数学：1.2.2《复合函数的求导法则》教案(新人教A版选修2-2)
2019-2020年高中数学 1.2.2《复合函数的求导法则》教案14 新人教A版选修2-2
2019-2020年高中数学 1.2.2《复合函数的求导法则》教案14 新人教A版选修2-2教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（二）导数的运算法则（2）推论：（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 二．新课讲授复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。
复合函数的导数 复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．若，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数． 【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－sin 22 x ＝1－（1－cos 4 x ）＝＋cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步． 例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－，－），过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝．四．课堂练习1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）;(3) 2.求的导数五．回顾总结六．布置作业2019-2020年高中数学 1.2.2《映射》教案1 北师大版必修1一．教学目标1．知识与技能：（1）了解映射的概念及表示方法；（2）结合简单的对应图表，理解一一映射的概念．2．过程与方法（1）函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合；（2）通过实例进一步理解映射的概念；（3）会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，一一映射．3．情态与价值映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．二．教学重点：映射的概念教学难点：映射的概念三．学法与教学用具1．学法：通过丰富的实例，学生进行交流讨论和概括；从而完成本节课的教学目标；2．教学用具：投影仪．四．教学思路（一）创设情景，揭示课题复习初中常见的对应关系1．对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对应；2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对（）和它对应；3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；5．函数的概念．（二）研探新知1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）．2．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系：（1）开平方；（2）求正弦；（3）求平方；（4）乘以2．归纳引出映射概念：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：A→B为从集合A 到集合B的一个映射．记作“：A→B”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思． （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维例1．下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？（1）A={是数轴上的点}，B=R ，对应关系：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A={是平面直角坐标中的点}，}{(,)|,,B x y x R y R =∈∈对应关系：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B=：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A={是新华中学的班级}，}{|,B x x =是新华中学的学生对应关系：每一个班级都对应班里的学生．思考：将（3）中的对应关系改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应：B →A 是从集合B 到集合A 的映射吗？例2．在下图中，图（1），（2），（3），（4）用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则，是不是映射？是不是函数关系？求正弦 B （1）A 求平方B A 乘以2 B （3）（四）巩固深化，反馈矫正1、画图表示集合A 到集合B 的对应（集合A ，B 各取4个元素） 已知：（1）}}{{1,2,3,4,2,4,6,8A B ==，对应法则是“乘以2”； （2）A=＞，B=R ，对应法则是“求算术平方根”； （3），对应法则是“求倒数”；（4）＜}}{090,|1,B x x α∠≤=≤对应法则是“求余弦”．2．在下图中的映射中，A中元素600的象是什么？B中元素的原象是什么？A 求正弦 B（五）归纳小结提出问题：怎样判断建立在两个集合上的一个对应关系是否是一个映射，你能归纳出几个“标准”呢？师生一起归纳：判定是否是映射主要看两条：一条是A集合中的元素都要有象，但B中元素未必要有原象；二条是A中元素与B中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式．（六）设置问题，留下悬念．1．由学生举出生活中两个有关映射的实例．2．已知是集合A上的任一个映射，试问在值域(A)中的任一个元素的原象，是否都是唯一的？为什么？3．已知集合从集合A到集合B的映射，试问能构造出多少映射？。
2019-2020学年高中数学 1.2.3复合函数的导数教案 新人教版选修2-2.doc
2019-2020学年高中数学 1.2.3复合函数的导数教案 新人教版选修2-2
【学情分析】：
在学习了用导数定义这种方法计算常见函数的导数,而且已经熟悉了导数加减运算法则后.本节将继续介绍复合函数的求导方法. 【教学目标】：
(1)理解掌握复合函数的求导法则.
(2)能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导
(3)培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律． 【教学重点】：
简单复合函数的求导法则，也是由导数的定义导出的，要掌握复合函数的求导法则，须在理解复合过程的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数并灵活应用. 【教学难点】：
复合函数的求导法则的导入,复合函数的结构分析,可多配例题, 让学生对求导法则有一个直观的了解.
【教学过程设计】：
个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？)()]g x f ='')()])f x g =
x
u . 求下列函数的导数：32(32)31812x x =-=-，x u u y ''⋅
对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求。
高中数学(人教A版选修2-2)课件1.2.2复合函数的导数
变式训练 1 求下列函数的导数． 1 (1)y＝ ； 1＋3x5 π (2)y＝sin(x －6)；
2
(3)y＝ln(lnx)； (4)y＝e
2x2＋1
.
1 解 (1)令u＝1＋3x，则y＝u5＝u－5， ∴y′x＝y′u· u′x＝－5u 6· 3
－
15 ＝－15u ＝－ . 1＋3x6
2．复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导 数间的关系为________．即y对x的导数等于y对u的导数与u对 x的导数的乘积.
答 1.y＝f(u) u＝g(x) y＝f(g(x)) 案 2.y′x＝y′u· u′x
名师讲解
1.求复合函数的导数的关键是处理好以下几个环节 (1)中间变量的选择应是基本函数结构； (2)关键是正确分析出复合过程； (3)一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后结果要把中间变量换成自变量的函数．
第一章 导数及其应用
§1.2
导数的计算
1.2.2 复合函数的导数
自学引导
课前热身
名师讲解
典例剖析
技能演练
自学引导
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算 法则求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数.
