D ． 3．若方程
x 2
2−m
+
y 23+m =1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（ ） A ．−3＜m ＜−1
2
B ．−1
2＜m ＜2
C ．m ＜﹣3
D ．m ＞2
解：由题意可得：0＜3+m ＜2﹣m ，解得−3＜m ＜−1
2， ∴m 的取值范围为(−3，−12
)． 故选：A ．
4．2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）
参考数据：1.0648≈1.64，1.0649≈1.75，1.06410≈1.86，1.06411≈1.98 A ．17.9万亿
B ．19.1万亿
C ．20.3万亿
D ．21.6万亿
解：依题意可得：从2013年到2022年的每年进出口累计总额依次排成一列构成等比数列{a n }，
其中a1＝10.9，公比q＝1+6.4%＝1.064，
所以2022年进出口累计总额为a10=a1q9=10.9×1.0649≈10.9×1.75≈19.1（万亿）．故选：B．
5．函数y＝e x﹣2x图象与直线y＝a恰有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，2﹣2ln2）B．（2﹣2ln2，+∞）
C．[2﹣2ln2，+∞）D．（2﹣ln2，+∞）
解：函数y＝e x﹣2x的定义域为R，求导得y′＝e x﹣2，
当x＜ln2时，y′＜0，函数y＝e x﹣2x递减，函数单调减区间为（﹣∞，ln2），
当x＞ln2时，y′＞0，函数y＝e x﹣2x递增，函数单调增区间为（ln2，+∞），
当x＝ln2时，函数y＝e x﹣2x取得最小值2﹣2ln2，如图，
所以函数y＝e x﹣2x图象与直线y＝a恰有两个不同的交点时，a＞2﹣2ln2．
故选：B．
6．已知a=1.01，b=e0.01，c=√1.02，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
解：令f（x）＝e x﹣（x+1），则f′（x）＝e x﹣1，
可知x＜0时f′（x）＜0，x＞0时f′（x）＞0，
故f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
所以f（x）≥f（0）＝0，
所以e x≥x+1，x＝0时等号成立，
所以b＝e0.01＞0.01+1＝1.01＝a，故b＞a，
又√x≤1+x
2
，当x＝1时等号成立，
则c=√1.02＜1+1.02
2
=1.01=a，故c＜a，
综上，b＞a＞c．故选：C．
7．已知F 1，F 2是椭圆C ：
x 2
a 2
+
y 2a 2−16
=1的左、右焦点，O 为坐标原点，M 是椭圆C 上的点（不在坐标
轴上），∠F 1MF 2的平分线交OF 2于N ，且ON ＝2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，1
2
)
B ．(12
，1)
C ．(0，13
)
D ．(13
，1)
解：设椭圆的焦距为2c （c ＞0），则c 2＝a 2﹣（a 2﹣16）＝16，即c ＝4， 因为MN 平分∠F 1MF 2，且ON ＝2， 所以
|MF 1||MF 2|
=
|NF 1||NF 2|
=
62
=3，
由椭圆的定义知，|MF 1|+|MF 2|＝2a ， 所以|MF 1|=32
a ，|MF 2|=a 2
， 因为a ﹣c ＜|MF 1|＜a +c ，
所以a ﹣c ＜3
2
a ＜a +c ，解得a ＜2c ，即c
a
＞1
2
，
所以离心率e =c
a
∈（1
2
，1）．
故选：B ．
8．已知无穷正整数数列{a n }满足a n+2=a n +2023
a n+1+1
(n ∈N ∗
)，则a 1的可能值有（ ）个．
A ．2
B ．4
C ．6
D ．9
解：由a n+2=a n
+2023
a n+1+1
，得a n +2+a n +2•a n +1＝a n +2023，当n ≥2时，a n +1+a n +1•a n ＝a n ﹣1+2023，
两式相减得a n +2﹣a n +1+a n +1（a n +2﹣a n ）＝a n ﹣a n ﹣1，即a n +2﹣a n +a n +1（a n +2﹣a n ）＝a n +1﹣a n ﹣1， 于是（a n +2﹣a n ）（a n +1+1）＝a n +1﹣a n ﹣1，依题意a n +1+1＞1， 若a n +2﹣a n ≠0，有a n+2−a n =a n+1−a n−1a n+1+1，则0＜|a n+2−a n |=|a n+1−a n−1
a n+1+1
|＜|a n+1−a n−1|，即{|a n +2﹣a n |}是递减数列，
