浙江省金华、温州、台州三市部分学校2015-2016学年高一第九次(3月)联考数学试题解析(解析版)

浙江省金华、温州、台州三市部分学校2015-2016学年高一第九次（3月）
联考数学试题
第Ⅰ卷（共32分）
一.选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.在ABC ∆中，三边a ，b ，c 满足222a b c bc =++，则角A 等于（ ▲） A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 【解析】
试题分析：设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，由题意可得数列{}n a 成等比数列，它的首项为4，公比q=4 ∴{}n a 的通项公式：1444n n n a -==，∴到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有6644096a ==只蜜蜂
考点：等比数列求和
3.等差数列{}n a 中，2589a a a ++=，那么方程246()100x a a x +++=的根的情况（ ▲ ） A.没有实根 B.两个相等实根 C.两个不等实根 D.无法判断 【答案】A 【解析】
试题分析：由2589a a a ++=得54636a a a =∴+=，方程转化为26100x x ++= 0∆<，所以方程没
有实根
考点：等差数列性质
4.在ABC ∆中，若ln ln cos ln ln cos a B b A -=-，其中角A ，B 的对边分别为a ，b ，则ABC ∆的形状为（ ▲ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰或直角三角形
【答案】D 【解析】
试题分析：ln ln cos ln ln cos sin cos sin cos cos cos a b
a B
b A A A B B B A
-=-∴
=∴=
sin 2sin 2A B ∴= 2
A B π
∴+=
或A B =
考点：正弦定理及三角函数公式 5.已知数列{}n a 满足11a =-，1
1
1(1)n n a n a -=-
>，则2015a =（ ▲ ） A.2 B.1 C.
1
2
D. 1-
【答案】A 【解析】
试题分析：由递推公式可将11a =-求得2341
2,,12
a a a ===-，所以周期为3201522a a ∴== 考点：数列递推公式
6.一艘向正东航行的船，看见正北方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的北偏西30，另一灯塔在船的北偏西15，则这艘船的速度是每小时（ ▲ ） A.5海里
B. 海里
C. 10海里
D. 海里 【答案】C 【解析】
试题分析：依题意有∠BAC=60°，∠BAD=75°，所以∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10， 在直角三角形ABC 中，得AB=5，于是这艘船的速度是5
100.5
=（海里/小时）
． 考点：解三角形的实际应用
7.记实数,a b 中的最大数为{}max .a b ,定义数列{}n a ： {}
2max ,2n n a n =，则数列{}n a 的前10项和为(▲ )
A ．2046 B.2047 C.2048 D.2049 【答案】
B 【解析】
试题分析：{}2
2,2
max ,21,1
n n
n n a n n ⎧≥==⎨=⎩
()292101012102121221204712
S a a a -∴=++
+=++
+=+
=-
考点：数列求和
8.已知ABC ∆内接于单位圆，且ABC ∆面积为S ，则长为sin ,sin ,sin A B C 的三条线段（ ▲ ） A ．不能构成三角形
B ．能构成一个三角形，其面积为
2
S C ．能构成一个三角形，其面积大于 2S D ．能构成一个三角形，其面积小于 2
S 【答案】D 【解析】
试题分析：设△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，利用正弦定理可得，
2sin sin sin a b c
A B C
=== ∴a=2sinA ，b=2sinB ，c=2sinC ，∵a ，b ，c 为三角形的三边，∴sinA ，sinB ，sinC 也能构成三角形的边， 面积为原来三角形面积
14
考点：三角形的面积公式及正弦定理
第Ⅱ卷（共68分）
二、填空题（每题4分，满分28分，将答案填在答题纸上）
9.在ABC ∆中，3a =，30A =，60B =，则ABC ∆的面积S = ▲
【解析】 试题分析：由
sin sin a b
A B =
得312b =
=11sin 322S ab C ==⨯⨯=考点：正弦定理解三角形
10.在等比数列{}n a 中，已知36a =，318S =，则公比q = ▲ ． 【答案】1或1
2
- 【解析】
试题分析：当1q =时满足36a =，318S =同时成立，当1q ≠时有2211116,18a q a a q a q =++=，解方程得12
q =-
考点：等比数列通项及求和
11.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ， c 成等比数列，且2c a =，则cos B =
▲ ． 【答案】
34
【解析】
试题分析：a ，b ，c 成等比数列2
2
2b ac a ∴==222222423
cos 2224
a c
b a a a B a
c a a +-+-∴===
考点：余弦定理解三角形
12.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边长度之比为8：5则此三角形的面积为_____▲________
【答案】【解析】
试题分析：由已知条件另外两边设长度为8,5k k ，由余弦定理可得222214642580cos 60k k k =+-， ∴k=2，故另两边分别为 16和10
，故这个三角形的面积为1
1610sin 602
⨯⨯=考点：余弦定理解三角形
13.已知数列{}n a 满足：12a =，()*111n
n n
a a n N a ++=
∈-,则该数列的前2012项积 1220112012a a a a ∙∙∙∙= ▲
【答案】1 【解析】
试题分析：由12a =，111n n n
a a a ++=
-可得234511
3,,,223a a a a =-=-==，所以数列周期为4
12341a a a a =∴12
201120121a a a a =
考点：数列递推公式
14.已知函数()tan f x x =.项数为27的等差数列{}n a 满足,22n a ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝
⎭，且公差0d ≠.若()()()12270f a f a f a ++
+=，则当k =_▲____时，()0k f a =.