课前于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量 u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数________和 ________的复合函数，记作________．
(2)y′＝[log2(2x2＋3x＋1)]′ 1 ＝ 2 · (2x2＋3x＋1)′ 2x ＋3x＋1ln2 4x＋3 ＝ 2 . 2x ＋3x＋1ln2 (3)y′＝[esin(ax＋b)]′＝esin(ax＋b)[sin(ax＋b)]′ ＝esin(ax＋b)· cos(ax＋b)· (ax＋b)′ ＝acos(ax＋b)· esin(ax＋b)．
(新课程)高中1.2.2 导数的运算法则及复合函数的导数》课选修2-2
(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数 的导数，并把中间变量换成自变量的函数．如求
π y＝sin2x＋3的
π 导数，设 y＝sin u，u＝2x＋3，则 yx′＝yu′· ux′＝cos u· 2＝2cos u
π ＝2cos2x＋3.
(4)复合函数的求导运用熟练后，中间步骤可省略不写．
(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．
(4)善于把一部分表达式作为一个整体．
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不
必再写中间步骤．
【变式 2】 求下列函数的导数： (1)y＝ln(x＋2)； (2)y＝sin 4＋cos 4； 1＋ x 1－ x (3)y＝ ＋ 导数的运算法则及复合函数的导数(2)
高二数学组 刘远林
一、复习回顾
复合函数求导 对于复合函数的求导法则，需注意以下几点：
(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当
选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要 特别注意的是中间变量的系数．如 (sin 2x)′≠cos 2x. 2x)′ ＝ 2cos 2x ，而 (sin
练习：求复合函数的导数 1 (1)y＝ 2； 1－2x (2)y＝e2x 1；
＋
(3)y＝( x－2)2； (4)y＝5log2(2x＋1)． [思路探索] 可分析复合函数的复合层次，再利用复合函数的 求导法则求解．
(2)y＝eu，u＝2x＋1， ∴y′x＝y′u· u′x＝(e )′· (2x＋1)′＝2e ＝2e
马云：今天很残酷，明天更残酷，后天很美好，但 是绝大部分人是死在明天晚上，只有那些真正的英 雄才能见到后天的太阳。 比尔盖茨： 1 、社会充满不公平现象。你先不要想去改造它， 只能先适应它。(因为你管不了它)。 2 、世界不会在意你的自尊，人们看的只是你的成 就。在你没有成就以前，切勿过分强调自尊。(因为 你越强调自尊，越对你不利)。 3、如果你认为你的老师严厉，等你有了老板再这 样想。老板可是没有任期限制的。
高二数学选修22复合函数的导数教案
高二数学选修2-2复合函数的导数教案一、学习目标 理解并掌握复合函数的求导法则．二、重点难点 本节的重点是复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．本节的难点是：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．三、典型例题1．求复合函数的导数例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．2．和、差、积、商的导数中的复合函数的导数．例2求y ＝sin 43 x cos 3 4 x 的导数【点评】复合函数为三层复合．正确认识复合过程关键是熟悉初等函数和导数公式．例3求y ＝ax x ax 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．3．开阔思路，恰当选用求导数方法．例4求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ． y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例5求y ＝A A sin 1sin 1++- （0＜A ＜2π) 【解法一】y ＝A A sin 1sin 1++-（0＜A ＜2π) ∴ y ＝)2πcos(1)2πcos(1A A -++--＝2sin （24πA -）＋2cos （24πA -） ＝2 [22sin （24πA -）＋22cos （24πA -）]＝2 sin （22πA -）＝2 cos 2A y ′＝(2 cos2A )′＝－sin 2A ． 【解法二】y ′＝(A sin 1-)′＋(A sin 1+)′ ＝21(1－sin A )21-(－cos A )＋21(1＋sin A )21-cos A ＝AA A A cos 2)sin 1sin 1(cos +-- ∵ A ∈（0，2π） ＝21[（cos 2A －sin 2A ）－（cos 2A ＋sin 2A ）] ＝－sin 2A ．【解法三】∵ 0＜A ＜2π y ＝A sin 1-＋A sin 1+＝（cos2A －sin 2A ）＋（cos 2A ＋sin 2A ）＝2 cos 2A ． y ′＝－sin 2A ． 【点评】解法一和解法三都是先化简，但难易有别，繁简差异较大，恰当选择公式是关键．解法二是从和的导数求导数入手．后面的化简较繁．例6曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 xy ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝22716． 【点评】例6复习导数的运算和导数的几何意义．。
高中数学选修2-2 1.2.2 复合函数导数运算法则
§1.2.2复合函数的求导法则编者：掌握复合函数的求导法则及利用导数求切线的斜率。
教学重点：复合函数求导法则 教学难点：复合函数求导法则使用说明： （1）预习教材P 32~ P 36，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法；（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容； （3）不做标记的为C 级，标记★为B 级，标记★★为A 级。
预习案（20分钟）一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表组长评价： 教师评价：（二）导数的运算法则（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新知导学【知识点一】复合函数的概念一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成 ，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作 。