由于{a n }是无穷正整数数列，则必存在n ≥N *，使得|a n +2﹣a n |＝0与|a n +2﹣a n |＞0矛盾， 因此a n +2﹣a n ＝0，即a n +2＝a n ，于是数列{a n }是周期为2的周期数列，
当n ＝1时，由a 3＝a 1，得a 1=
a 1+2023
a 2+1
，即a 1a 2＝2023＝1×2023＝7×17×17， 从而a 1∈{1，2023，7，17，119，289}，∴a 1的可能值有6个． 故选：C ．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．定义在R 上的可导函数y ＝f （x ）的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A ．f （1）＜f （6）
B ．函数y ＝f （x ）的最大值为f （5）
C ．1是函数y ＝f （x ）的极小值点
D ．3是函数y ＝f （x ）的极小值点
解：易知函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，6）上单调递增，在（6，+∞）上单调递减， 所以f （1）＜f （6），故选项A 正确； 因为f （5）＜f （6），故选项B 错误；
因为y ＝f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，6）上单调递增， 所以1是函数y ＝f （x ）的极小值点，故选项C 正确； 当x ＝3时，f ′（x ）的符号未发生改变，
所以3不是函数y ＝f （x ）的极小值点，故选项D 错误． 故选：AC ．
10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ）
A ．若{a n }为递减等比数列，则{a n }的公比q ∈（0，1）
B ．“{a n }为等差数列”是“{S
n
n }为等差数列”的充要条件
C ．若{S n }为等比数列，则{a n }可能为等比数列
D ．若对于任意的p ，q ∈N *，数列{a n }满足a p +q ＝a p a q ，且各项均不为0，则{a n }为等比数列 解：根据题意，依次分析选项：
对于A ，取a n =−2n−1，则{a n }为递减等比数列，公比q ＝2∉（0，1），故A 错误； 对于B ，若{a n }为等差数列，则S n =na 1+n(n−1)
2d ，所以S n n =a 1+(n −1)d 2
， 故
S n+1n+1
−
S n n
=(n +1−1)
d 2
−(n −1)
d 2
=d 2
（常数），故{S
n n }为等差数列，
若{S n n
}为等差数列，则
S n n
=a 1+(n −1)d′，即S n ＝na 1+n （n ﹣1）d ′，
所以S n +1＝（n +1）a 1+n （n +1）d ′，两式相减得a n +1＝S n +1﹣S n ＝a 1+2nd ′， 所以a n ＝a 1+2（n ﹣1）d ′，故a n +1﹣a n ＝2d ′（常数），所以{a n }为等差数列，
所以“{a n }为等差数列”是“{S
n n }为等差数列”的充要条件，故B 正确；
对于C ，若S n ＝1，满足{S n }为等比数列，此时a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝0， 所以a n ={1，n =10，n ≥2
，不是等比数列，故C 错误；
对于D ，任意的p ，q ∈N *，满足a p +q ＝a p a q ，不妨取p ＝1，q ＝n ，则 a n +1＝a 1a n ，因为各项均不为0，所以a n+1a n
=a 1（不为0的常数），
故{a n }为等比数列，故D 正确． 故选：BD ．
11．已知数列{a n }满足a n+1=a n 2
+2a n ，a 1=2，设b n ＝log 3（1+a n ），记{b n }的前n 项和为S n ，{1
S n
}的前
n 项和为T n ，则（ ） A ．{b n }为等比数列 B ．{a n +1}为等比数列
C ．S n ＝b n +1﹣1
D ．T n ＜2
解：由a n+1=a n 2
+2a n ，a 1=2，知a n ＞0，且a n+1+1=(a n +1)2，
两边取对数得log 3（a n +1+1）＝2log 3（a n +1）， 即b n +1＝2b n ，
而b 1＝log 3（1+a 1）＝1， 所以b n ＞0， 所以
b n+1b n
=2，即数列{b n }为等比数列，故选项A 正确；
由a n+1+1=(a n +1)2，知
a n+1+1a n +1
=a n +1，不是常数，即选项B 错误；