【答案】14 【解析】
试题分析：因为函数f （x ）=tanx 是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{}n a 有27项，,22n a ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
，若()()()12270f a f a f a +++=，则必有()140f a =，所以k=14．
考点：函数奇偶性的性质
15.给出若干数字按下图所示排成倒三角形，其中第一行各数依次是l ，2，3，…， 2013，从第二行起每一个数都等于它“肩上”两个数之和，最后一行只有一个数M ，则这个数M 是 ▲ 。

【答案】2014×22011 【解析】
试题分析：从第一行为1，2，3 及1，2，3，4，5的两个“小三角形”， 归纳得结果为()1
312+⨯及()3
512+⨯，猜一般为()2
12
n n -+⨯．当n=2013时，“金字数”M= 2014×22011
考点：归纳推理；进行简单的合情推理
三、解答题 （本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本小题满分12分）设公差不等于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且530S =，1a ，2a ，4a 成等比数列
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求
12232021
111
...a a a a a a +++
的值. 【答案】（1）2n a n =（2）
5
21
考点：数列的求和；等差数列的前n 项和
17.（本小题满分12分）在ABC ∆中, ,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足sin 2A A +=. (1)求A 的大小；
(2)现给出三个条件：①2a =； ②45B =；③c =
.
试从中选出两个可以确定ABC ∆的条件，写出你的选择并以此为依据求ABC ∆的面积 (只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) .
【答案】(1) 6
π
(2) 选择①②，1S =+
【解析】
试题分析：（1）利用两角和公式对已知等式化简求得sin 3A π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
的值，进而求得A ；
（2）选择①②利用正弦定理先求得sinC 的值，进而利用三角形面积公式求得三角形的面积
试题解析：(Ⅰ)依题意得2sin 23A π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭,即sin 13A π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
403
33326
A A A A π
π
πππ
ππ<<∴
<+
<∴+=∴= ----6分 (Ⅱ)方案一：选择①② 由正弦定理
sin sin a b A B =
，得sin sin a B b A
==
(
)sin sin sin cos cos sin C A B A B A B ∴=+=+=．
11sin 2122S ab C ∴=
=⨯⨯=+. ---------12分[来源: 方案二：选择①③
由余弦定理2222cos b c bc A a +-=,有222334b b b +-=,
则2,b c ==
所以111
sin 2222
S bc A =
=⨯⨯= ． 说明:若选择②③,
由c =
得，sin 1C B ==
>不成立,这样的三角形不存． 考点：正弦定理；余弦定理
18.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，432230a a a -+=，且164a =，公比1q ≠， （1）求n a ；
（2）设2log n n b a =，求数列{||}n b 的前n 项和.n T
【答案】（1）72n n a -=（2）2213,72
1384,72
n n n
n T n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩
【解析】
试题分析：（1）由题设可知，32111230a q a q a q -+=，解出q ，根据等比数列通项公式可得n a ；（2）由（1）可得7n b n =-，易知n ≤7时， n b ≥0，n ＞7时n b ＜0，分n ≤7，n ＞7两种情况进行讨论去掉绝对值符号，利用等差数列求和公式可得n T
试题解析：由题设可知3111230a q a q a q -+=
又10,0a q ≠≠ 故2
2310q q -+=
1q ∴=或
12，又由题设1q ≠ 12
q ∴= 从而72n n a -=……………………4分 （2）722log log 27n n n b a n -===-
当7n ≤时，0n b ≥，7n >时0n b <……………………6分 故7n ≤时，()12312132
n n n n
T b b b b b b b n =+++
+=+++=
-……8分 7n >时，12312789n n n T b b b b b b b b b b =++++=+++---
()()121272n b b b b b b =-++
++++
+
()()()()211771384
2677602222
n n b b b b n n n n ++-+=-+=-+-++=
……10分 综上可得2213,72
1384,72
n n n
n T n n n
⎧-+≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩ ……………………12分
考点：数列的求和；等比数列的通项公式
19.（本小题满分12分） 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 且
sin a A =
（1）求角C 的大小；
（2）如果6a b +=，4CA CB ⋅=，求边长c 的值. 【答案】（1）3
C π
=
（2）
20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和22
n n n
S +=，数列{}n b 的通项为()n b f n =，且()f n 满
足：①1
(1)2
f =
；②对任意正整数,m n 都有()()()f m n f m f n +=成立. （1）求n a 与n b ；
（2）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求证：
1
22
n T ≤<（n N *∈）
； 【答案】（1）n a n =，12n
n b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（2）详见解析
【解析】
试题分析：（1）数列{}n a 中由()
()1112n n n S n a S S n -=⎧⎪
=⎨
-≥⎪⎩可求得通项公式，数列{}n b 中根据
()()()f m n f m f n +=求出首项、公比，得到通项公式；（2）中首先整理数列{}n n a b 的通项公式，依据其特点采用错位相减法求和n T ，从而借助于单调性得到其范围
1
22
n T ≤< 试题解析：（1）11,11,1
,2,2n n
n S n n a n S S n n n -==⎧⎧===⎨
⎨-≥≥⎩⎩...........................2分 由()()()f m n f m f n += 令1m =得
()()()()1112f n f f n f n +==
，即112n n b b +=，112
b = 所以{}n b 是以12为首项，12为公比的等比数列，所以12n
n b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
.....6分
（若无推导过程直接得12n
n b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，则得1分，后续问题不扣分
（2）102n
n n a b n ⎛⎫
=> ⎪⎝⎭
，所以n T 单调递增，故112n T T ≥=......7分
又2
11112222n
n T n ⎛⎫
⎛⎫
=⨯+⨯+
+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
......................①
23
1
1111122222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
..................②....................8分
①-②2
11111111111222122222212
n
n n n n T n n ++⎛⎫
- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎝⎭=++
+-⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭-.......10分
所以2222n n
n T +=-
<，综上1
22
n T ≤<............................12分 考点：等差数列与等比数列；数列的求和
：。