思考：函数()23log 25y x x =-+是由哪两个函数复合而成？ 【知识点二】复合函数的求导法则（★）复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为 即y 对x 的导数等于即：若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦思考：函数()ln 21y x =+的导数是什么？【知识点三】函数在某点处切线的斜率和在该点处导数的关系（★）函数()y f x =在点()00,P x y 处切线的斜率k = 思考：点()00,P x y 是不是要求一定是切点？函数()3f x x =，则()f x 的斜率为3的切线有几条？探究案（30分钟）三．典例探究【典例一】复合函数求导运算 例1-1：求下列复合函数的导数（1）()323y x =+ （2）()23log 25y x x =-+ （3）()cos 21y x =-（4）122sin -=x xy （5）y = （6）()4113y x =-【典例二】导数运算法则在切线中的应用 例2-1：求下面问题中的切线方程（1）曲线()2f x x=在点()2,1--处的切线方程？ （2）进过点()2,0且与曲线1y x=相切的切线方程？例2-2：曲线()()12y x x x =+-有两条平行于直线y x =的切线，求此二切线之间的距离？例2-3：函数()3222f x ax ax ax =-+上任意一点处切线的倾斜角都是锐角，求a 的取值范围？四．我的疑惑（把自己在使用过程中遇到的疑惑之处写在下面，先组内讨论尝试解决，能解决的划“√”，不能解决的划“×”）（1） （ ） （2） （ ）（通过解决本节导学案的内容和疑惑点，归纳一下自己本节的收获，和大家交流一下，写下自己的所得）※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：15分钟 满分：30分）计分：1．求下列函数的导数 （1）()324y xx=- （2）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．（3）xey 31+= （4）2211xy -=2.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程是（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=3.求过曲线sin y x =上点1,62P π⎛⎫⎪⎝⎭，且与过这个点的切线垂直的直线方程？4.求过点()1,2P -且与曲线()2342f x x x =-+在点()1,1M 处的切线平行的直线方程？1．求下列函数的导数（1）()521y x =+ （2）()ln 25y x x =+ （3）33sin sin 3y x x =+2.曲线()32f x x x =+-在点0P 处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点的坐标为（ ）A ．()1,0B ．()2,8C ．()()1,0,1,4--D ．()()2,8,1,4-- 3．设()22y x a =+，且220x y ='=，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．求曲线6y x =+()1,7P 处切线的方程？5．求过点()1,2M --且与曲线32y x x =-相切的直线方程？。
【数学】1.2.3《复合函数的求导法则》教案(新人教A版选修2-2)
1.2.2复合函数的求导法则教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ax x ax 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝22716． 四．课堂练习1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）122sin -=x x y ;(3))2(log 2-x a 2.求)132ln(2++x x 的导数五．回顾总结六．布置作业。
2019-2020年高中数学《1.2.2 导数的运算法则及复合函数的导数》教案2 新人教A版选修2-2
2019-2020年高中数学《1.2.2 导数的运算法则及复合函数的导数》教案2 新人教A版选修2-2教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。
复合函数的导数 复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．若，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数． 【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－sin 22 x ＝1－（1－cos 4 x ）＝＋cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步． 例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－，－），过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝．四．课堂练习1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）;(3) 2.求的导数五．回顾总结六．布置作业2019-2020年高中数学《1.2.2 条件语句》教案新人教A版必修3教学分析通过上一节的学习，学生学会了输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法，本节介绍条件语句的用法. 程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系，这种对应关系对于学生理解条件语句的结构，进一步理解算法中的条件结构都是很有帮助的.我们可以给出条件语句的一般格式，让学生自己画出相应的程序框图，也可以给出程序框图，让学生写出算法语句.三维目标1．理解学习基本算法语句的意义.2．学会条件语句的基本用法.3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法.重点难点教学重点：条件语句的基本用法.教学难点：算法语句的写法.课时安排1课时教学过程导入新课思路1（情境导入）一位老农平整了一块良田，种瓜好呢，还是种豆好呢，他面临着一个选择.如果他选择种瓜，他会得瓜，如果他选择种豆，他会得豆.人的一生面临许多选择，我们要做出正确的选择.前面我们学习了条件结构，今天我们学习条件语句.思路2（直接导入）前面我们学习了程序框图的画法,为了让计算机能够理解算法步骤、程序框图，上一节我们学习了输入语句、输出语句、赋值语句，今天我们开始学习条件语句.推进新课新知探究提出问题（1）回忆程序框图中的两种条件结构.（2）指出条件语句的格式及功能.（3）指出两种条件语句的相同点与不同点.（4）揭示程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系.讨论结果：（1）一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.条件结构就是处理这种过程的结构.用程序框图表示条件结构如下图：（2）条件语句1°“IF—THEN—ELSE”语句格式：IF 条件 THEN语句体1ELSE语句体2END IF功能：在“IF—THEN—ELSE”语句中，“条件”表示判断的条件，“语句体1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句体2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF表示条件语句的结束.