因为{b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以b n =1×2n−1
=2
n−1
，S n =1−2
n
1−2=2n −1=b n+1−1，即选项C 正确；
因为
1S n
=
12n −1＜
1+12n −1+1
=(1
2)
n−1
(n ≥2)，
所以T n ＜(1
2)0+(1
2)1+⋯+(1
2)n−1=1−(12)n 1−12
=2−2(1
2)n ＜2（n ≥2），
当n ＝1时，T 1=
1
S 1
=1＜2成立， 综上，T n ＜2，即选项D 正确． 故选：ACD ．
12．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：
x 24
−
y 25
=1的左、右焦点，点A 为双曲线右支上任意一点，点M （2，
3），下列结论中正确的是（ ） A ．|AF 1|﹣|AF 2|＝4
B ．|AM |+|AF 1|的最小值为4+√10
C ．过M 与双曲线有一个公共点直线有3条
D ．若∠F 1AF 2＝90°，则△F 1AF 2的面积为5 解：如图，
由双曲线方程
x 24
−
y 25
=1，知2a ＝4，所以由双曲线定义知|AF 1|﹣|AF 2|＝2a ＝4，故A 正确；
因为c 2＝a 2+b 2＝9，所以F 2（3，0），|MF 2|=√(2−3)2+(3−0)2=√10， 由|AM|+|AF 1|=|AM|+|AF 2|+4≥|MF 2|+4=√10+4，故B 正确；
过M 与两渐近线平行的直线仅有1个交点，过M 与左支相切与右支无交点的直线有1条， 过M 与右支相切且与左支无交点的直线有1条，故共有4条，故C 错误；
若∠F 1AF 2＝90°，则|AF 1|2+|AF 2|2＝|F 1F 2|2，即（|AF 1|﹣|AF 2|）2+2|AF 1|•|AF 2|＝|F 1F 2|2， 所以4a 2+2|AF 1|⋅|AF 2|=4c 2，解得|AF 1|⋅|AF 2|=1
2
(36−16)=10， 所以S △F 1AF 2=1
2|AF 1|•|AF 2|=1
2×10＝5，故D 正确． 故选：ABD ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知数列{a n }为等比数列，a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝12，则a 5+a 6＝ 48 ． 解：根据题意，设数列{a n }的公比为q ，
由于a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝12，则有
a 3+a 4a 1+a 2
=q 2=4，
所以a 5+a 6=q 2(a 3+a 4)=4×12=48． 故答案为：48．
14．设函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处可导且f ′（x 0）＝2，则lim ℎ→0
f(x 0+2ℎ)−f(x 0)
ℎ= 4 ． 解：由lim
ℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ=2lim ℎ→0
f(x 0+2ℎ)−f(x 0)
2ℎ=2f′(x 0)=4．
故答案为：4．
15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 11＞0，S 12＜0，数列{S
n a n
}(1≤n ≤11)中最大的项为第 6 项．
解：根据题意，等差数列{a n }中，S 11＞0，S 12＜0， 则有S 11=
11(a 1+a 11)2=11a 6＞0，S 12=12(a 1+a 12)
2
=6(a 6+a 7)＜0，
显然a 7＜﹣a 6＜0，且|a 7|＞a 6，等差数列{a n }的公差d ＝a 7﹣a 6＜﹣2a 6＜0， 即数列{a n }是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数， 数列{S n }的最大项为S 6，a 6是数列{|a n |}中的最小项，且a 6＞0， 所以数列{S
n a n
}(1≤n ≤11)中最大的项为
S 6
a 6
，是第6项．
故答案为：6．
16．若函数f （x ）＝（x ﹣m ）2+lnx 在区间（1，2）上有单调递增区间，则实数m 的取值范围是 (−∞，
9
4
) ． 解：已知f （x ）＝（x ﹣m ）2+lnx ，函数定义域为（0，+∞）， 可得f ′（x ）＝2（x ﹣m ）+1
x ， 因为f ′（x ）＞0在（1，2）上有解， 即m ＜x +1
