【配套K12】2018年高中数学课时跟踪检测十一微积分基本定理新人教A版选修2_2

课时跟踪检测（十一） 微积分基本定理
层级一 学业水平达标
1．下列各式中，正确的是( ) A.⎠⎛a b
F ′(x )d x ＝F ′(b )－F ′(a ) B.⎠⎛a b
F ′(x )d x ＝F ′(a )－F ′(b ) C.⎠⎛a b
F ′(x )d x ＝F (b )－F (a ) D.⎠⎛a b
F ′(x )d x ＝F (a )－F (b )
解析：选C 由牛顿－莱布尼茨公式知，C 正确． 2.⎠⎛0π
(cos x ＋1)d x 等于( ) A ．1 B ．0 C ．π＋1
D ．π
解析：选D ⎠⎛0π
(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x ) ⎪⎪
⎪
π
＝sin π＋π－0＝π.
3．已知积分⎠⎛01
(kx ＋1)d x ＝k ，则实数k ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．1
D ．－1
解析：选A 因为⎠⎛01
(kx ＋1)d x ＝k ，
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪
⎪
1
＝k .
所以1
2
k ＋1＝k ，所以k ＝2.
4. ⎠⎛－a a
|56x |d x ≤2 016，则正数a 的最大值为( ) A ．6 B ．56 C ．36
D ．2 016
解析：选A ⎠⎛－a a
|56x |d x ＝2⎠⎛0
a
56x d x ＝2×562x 2⎪⎪⎪
a
＝56a 2≤2 016，故a 2
≤36，即0<a ≤6.
5.⎠⎛03
|x 2
－4|d x ＝( )
A.
21
3
B.
223
C.233
D.
253
解析：选C ∵|x 2
－4|＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－4，2≤x ≤3，4－x 2
，0≤x ≤2，
∴⎠⎛03
|x 2－4|d x ＝⎠⎛23
(x 2－4)d x ＋⎠⎛02
(4－x 2)d x
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x ⎪⎪
⎪
3
2
＋⎝
⎛⎭⎪⎫4x －13x 3⎪⎪⎪
2
＝⎣
⎢
⎡⎦⎥⎤－
－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－8＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8－83－0 ＝－3－83＋8＋8－83＝23
3
.
6.⎠⎛02
(x 2
－x )d x ＝__________.
解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－12x 2′＝x 2
－x ，∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3
3－12x 220＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83－2－0＝23.
答案：2
3
7. 设f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 2
，x ≤0，cos x －1，x >0.
则⎠
⎛1
－1f (x )d x ＝_________. 解析：⎠⎛－11
f (x )d x ＝⎠⎛－11
x 2d x ＋⎠⎛01
(cos x －1)d x
＝13x 3⎪⎪⎪
－1
＋(sin x －x ) ⎪⎪
⎪
1
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13
×03－
13－
3
＋[(sin 1－1)－(sin 0－0)] ＝sin 1－2
3
.
答案：sin 1－2
3
8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03
(1＋2x )d x ，则a 5＋a 6＝__________.
解析：S 10＝⎠⎛03
(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)30＝3＋9＝12.
因为{a n }是等差数列， 所以S 10＝a 5＋a 6
2＝5(a 5＋a 6)＝12，所以a 5＋a 6＝12
5
.
答案：125
9．已知f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01
f (x )d x ＝－2，求a ，
b ，
c 的值．
解：由f (－1)＝2得a －b ＋c ＝2， ① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0, ②
而⎠⎛01
f (x )d x ＝⎠⎛01
(ax 2＋bx ＋c )d x
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx 10＝13a ＋1
2
b ＋
c ，
∴13a ＋1
2
b ＋
c ＝－2, ③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－
4.
法二：设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |
＝⎩⎪⎨⎪⎧
－4x ，－3≤x ＜－32
，
6，－32≤x ≤32，
4x ，32＜x ≤3.