计算机在执行“IF—THEN—ELSE”语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果符合条件，则执行THEN后面的“语句1”；若不符合条件，则执行ELSE后面的“语句2”. 2°“IF—THEN”语句格式：IF 条件 THEN语句体END IF功能：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，直接结束判断过程；END IF表示条件语句的结束.计算机在执行“IF—THEN”语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果符合条件就执行THEN后边的语句，若不符合条件则直接结束该条件语句，转而执行其他后面的语句.（3）相同点：首先对IF后的条件进行判断，如果符合条件就执行THEN后边的语句.不同点：对于“IF—THEN—ELSE”语句，若不符合条件，则执行ELSE后面的“语句体2”.对于“IF—THEN”语句，若不符合条件则直接结束该条件语句，转而执行其他后面的语句. （4）程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系如下图：应用示例思路1例1 编写一个程序，求实数x的绝对值.算法分析：首先，我们来设计求实数x的绝对值的算法，因为实数x的绝对值为|x|=所以算法步骤可以写成：第一步，输入一个实数x.第二步，判断x的符号.若x≥0，则输出x；否则，输出-x.显然，“第二步”可以用条件结构来实现.程序框图如下图：程序：INPUT xIF x＞=0 THENPRINT xELSEPRINT -xEND IFEND点评：通过本题我们看到算法步骤可以转化为程序框图，程序框图可以转化为算法语句.本题揭示了它们之间的内在联系，只要理解了程序框图与算法语句的对应关系，把程序框图转化为算法语句就很容易了.变式训练阅读下面的程序，你能得出什么结论？INPUT xIF x＜0 THENx=-xEND IFPRINT xEND解：由程序得出，该程序是输出x的绝对值.例2 把前面求解一元二次方程ax2+bx+c=0的程序框图转化为程序.解：由程序框图可以发现，其中包含着两个条件结构，而且内层的条件结构是外层的条件结构的一个分支，所以，可以用“IF—THEN—ELSE—END IF”来完成转化.程序：INPUT “a,b,c=”;a,b,cd=b^2-4*a*cIF d＞=0 THENp=-b/(2*a)q=SQR(d)/(2*a)IF d=0 THENPRINT “x1=x2=”;pELSEPRINT “x1,x2=”;p+q,p-qEND IFELSEPRINT“No real root”END IFEND例3 编写程序，使任意输入的3个整数按从大到小的顺序输出.算法分析：用a，b，c表示输入的3个整数.为了节约变量，把它们重新排列后，仍用a，b，c表示，并使a≥b≥c.具体操作步骤如下：第一步，输入3个整数a，b，c.第二步，将a与b比较，并把小者赋给b，大者赋给a.第三步，将a与c比较，并把小者赋给c，大者赋给a（此时a已是三者中最大的）.第四步，将b与c比较，并把小者赋给c，大者赋给b（此时a，b，c已按从大到小的顺序排列好）.第五步，按顺序输出a，b，c.如下图所示，上述操作步骤可以用程序框图更直观地表达出来.根据程序框图，写出相应的计算机程序.INPUT “a,b,c=”;a,b,cIF b＞a THENt=aa=bb=tEND IFIF c＞a THENt=aa=cc=tEND IFIF c＞b THENt=bb=cc=tEND IFPRINT a,b,cEND思路2例1 编写程序，输出两个不相等的实数a、b的最大值.分析：要输出两个不相等的实数a、b的最大值，从而想到对a，b的大小关系进行判断，a，b的大小关系有两种情况：（1）a>b；（2）b>a.这也就用到了我们经常提及的分类讨论的方式，找出两个数的最大值.解：算法一：第一步，输入a， b的数值.第二步，判断a，b的大小关系，若a>b，则输出a的值，否则，输出b的值.（程序框图如下图）程序如下：（“IF—THEN—ELSE”语句）INPUT “a，b”；a，bIF a＞b THENPRINT aELSEPRINT bEND IFEND算法二：第一步，输入a,b的数值.第二步，判断a,b的大小关系，若b>a，则将b的值赋予a；否则，直接执行第三步.第三步，输出a的值，结束.（程序框图如下图）程序如下：（“IF—THEN”语句） INPUT “a，b”；a ，b IF b ＞a THEN a=b END IF PRINT a END点评：设计一个“好”的算法需要在大量的算法设计中积累经验.我们也可以先根据自己的思路设计算法，再与 “成形”的、高效的、优秀的算法比较，改进思路，改进算法，以避免重复计算等问题，提高算法设计的水平.（2）我们在平常的训练中尽可能地少引用变量，过多的变量不仅会使得算法和程序变得复杂，而且不利于计算机的执行.为此，我们在练习中要尽可能少引入变量并且要积极思考才能少引入变量.例2 高等数学中经常用到符号函数，符号函数的定义为y=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>,0,1,0,0,0,1x x x 试编写程序输入x的值，输出y 的值. 解：程序一：（嵌套结构） 程序框图：（下图）程序如下： INPUT x IF x>0 THEN y=1 ELSEIF x=0 THEN y=0 ELSE y=－1 END IF END IF PRINT y END程序二：（叠加结构） 程序框图（右图）：程序如下：INPUT xIF x>0 THENy=1END IFIF x=0 THENy=0END IFIF x<0 THENy=－1END IFPRINT yEND点评：（1）条件结构的差异，造成程序执行的不同.当代入x的数值时，“程序一”先判断外层的条件，依次执行不同的分支，随后再判断内层的条件；而“程序二”中执行了对“条件1”的判断，同时也对“条件2”进行判断，是按程序中条件语句的先后依次判断所有的条件，满足哪个条件就执行哪个语句.（2）条件语句的嵌套可多于两层，可以表达算法步骤中的多重限制条件.知能训练中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按以一分钟计算.设通话时间为t（分钟），通话费用y（元），如何设计一个程序，计算通话的费用.解：算法程序如下：INPUT “请输入通话时间：”；tIF t<=3 THENy=0.22ELSEIF INT(t)=t THENy=0.22+0.1*(t－3)ELSEy=0.22+0.1*(INT(t －3)+1) END IF END IFPRINT “通话费用为：”；y END拓展提升函数y=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<≤≤,128),12(2,84,8,40,2x x x x x 写出求函数的函数值的程序.解：INPUT x=”;xIF x>=0 and x<=4 THEN y=2*xELSE IF x<=8 THEN y=8ELSE y=2*(12-x) END IF。
2019-2020学年第二学期高二数学人教A版选修2-2第一章1.2.2.2复合函数的求导法则教学课件(共19张PPT)
yx' (2x)' sin(2x 5) 2x[sin(2x 5)]' 2sin(2x 5) 4x cos(2x 5)
合作探究
6.已知抛物线 y ax2 bx c 通过点(1,1),且在点(2,1)处与直
线 y x 3相切，求 a,b,c 的值.