2x 在（1，2）上有解， 由对勾函数的性质可知函数y =x +
1
2x
在（1，2）上单调递增， 所以y =x +1
2x 在x ＝2时取得最大值， 此时m ＜2+1
4=9
4，
则实数m 的取值范围为(−∞，9
4)．
故答案为：(−∞，94
)．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知等差数列﹣2，1，4，7，10，…，现在其每相邻两项之间插入一个数，使得插入的所有数成为一个新的等差数列{a n }．
（1）求新数列{a n }的通项公式；
（2）16是新数列{a n }中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由．
解：（1）设原等差数列为{b n }，易知b 1＝﹣2，b 2＝1，则d ＝b 2﹣b 1＝3，
则b n ＝b 1+（n ﹣1）•d ＝3n ﹣5，
由题意知：2a n ＝b n +b n +1＝3n ﹣5+3（n +1）﹣5＝6n ﹣7，
则a n =3n −72．
（2）令a n =16⇒3n −72=16⇒n =132∉N ∗，
故16不是新数列{a n }中的项．
18．（12分）已知函数f(x)=13x 3+ax 2+b ，a ，b ∈R ，f(x)在x ＝2处取到极小值23． （1）求a ，b 的值；
（2）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程．
解：（1）已知f （x ）=13
x 3+ax 2+b ，函数定义域为R ，
可得f ′（x ）＝x 2+2ax ，
因为f （x ）在x ＝2处取到极小值23， 所以{f ′(2)=4+4a =0f(2)=83+4a +b =23
， 解得a ＝﹣1，b ＝2，
当a ＝﹣1，b ＝2时，f ′（x ）＝x 2﹣2x ，
当0＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；
当x ＞2时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，
所以函数f （x ）在x ＝2处取得极小值，
则a ＝﹣1，b ＝2满足题意；
（2）由（1）知f(x)=13x 3−x 2+2，
可得f ′（x ）＝x 2﹣2x ，
此时f ′（1）＝﹣1，
又f （1）=43，
则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y −43=−（x ﹣1），
即3x +3y ﹣7＝0．
19．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上的点P （1，m ）到其焦点F 的距离为2．
（1）求C 的方程及焦点F 的坐标．
（2）过点（2，0）的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且△OAB 的面积为8，求直线l 的方程． 解：（1）由抛物线的定义可得：|PF|=x ，+p 2=2=1+p 2，解得P ＝2，
所以抛物线的方程为C ：y 2＝4x ；
（2）由题意可设直线方程为x ＝ty +2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
由{x =ty +2y 2=4x
，得y 2﹣4ty ﹣8＝0， 所以Δ＝16t 2+4×8＞0，y 1+y 2＝4t ，y 1y 2＝﹣8，
因为S △AOB =12×2×|y 1﹣y 2|＝|y 1﹣y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16t 2+32， 所以t 2＝2，得t =±√2，故直线l 的方程为：x =±√2y +2．
20．（12分）已知等差数列{a n }和正项等比数列{b n }满足：a 1＝b 1＝3，a 10﹣12＝b 2，3a 4＝b 3．
（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；
（2）记c n ＝a n •b n ，数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ．
解：（1）设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，
由题意知，{a 10−12=b 23a 4=b 3⇒{a 1+9d −12=b 1⋅q 3(a 1+3d)=b 1⋅q 2⇒{9d −9=3q 3(3+3d)=3⋅q 2
，
消元得q2﹣q﹣6＝0，解得q＝3或q＝﹣2（舍去），
所以d＝2，