如图，所求积分等于阴影部分面积，
即⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x ＝S ＝2×12×(6＋12)×3
2＋3×6
＝
45.
层级二 应试能力达标
1．函数F (x )＝⎠⎛0
x cos t d t 的导数是( )
A ．F ′(x )＝cos x
B ．F ′(x )＝sin x
C ．F ′(x )＝－c o s x
D ．F ′(x )＝－sin x
解析：选A F (x )＝⎠⎛0
x
cos t d t ＝sin t ⎪⎪⎪
x
＝sin x －sin 0＝sin x .
所以F ′(x )＝cos x ，故应选A.
2．若函数f (x )＝x m
＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12
f (－x )d x ＝( )
A.56
B.12
C.23
D.16
解析：选A ∵f (x )＝x m
＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，∴f (x )＝x 2
＋x ，∴⎠⎛12
f (－x )d x
＝⎠⎛1
2
(x 2
－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 2⎪⎪⎪
2
1
＝5
6
. 3．若⎠⎛1a
⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )
A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
解析：选 D ⎠⎛1a
⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )a 1＝(a 2＋ln a )－(1＋ln 1)＝(a 2－1)＋ln a ＝3＋ln 2.
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
－1＝3，a ＞1，a ＝2，
∴a ＝2.
4．若f (x )＝x 2
＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01
f (x )d x ＝( )
A ．－1
B ．－13
C.13
D ．1
解析：选B 设⎠⎛01
f (x )d x ＝c ，则c ＝⎠⎛0
1
(x 2
＋2c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2cx ⎪⎪⎪
1
0＝1
3
＋2c ，解得c ＝－13
.
5．函数y ＝x 2
与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92
，则k ＝
________________.
解析：由⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝kx ，y ＝x 2
，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，y ＝0
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝k ，y ＝k 2
.
由题意得，⎠⎛0
k (kx －x 2
)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3⎪⎪⎪
k
＝12k 3－13k 3＝16k 3＝9
2
，∴k ＝3. 答案：3
6.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________
解析：长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛01
3x 2
d x ＝x 3
⎪⎪
⎪
1
＝1，则P ＝
S 阴
S 1
＝13
. 答案：13
7. 已知S 1为直线x ＝0，y ＝4－t 2
及y ＝4－x 2
所围成图形的面积，
S 2为直线x ＝2，y ＝4－t 2及y ＝4－x 2所围成图形的面积(t 为常数)．
(1)若t ＝2时，求S 2.
(2)若t ∈(0,2)，求S 1＋S 2的最小值． 解：(1)当t ＝2时，
S 2＝
([2－(4－x 2
)]d x ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫13x 3－2x ＝4
3
(2－1)． (2)t ∈(0,2)，S 1＝⎠⎛0t
[(4－x 2)－(4－t 2
)]d x
＝⎝
⎛⎭⎪⎫t 2x －13x 3⎪⎪⎪
t
0＝23
t 3
， S 2＝⎠⎛t
2
[(4－t 2)－(4－x 2
)]d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－t 2x ⎪⎪⎪
2
t
＝83－2t 2
＋23
t 3， 所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－2t 2
＋83
，
S ′＝4t 2－4t ＝4t (t －1)，
令S ′＝0得t ＝0(舍去)或t ＝1， 当0<t <1时，S ′<0，S 单调递减， 当1<t <2时，S ′>0，S 单调递增，
所以当t ＝1时，S min ＝2.
8.如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2
与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k
的值．
解：抛物线y ＝x －x 2
与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积
S ＝⎠⎛0
1
(x －x 2
)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 3
3⎪⎪⎪
1
＝12－13＝1
6
. 抛物线y ＝x －x 2
与直线y ＝kx 两交点的横坐标为
x ′1＝0，x ′2＝1－k ，
所以S
2＝
(x －x 2
－kx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2
x 2－x 3
3＝16(1－k )3，又知S ＝16
，所以(1－k )3
＝12
. 于是k ＝1－312＝1－34
2
.。