解：Q y ax2 bx c过点（1,1） a b c 1
1
5.若函数 f (x) log 3 (x 1)，则 y x2= ln 3 .
6.曲线 y
x x
1 4
在点 x
8处的切线方程是
5x 48y 112. 0
7.求 y sin4 x cos4 x 的导数. y' sin 4x
提示:解法1是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确． 解法2是利用复合函数求导数，应注意不漏步．
y=ln(x+2)对x的导数等于y=lnu对u的导数与u=x+2对x的导
数的乘积，即
yx
yu ux
(ln u) (x 2)
1 1 1 u x2
点评：求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明 确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同 时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．
2
xx xx (1 ln x)2
x (1 ln x)2
x(1
2 ln
x)2
合作探究
1.思考：如何求y=ln(x+2)的导数？
观察：函数y=ln(x+2)的结构特点，不难发现，其中，若设u=x+2 (x>-2),则y=lnu。从而y=ln(x+2)可以看成是由y=lnu和u=x+2 (x>-2)经过“复合”得到的。
1.2.2(2)复合函数的求导法则教学设计
情境一：复习 ：1.基本初等函数有哪些？2.求下列函数的导数：（1）()324y x x =-（2）sin x y x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+（5）()ln 2y x =+ 问题1：函数（4）利用基本初等函数求导公式如何求导?问题2：函数(5)能用学过的公式求导吗?问题3：函数()ln 2y x =+有什么结构特点？情境二：分清以上函数的结构特点之后，你能尝试给出复合函数的概念吗？复合函数的概念：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
情境三：复合函数的求导法则是什么？一般分几个步骤进行？求复合函数的导数需要注意哪些方面？复合函数的导数：复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．即：若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦注意：①中间变量的选择应是基本初等函数结构 ②关键是正确分清函数的复合层次③一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地求导 ④要善于把一部分表达式作为一个整体 ⑤最后要把中间变量换成自变量的函数（即代回）【典例分析】例1（课本例4）求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．例2求2sin(tan )y x =的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。
变式训练：求下列函数的导数（1）cos 3x y = （2）y 3）x x y 44cos sin += 解（3）时注意方法的灵活性，多样性。
高中数学123复合函数的求导法则学案新人教a版选修2-
1.2.3 复合函数的未求导法例试一试： (sin2x)=反省：求复合函数的导数，要点在于剖析清楚函数的复合关系，选好中间变量。
【学习目标】典型例题 理解并掌握复合函数的求导法例例 1 求以下函数的导数： （ ）（1） y (2 x 3) 2 ；0.05x 1；2 y e 【学习重难点】（3） y sin( x ) （此中 ， 均为常数）要点：复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数 乘以中间变量对自变量的导数之积难点：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，娴熟，正确【学习过程】一、学前准备1：求 y x 3 ( x 24) 的导数2：求函数 y(2 x 3)2 的导数二、合作研究：研究一：复合函数的求导法例问题：求 (sin 2 x) =?解答：因为 (sin x) cos x ，故 (sin 2x)cos2 x这个解答正确吗 ?新知：一般地，关于两个函数 y f (u ) 和 u g( x) ，假如经过变量 u ， y 能够表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y f (u) 和 u g (x) 的复合函数，记作： y f (g (x))复合函数的求导法例：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数 . 用公式表示为： y x y u u x ，此中 u 为中间变量 . 即： y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 .变式：求以下函数的导数： （1） y cos x；（ ） yx 13小结：复合函数的求导不单能够推行到三重，还可推行到四重、五重 .例 2 求描绘气球膨胀状态的函数 r (V ) 33V的导数 .4小结：求复合函数的导数，要点在于剖析清楚函数的复合关系，选好中间变量。
函数 r (V )33V能够当作是哪两个函数的复合 ?4【学习检测】1.（A) 设y sin 2x ，则 y =（）A．sin2x B．2sin x C．2sin2x D．cos2x2.（A) 已知f ( x)ln( x x21) ，则 f(x) 是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数3.（A) (log2(2x3)) =4.（A) (lg tan x) =5(B) 求以下函数的导数；（1）y( x1)99；（2） y2e x；（ 3）y 2x sin(2 x5)6.(B) 求以下函数的导数；（1）y2x tan x ；（2）y(x 2)3 (3x 1)2；（3）y2xln x ；（4）yx2(2 x 1)3【小结与反省】。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.2 复合函数求导及应用课件 新人教A版选修2-2
实际生活中的一些问题，如在生活和生产及科研中经常遇到 的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变 量时常用导数解决.