故a n=3+2(n−1)=2n+1，b n=3⋅3n−1=3n．
（2）由（1）知，c n=a n⋅b n=(2n+1)⋅3n，
所以S n=(2×1+1)×31+(2×2+1)×32+(2×3+1)×33+⋯+(2n+1)×3n①，
3S n=(2×1+1)×32+(2×2+1)×33+⋯+(2n−1)×3n+(2n+1)×3n+1②，
①﹣②得：−2S n=3×3+2(32+33+⋯+3n)−(2n+1)⋅3n+1=3+2(3+32+⋯+3n)−(2n+
1)⋅3n+1
=3+2×3(1−3n)
1−3
−(2n+1)⋅3n+1=−2n⋅3n+1，
故S n=n⋅3n+1．
21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax+1，a∈R．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥﹣a对任意的x＞0恒成立，求整数a的最大值．解：（1）当a＝1时，f（x）＝xlnx﹣x+1，函数定义域为（0，+∞），
可得f′(x)=lnx+x⋅1
x
−1=lnx，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x＝1时，函数f（x）取得极小值也是最小值，最小值f（1）＝0；（2）若f（x）≥﹣a对任意的x＞0恒成立，
此时lnx−a+1+a
x
≥0，
不妨设g(x)=lnx−a+1+a
x
，函数定义域为（0，+∞），
可得g′(x)=1
x
−
1+a
x2
=
x−(1+a)
x2
，
若1+a≤0，即a≤﹣1时，g′（x）＞0，
所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，无最小值，不符合题意；若1+a＞0，即a＞﹣1时，
当0＜x＜1+a时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＞1+a时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）min＝g（1+a）＝ln（1+a）+1﹣a≥0，
不妨设h （a ）＝ln （1+a ）+1﹣a ，
可得ℎ′(a)=11+a −1=−a 1+a
，函数定义域为（﹣1，+∞）， 当﹣1＜a ＜0时，h ′（a ）＞0，h （a ）单调递增；
当a ＞0时，h ′（a ）＜0，h （a ）单调递减，
又h （0）＝1＞0，h （1）＝ln 2＞0，h （2）＝ln 3﹣1＝ln 3﹣lne ＞0，h （3）＝2ln 2﹣2＝ln 4﹣lne 2＜0， 故整数a 的最大值为2．
22．（12分）已知双曲线Γ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左右顶点分别为点A ，B ，其中|AB |＝2，且双曲线过点C （2，3）．
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）设过点P （1，1）的直线分别交Γ的左、右支于D ，E 两点，过点E 作垂直于x 轴的直线l ，交线段BC 于点F ，点G 满足EF →=FG →．证明：直线DG 过定点，并求出该定点．
解：（1）由|AB |＝2a ＝2，则a ＝1，
又4
a 2−9
b 2=1，则9
b 2=4
a 2−1=3，
所以b 2＝3，
故双曲线Γ的方程为：x 2
−y 23=1． （2）证明：如图，
由B （1，0），C （2，3），则BC 方程为y ＝3x ﹣3，
设直线DE 方程为：y ＝k （x ﹣1）+1，D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），
则y F ＝3x 2﹣3，则F （x 2，3x 2﹣3），
由EF →=FG →，则G （x 2，6x 2﹣6﹣y 2），
则k BD =y 1x 1−1=k(x 1−1)+1x 1−1=k +1x 1−1
，
k BG =b(x 2−1)−y 2x 2−1=6(x 2−1)−k(x 2−1)−1x 2−1=6−k −1x 2−1
， 联立{y =k(x −1)+13x 2−y 2=3
⇒(3−k 2)x 2−2k(1−k)x −(1−k)2−3=0， 则x 1+x 2=
2k(1−k)3−k 2，x 1⋅x 2=−(1−k)2−33−k 2， 则1
x 1−1+1x 2−1=x 1+x 2−2
x 1x 2−(x 1+x 2)+1=2k(1−k)3−k 2
−2−(1−k)2−33−k 2−2k(1−k)3−k 2
=6−2k ， 所以k BD ﹣k BG ＝k ﹣（6﹣k ）+6﹣2k ＝0， 故k BD ＝k BG ，
故DG 过定点B （1，0）．。