某港口在一天 24 小时内潮水的高度近似满足关系 s(t)＝ 3sin(1π2t＋56π)(0≤t≤24)，其中 s 的单位是 m，t 的单位是 h，求 函数在 t＝18 时的导数，并解释它的实际意义．
将复合函数的求导法则与导数的几何意义结合起来考查是 近几年高考命题的热点，解决这类问题的关键是正确对复合函数 求导，并掌握考查导数几何意义的相应题型的解法.
(1)设曲线 y＝xx＋－11在点(3,2)处的切线与直线 ax＋y＋1＝0 垂
直，则 a＝( D )
A．2
B．12
C．－12
D．－2
解析：y＝xx＋－11＝1＋x－2 1，y′＝－x－212，y′|x＝3＝－12，
类型二 复合函数的切线问题
【例 2】 设 f(x)＝ln(x＋1)＋ x＋1＋ax＋b(a，b∈R，a，b 为常数)，曲线 y＝f(x)与直线 y＝32x 在(0,0)点相切．求 a，b 的值．
【思路分析】 由曲线过(0,0)点可求得 b 的值；利用导数的 几何意义求出切线的斜率，结合已知条件列等式可求得 a 的值．
3．已知函数 f(x)＝(2x＋a)2，且 f′(2)＝20，则 a＝ 1 .
解析：因为 f(x)＝(2x＋a)2，所以 f′(x)＝4(2x＋a)， 所以 f′(2)＝4(4＋a)＝20，所以 a＝1.
4．曲线 y＝sin3x 在点 P(π3，0)处的切线斜率为 －3 . 解析：因为 y′＝(sin3x)′＝3cos3x，
因为曲线在点(3,2)处的切线与直线 ax＋y＋1＝0 垂直，所以－a
＝2，a＝－2.故选 D.
高二数学选修2-2_《复合函数的导数》教学教案
复合函数的导数学习目的：理解复合函数的求导法则学习重点：复合函数的求导法则的概念与应用学习难点：复合函数的求导法则的导入与理解授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：复合函数的导数是导数的重点，也是导数的难点。
要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导.求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解.学习过程：一、复习引入：1.常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=.2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 二、讲解新课：1.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量.2.求函数2(32)y x =-的导数的两种方法与思路：方法一：22[(32)](9124)1812x y x x x x '''=-=-+=-；方法二：将函数2(32)y x =-看作是函数2y u =和函数32u x =-复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2u y u u ''==，(32)3x u x ''=-=两个导数相乘，得232(32)31812u x y u u x x ''==-=-，从而有 x u x u y y '''⋅=对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y ′x 时，就可以转化为求y u ′和u ′x 的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3.复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u ) ϕ′(x ).证明：（教师参考不需要给学生讲）设x 有增量Δx ，则对应的u ，y 分别有增量Δu ，Δy ，因为u =φ(x )在点x 可导，所以u =ϕ (x )在点x 处连续.因此当Δx →0时，Δu →0.当Δu ≠0时，由xu u y x y ∆∆⋅∆∆=∆∆. 且x y u y u x ∆∆=∆∆→∆→∆00lim lim . ∴xu u y x u u y x u u y x y x u x x x x ∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆000000lim lim lim lim lim lim 即x u x u y y '''⋅= (当Δu ＝0时，也成立)4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数.5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代.三、讲解范例：例1试说明下列函数是怎样复合而成的？（1）32)2(x y -=； （2）2sin x y =；（3）)4cos(x y -=π； （4）)13sin(ln -=x y ． 解：（1）函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成；（2）函数2sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成；（3）函数)4cos(x y -=π由函数u y cos =和x u -=4π复合而成； （4）函数)13sin(ln -=x y 由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成.说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等.例2写出由下列函数复合而成的函数：（1）u y cos =，21x u +=； （2）u y ln =，x u ln =.解：（1）)1cos(2x y +=； （2）)ln(ln x y =.例3求5)12(+=x y 的导数．解：设5u y =，12+=x u ，则x u x u y y '''⋅=)'12()'(5+⋅=x u x2)12(52534⋅+=⋅=x u 4)12(10+=x .注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.例4求f (x )=sin x 2的导数.解：令y =f (x )=sin u ; u =x 2∴x u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(x 2)x ′=cos u ·2x =cos x 2·2x =2x cos x 2∴f ′(x )=2x cos x 2例5求y =sin 2(2x +3π)的导数. 分析: 设u =sin(2x +3π)时，求u ′x ，但此时u 仍是复合函数，所以可再设v =2x +3π. 解：令y =u 2，u =sin(2x +3π)，再令u =sin v ，v =2x +3π∴x u x u y y '''⋅==y ′u (u ′v ·v ′x )∴y ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(2x +3π)′x =2u ·cos v ·2=2sin(2x +3π)cos(2x +3π)·2 =4sin(2x +3π)cos(2x +3π)=2sin(4x +32π) 即y ′x =2sin(4x +32π) 例6求32c bx ax y ++=的导数.解：令y =3u ，u =ax 2+bx +c∴x u x u y y '''⋅==(3u )′u ·(ax 2+bx +c )′x =3231-u ·(2ax +b ) =31(ax 2+bx +c )32-(2ax +b )=322)(32c bx ax b ax +++ 即y ′x =322)(32c bx ax bax +++例7求y =51xx -的导数. 解：令xx u u y -==1,5 ∴x u x u y y '''⋅==(5u )′u ·(x x -1)′x 4455221(1)(1)11(1)()55x x x x x x x u x x x --''-------=⋅=⋅21x -===即y ′x =－542)(51x x x -例8 求y =sin 2x 1的导数. 解：令y =u 2，u =sin x 1，再令u =sin v ，v =x 1 ∴x u x u y y '''⋅=·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(x 1)′x =2u ·cos v ·210x -=2sin x 1·cos x 1·21x-=－21x ·sin x 2 ∴y ′x =－21x sin x 2例9 求函数y =(2x 2－3)21x +的导数.分析: y 可看成两个函数的乘积，2x 2－3可求导，21x +是复合函数，可以先算出21x +对x 的导数.解：令y =uv ，u =2x 2－3，v =21x +, 令v =ω，ω=1+x 2x x v v ωω'''=⋅=ω' (1+x 2)′x =22211122)2(21xx x x x +=+=-ω ∴y ′x =(uv )′x =u ′x v +uv ′x=(2x 2－3)′x ·21x ++(2x 2－3)·21xx+ =4x 23232161321x x x xxx x ++=+-++ 即y ′x =2316x xx ++ .四、课堂练习：1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).(1)y =(5x －3)4 (2)y =(2+3x )5 (3)y =(2－x 2)3(4)y =(2x 3+x )2解：(1)令y =u 4，u =5x －3 ∴x u x u y y '''⋅==(u 4)′u ·(5x －3)′x =4u 3·5=4(5x －3)3·5=20(5x －3)3(2)令y =u 5，u =2+3x∴x u x u y y '''⋅==(u 5)′u ·(2+3x )′x =5u 4·3=5(2+3x )4·3=15(2+3x )4(3)令y =u 3，u =2－x 2∴x u x u y y '''⋅==(u 3)′u ·(2－x 2)′x=3u 2·(－2x )=3(2－x 2)2(－2x )=－6x (2－x 2)2(4)令y =u 2，u =2x 3+x∴x u x u y y '''⋅==(u 2)′u ·(2x 3+x )′x=2u ·(2·3x 2+1)=2(2x 3+x )(6x 2+1)=24x 5+16x 3+2x2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n ∈N *)(1)y =sin nx (2)y =cos nx (3)y =tan nx (4)y =cot nx解：(1)令y =sin u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(nx )′x =cos u ·n =n cos nx(2)令y =cos u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cos u )′u ·(nx )′x =－sin u ·n =－n sin nx(3)令y =tan u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(tan u )′u ·(nx )′x =(uu cos sin )′u ·n =2)(cos )sin (sin cos cos u u u u u --⋅·n =nxn n u 22cos cos 1==n ·sec 2nx (4)令y =cot u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cot u )′u ·(nx )′x =(uu sin cos )′u ·n =2)(sin cos cos sin sin u u u u u ⋅-⋅-·n =－u 2sin 1·n =－nxn 2sin =－n csc 2nx .五、小结：（1）复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；（2）复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代.六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。
高二数学选修22复合函数的导数教案
高二数学选修2-2复合函数的导数教案一、学习目标 理解并掌握复合函数的求导法则．二、重点难点 本节的重点是复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．本节的难点是：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．三、典型例题1．求复合函数的导数例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．2．和、差、积、商的导数中的复合函数的导数．例2求y ＝sin 43 x cos 3 4 x 的导数【点评】复合函数为三层复合．正确认识复合过程关键是熟悉初等函数和导数公式．例3求y ＝ax x ax 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．3．开阔思路，恰当选用求导数方法．例4求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ． y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x(－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例5求y ＝A A sin 1sin 1++- （0＜A ＜2π) 【解法一】y ＝A A sin 1sin 1++-（0＜A ＜2π) ∴ y ＝)2πcos(1)2πcos(1A A -++--＝2sin （24πA -）＋2cos （24πA -） ＝2 [22sin （24πA -）＋22cos （24πA -）]＝2 sin （22πA -）＝2 cos 2A y ′＝(2 cos2A )′＝－sin 2A ． 【解法二】y ′＝(A sin 1-)′＋(A sin 1+)′ ＝21(1－sin A )21-(－cos A )＋21(1＋sin A )21-cos A ＝AA A A cos 2)sin 1sin 1(cos +-- ∵ A ∈（0，2π）＝21[（cos 2A －sin 2A ）－（cos 2A ＋sin 2A ）] ＝－sin 2A ． 【解法三】∵ 0＜A ＜2π y ＝A sin 1-＋A sin 1+＝（cos 2A －sin 2A ）＋（cos 2A ＋sin 2A ）＝2 cos 2A ． y ′＝－sin 2A ． 【点评】解法一和解法三都是先化简，但难易有别，繁简差异较大，恰当选择公式是关键．解法二是从和的导数求导数入手．后面的化简较繁．例6曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 xy ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝22716． 【点评】例6复习导数的运算和导数的几何意义．。
(新课程)高中数学《1.2.2 导数的运算法则及复合函数的导数》课件 新人教A版选修2-2
题型一
利用导数的运算法则求函数的导数
【例 1】 求下列函数的导数： (1)y＝x· tan x；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； x＋3 2 (3)y＝ 2 ；(4)y＝xsin x－ ； cos x x ＋3 x5＋ x7＋ x9 (5)y＝ ； x x x (6)y＝x－sin2cos2.
(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数 的导数，并把中间变量换成自变量的函数．如求
π y＝sin2x＋3的
π 导数，设 y＝sin u，u＝2x＋3，则 yx′＝yu′· ux′＝cos u· 2＝2cos u
π ＝2cos2x＋3.
(4)复合函数的求导运用熟练后，中间步骤可省略不写．
的求导法 的导数间的关系为yx′＝ yu′·ux′ ，即y对x的导 则 数等于 y对u的导数与u对x的导数的乘积 .
想一想： 若复合函数 y ＝ f(g(x)) 由函数 y ＝ f(u) ， u ＝ g(x) 复合而成， 则函数y＝f(u)，u＝g(x)的定义域、值域满足什么关系？ 提示 在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y
[思路探索] 可先确定式子的形式，再用基本初等函数的导数公式 和四则运算法则求解． 解 (1)y′＝(x· tan
xsin x x)′＝ cos x ′
xsin x′cos x－xsin xcos x′ ＝ cos2x sin x＋xcos xcos x＋xsin2x ＝ cos2x sin xcos x＋x ＝ . cos2x
(3)法一
∵y＝( x－2)2＝x－4 x＋4，
∴y′＝x′－(4 x)′＋4′ ＝1－4× 法二 ＝2( 2 ＝1－ . x
令 u＝ x－2，则 y′x＝y′u· u′x＝2( x－2)· ( x－2)′
人教版高中数学高二数学《 复合函数的求导法则》教案
教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（二）导数的运算法则（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1求y ＝sin （2+1）的导数．例2求y ＝12-x 的导数．例3求y ＝sin 4x 的导数．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．四．课堂练习1．求下列函数的导数(1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）122sin -=x x y ;(3))2(log 2-x a2.求)132ln(2++x x 的导数五．回顾总结六．布置作业。
高中数学 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)导学案 新人教A版选修22
高中数学 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）导学案 新人教A 版选修22学习目标：1、了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则；2、能利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导（仅限于形如()f ax b +的导数）。
一、主要知识：1、复合函数的概念：由几个函数复合而成的函数，叫做复合函数。
由函数)(u f y =与()u g x =复合而成的函数一般形式是 ，其中μ称为 。
2、复合函数的求导法则：复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦的导数和函数)(u f y =与()u g x =的导数的关系为x y '= ，即y 对x 的导数等于 与μ对x 的导数的 。
二、典例分析：〖例1〗：指出下列函数上怎样复合而成的：（1）()m n y a bx =+；（2）()324y x x =+；（3）22x y e +=；（4）()22sin 2y x =-。
〖例2〗：求下列函数的导数：（1）4312y x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）y =（3）y =（4）2cos 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（5）3log 2x y =；（6）2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。
〖例3〗：已知函数21nx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭过点11,9P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求函数在点P 处的切线方程。
〖例4〗：一物体作阻尼运动，其运动方程为()2sin 36t s t et π-⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，求该物体的速度和加速度的表达式。
三、课后作业：1、函数51y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的导数是（ ） A 、415y x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭ B 、421151y x x x ⎛⎫⎛⎫'=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C 、41151y x x x ⎛⎫⎛⎫'=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D 、4115y x x x x ⎛⎫⎛⎫'=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2、函数()820088y x =-的导数为（ ）A 、()7820088x -B 、64x -C 、()76482008x -D 、()76420088x - 3、若()2y f x =，则y '=（ ）A 、()22xf x 'B 、()2xf x 'C 、()24x f xD 、()2f x '4、设y =a 是常数），则y '=（ ） AB C D 、 5、函数()2x x y e e -=+的导数是（ ） A 、()12x x e e -- B 、()12x x e e -+ C 、x x e e -- D 、x x e e -+ 6、函数ln 1x x e y e=+的导数（ ） A 、11x e + B 、11x e - C 、11x e -+ D 、11x e-- 7、若()()22f x x a =+，且()220f '=，则a = 。
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教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．
教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．
教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．
一．创设情景
（一）基本初等函数的导数公式表
（二）
（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
二．新课讲授
复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关
系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦
三．典例分析
例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．
【点评】 求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ax x a
x 22--的导数． 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．
例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．
【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－
21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋4
1cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(s in 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin
3 x co s x ＋
4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2
x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x
【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．
例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．
【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2
令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－
31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－27
14）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．
显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2
|1271431|++-＝22716． 四．课堂练习
1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）1
22sin -=x x y ;(3))2(log 2-x a 2.求)132ln(2++x x 的导数
五．回顾总结
六．布置作业。